湖南大学结构力学课件第8章位移法.ppt

一、位移法出现的背景1、知识背景：超静定结构的计算方法之一的力法已经出现。（1）解除多余约束代以基本未知力，确定基本结构、基本体系；（2）分析基本结构在未知力和“荷载”共同作用下的变形，消除与原结构的差别，建立力法典型方程；（3）求解未知力，将超静定结构化为静定结构。核心是化未知为已知力法的思路：退出第一节位移法的基本概念 2、工程背景：随着钢筋混凝土的发明及应用，超静定刚架已经出现。而用力法计算这些超静定刚架，多余末知力数目太多，手算很难完成这些结构的计算。超静定刚架寻找有别于力法的超静定刚架成为当务之急、势在必行。图8-1退出 3、研究思路：（2）应当以力法的计算结果为基础，即以最简单的超静定结构计算结果为基础。（1）由于力与位移存在确定的对应关系。什么样的内力，就对应什么的位移与变形；与此同时，什么的位移与变形，就对应什么样的内力。由于力法是以多余未知力为基础，那么新的超静定结构计算方法以未知位移为基础是必然的。（3）任何结构的计算必须满足相应的物理条件、静力平衡条件、变形协调条件。按照这种研究思路与策略，便形成了位移法的基本思路。退出 二、位移法的基本思路离散结构离散成杆件，离散的杆件视为等效的单跨超静定粱，建立等效单跨超静定粱杆端内力与结点位移的关系。（变形协调条件）组合杆件组成结构，进行整体分析，得出基本方程。（静力平衡条件）基本未知量：独立的未知结点位移先离散，后组合。即化整为零，积零为整。lEIlEIlEI单跨超静定粱图8-2退出 三、位移法的第一种基本型式----直接平衡法结点力矩平衡条件结点变形协调位移法基本方程结点1的转角将结点1的转角Z1代入杆件12、13的杆端弯矩方程即得杆件12、13的杆端弯矩。1无侧移刚架基本未知量图8-3 从以上所述可知，对于无侧移刚架，位移法是以独立结点角位移作为基本未知量，根据结点力矩平衡条件，并利用物理条件、变形谐调条件建立求解结点位移的方程，首先求出位移。然后利用转角位移方程求出杆端力，绘制内力图。图8-4退出 2有侧移刚架位移协调剪力平衡条件基本未知量结点线位移Z1EI=常数图8-5退出 根据杆端弯矩，可求得杆端剪力分别为：将上述杆端剪力代入剪力平衡方程可得该结构位移法的基本方程为：于是，可得：将所求得的Z1代入各杆端内力计算公式可得：退出 由上结果即可绘出结构的弯矩图及剪力图。从以上所述可知，对于侧移刚架，位移法是以独立结点线位移作为基本未知量，根据结构的剪力平衡条件，并利用物理条件、变形谐调条件建立求解结点位移的方程，首先求出位移。然后利用转角位移方程求出杆端力，绘制内力图。图8-6退出 上述解题过程，主要有两步，第一步将结构离散，将离散后的杆件等效为相应的单跨超静定梁，分析各根杆件的受力情况，用杆端位移表示各杆件的杆端力；第二步将各杆件联结起来组成结构，利用变形谐调条件和平衡条件，建立求解结点位移的方程。无侧移刚架独立结点角位移结点力矩平衡条件侧移刚架独立结点线位移结构的剪力平衡条件基本未知量基本方程结构基本体系等效单跨超静定梁组合体等效单跨超静定梁组合体退出 四、位移法的第二种基本型式----附加约束法1无侧移刚架+结点的转角均假设以顺时针方向为正，反之为负。附加刚臂附加刚臂中的反力矩均假设以顺时针方向为正。只阻止结点转动，不能阻止结点移动的附加刚臂图8-7退出 若基本体系的受力情况与原结构相同，因为原结构中结点1上无集中力偶作用，所以基本体系上附加刚臂的反力矩应为零，即从另一方面看，根据前面所述，若转角Z1确实是原结构中结点1的转角，则有则同样有图8-8退出 即式中，R1P表示基本结构在荷载单独作用下附加刚臂上将产生的反力矩，R11表示基本结构上附加刚臂转动Z1时，附加刚臂上产生的反力矩。根据比例关系可得于是，可得位移法的基本方程为M1图MP图图8-9退出 其中，r11是系数，表示基本结构在Z1=1时，附加刚臂中的反力矩；R1P是自由项，表示基本结构在荷载单独作用下附加刚臂上将产生的反力矩。