[理学]结构力学课件.ppt

第五章虚功原理与结构位移计算§1应用虚力原理求刚体体系的位移§2结构位移计算的一般公式§3荷载作用下的位移计算§4荷载作用下的位移计算举例§5图乘法§6温度作用时的位移计算§7互等定理 §1应用虚力原理求刚体体系的位移1.结构位移计算概述2.虚功原理的另一种应用形式----虚力原理3.支座移动时静定结构的位移计算 1.结构位移计算概述位移的概念：结构在荷载、温度变化和材料膨胀、支座沉降和制造误差等各种因素作用下发生变形，因而结构上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。结构的位移通常有两种：截面的移动----线位移；截面的转动----角位移。线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移线位移角位移相对线位移CDFP相对角位移AP 铁路工程技术规范规定:结构位移计算的目的：(1)刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。(2)超静定、动力和稳定计算(3）施工要求为超静定结构的内力分析（如第6章力法等）打好基础（利用位移条件建立补充方程）。 2.虚功原理的另一种应用形式----虚力原理虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此，可以把位移看成是虚设的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把力系看作是虚设的，求刚体体系的位移。步骤：1.在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。2.利用虚力原理列出虚力方程进行求解，由于是在所求位移处设置单位荷载，因此，这种解法又称单位荷载法。 abABCP=1ABCab已知求虚功方程设虚力状态小结：（1）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相应的支座反力。构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。 单位位移法的虚功方程平衡方程单位荷载法的虚功方程几何方程第一种本书称为“虚位移原理”，而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要性命题。上述两原理都是充分、必要性命题。虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对任意协调位移,虚功方程成立.虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对任意平衡力系,虚功方程成立”。 3.支座位移时静定结构的位移计算（1）C点的竖向位移（2）杆CD的转角ABCDABCD1ABCD1已知位移求:所得正号表明位移方向与假设的单位力方向一致。求解步骤（1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；（3）解方程得定出方向。（2）建立虚功方程 §2结构位移计算的一般公式1.局部变形时静定结构的位移计算举例2.局部变形时的位移公式3.结构位移计算的一般公式4.位移计算的一般步骤5.广义位移和虚设状态 BABA1AB虚功方程：BABA1A1.例1、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对转角d，试求A点在i－i方向的位移。例2、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向的位移。 例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d试求A点在ｉ－ｉ方向的位移。BABABA1由平衡条件：虚功方程：当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生的位移，即是三者的叠加，有： 由刚体虚功原理来推导－局部到整体。2.局部变形时的位移计算公式基本思路：dsRdsdsRds（1）三种变形：在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形所引起的位移。 dsRdsdsRds1（2）微段两端相对位移：续基本思路：设微段的变形以截面B左右两端的相对位移的形式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移d－即前例的结论。或 3.结构位移计算的一般公式根据叠加原理，一根杆件各个微段变形引起的位移总和：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：这里的积分号表示沿杆件长度积分，总和号表示对结构中各杆求和。其中最后一项表示给定支座位移Ck的影响。结构位移计算的一般公式还可用变形体的虚功原理导出：外虚功＝内虚功， 适用范围与特点：2）形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。1）适于小变形，可用叠加原理。 位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。dsdsK1dsdsdsdsdsdsds外虚功：内虚功：变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We。即： 4.位移计算的一般步骤:K1实际变形状态虚力状态(1)建立虚力状态：在待求位移方向上加单位荷载；(2)求虚力状态的单位荷载作用下，根据平衡条件，求出所有的