于是，可得：结点1的转角Z1求得后，可按下式叠加作出最后弯矩图。图8-10退出 2有侧移刚架EI=常数原结构基本体系+附加链杆MP图M1图附加反力只阻止结点沿某—方向的移动，不能阻止结点转动图8-11退出 若基本体系的受力情况与原结构相同，基本体系上附加链杆中的反力应为零，即24从另一方面看，根据前面所述，若线位移Z1确实是原结构中的侧向线位移，则有则同样有图8-12退出 即式中，R1P表示基本结构在荷载单独作用下附加链杆上将产生的反力，R11表示基本结构上附加链杆移动Z1时，附加链杆上产生的反力。根据比例关系可得于是，可得位移法的基本方程为图8-13退出 其中，r11是系数，表示基本结构在Z1=1时，附加链杆中的反力；R1P是自由项，表示基本结构在荷载单独作用下附加链杆上将产生的反力。于是，可得：结构的线位移Z1求得后，可按下式叠加作出最后弯矩图。图8-14退出 上述解题过程，主要有两步，第一步将结构离散，离散的过程是通过增加附加刚臂或附加链杆来实现的，离散后的杆件自动等效为相应的单跨超静定梁，分析各根杆件的受力情况；第二步将各杆件联结起来组成结构，利用变形谐调条件和附加约束中约束力为零的平衡条件，建立求解结点位移的方程。无侧移刚架独立结点角位移附加刚臂上的反力矩为零侧移刚架独立结点线位移基本未知量基本方程结构基本体系等效单跨超静定梁组合体等效单跨超静定梁组合体附加链杆上的反力为零附加刚臂附加链杆退出 一、基本未知量的选取2、结构独立线位移：（1）忽略轴向变形；（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。CDABCD12每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：1、结点角位移数：结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。图8-15退出第二节位移法基本结构和基本未知量 3、线位移数也可以用几何组成分析确定。140将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。图8-16退出 二、位移法的基本结构只阻止结点转动，不能阻止结点移动的附加刚臂。只阻止结点沿某—方向的移动，不能阻止结点转动。通过增加附加约束（即附加刚臂和附加链杆），使原结构成为无独立结点位移的结构，此即为位移法的基本结构。附加刚臂附加链杆图8-16退出 图8-17图8-18退出 待分析结构六个转角未知数铰结体系可变线位移未知数为2n=8图8-19退出 刚性梁不计轴向变形时，转角未知数为零，待分析结构线位移数2n=2图8-20退出 待分析结构转角数1线位移数2n=3图8-21退出 图8-22退出 图8-23退出 前面巳经以一个结点角位移结构及一个结点线位移结构为例，介绍了位移法这一型式的基本概念，下面以一个结点角位移和一个结点线位移结构为例，进一步了解位移法这一型式的原理及过程。图示刚架，已知其基本未知量有两个，即结点1的转角Z1和线位移Z2。在结点线位移Z2的影响下，杆13、24两端的相对线位移都为Z2，杆12两端的相对线位移等于零。图8-24退出第三节位移法的第一种基本型式----直接平衡法 单元分析（1）利用转角位移方程，写出各杆端弯矩的表达式。杆件13：杆件12：杆件24：退出 （2）利用变形协调条件，将各杆端弯矩表示为独立结点位移的函数。杆件13：杆件12：杆件24：(a)(b)(c)变形协调条件：退出 整体分析（1）为了得到结点1的转角Z1和线位移Z2，需应用能包含的转角Z1和线位移Z2的结点力矩平衡条件和剪力平衡条件。结点1的力矩平衡条件：两杆顶以上部分为隔离体的剪力平衡条件：(d)(e)由于退出 故(e)可写成(f)（2）将式（a）、（b）、（c）代入式（d）、（f）可得：解方程可得：内力计算将Z1和Z2代入式（a）、（b）、（c）可得各杆端弯矩。退出 [例8-1]试计算图示刚架，并绘制M图。E＝常数。图示刚架，已知其基本未知量有两个，即结点4的转角Z1和线位移Z2。在结点线位移Z2的影响下，杆25两端的相对线位移都为Z2，杆35两端的相对线位移都为-Z2，杆45、杆14两端的相对线位移等于零。图8-25退出 单元分析（1）利用转角位移方程，写出各杆端弯矩的表达式。杆件14：[解]图8-26退出 杆件45：杆件25：杆件35：退出 （2）利用变形协调条件，将各杆端弯矩表示为独立结点位移的函数。变形协调条件：杆件14：杆件45：杆件25：杆件35：退出 整体分析（1）为了得到结点4的转角Z1和线位移Z2，需应用能包含的转角Z1和线位移Z2的结点力矩平衡条件和剪力平衡条件，结点4的力矩平衡条件和横梁45为隔离体的剪力平衡条件。静力平衡条件图8-27退出 式中（2）将上列杆端弯矩和剪力代人平衡条件中，得位移法方程解得退出 内力计算M41=71.43，M14=78.57M45=-71.43，M54=0M25=-130.32，M52=0M35=135.75，M53=0M图图8-28退出 一、一般刚架结构的计算EI=常数图8-29退出第四节位移法的第二种基本型式----附加约束法 根据位移法的基本概念，基本结构在荷载FP和Z1、Z2的共同作用下，其内力和变形应与原结构相同。此时，附加刚臂上的反力矩R1和附加链杆的反力R2都应等于零，于是有基本结构在荷载和结点位移共同影响下，根据叠加原理，将其分为“固定结点“和“放松结点“两种情况的叠加。于是，R1，R2可表示为式中，R11,R12,R21,R22可进一步表达为Z1和Z2的关系式。(a)退出 =++图8-30退出 =Z1×R11=Z1r11R21=Z1r21图8-31退出 R12=Z2r12R22=Z2r22=Z2×根据反力互等定理可得：r12=r21图8-32退出 于是，式（a）可改写成位移法典型方程为了求得位移法方程中的系数和自由项，需分别绘出基本结构的M和MP图，利用平衡条件求出位移法典型方程式中的各系数和自由项。将上面所求得的系数和自由项代入位移法典型方程式，则有图8-33退出 解方程可得：基本未知量Z1和Z2求得后，可按下式叠加作出最后弯矩图。图8-34退出 二、位移法的典型方程1、建立位移法方程的条件、位移法方程及各符号的意义：图8-35退出 2、位移法的典型方程：3、几点说明（1）主系数、副系数、刚度系数、自由项。（2）两类系数：附加刚臂上的反力矩；附加链杆上的反力。（3）位移法的实质：以结点未知位移表示的静力平衡条件。4、解题步骤（1）选取位移法基本体系；（2）列位移法基本方程；（3）绘单位弯矩图、荷载弯矩图；（4）求位移方程各系数，解位移法方程；（5）依M=M1X1+M2X2+……+MnXn+Mp绘弯矩图，进而绘剪力图、轴力图。 三、位移法应用举例[例8-2]试计算图示刚架，并绘制M图。EI＝常数。[解](1)选取基本体系该结构的基本未知量只有结点D的转角，基本体系如图b所示。(2)写出位移法典型方程图8-36退出 (3)求系数和自由项分别作出基本结构在Z1=1和荷载单独作用下的M1图和MP图，如下图所示。由结点D的平衡条件可得到(4)解位移法方程将上述系数和自由项代入位移法方程，可解得图8-37退出 (5)作最后M图按叠加法由下式可作出最后M图，如图所示。图8-38退出 [例8-3]试计算图示刚架，并绘制M图。E＝常数。[解](1)选取基本体系(2)写出位移法典型方程此刚架基本未知量共有两个，一个是结点C的角位移Z1，一个是独立的结点线位移Z2，基本体系如图b所示。图8-39退出 (3)求系数和自由项分别作出基本结构在Z1=1、Z2=1和荷载单独作用下的M1图、M2图和MP图，如下图所示。由结点C的力矩平衡条件和斜杆CD的剪力平衡条件可得到M1M2MP图8-40 (4)解位移法方程将上述系数和自由项代入位移法典型方程解此方程组，得(5)作最后M图按叠加法由下式可作出最后M图，如图所示。退出 M图图8-41退出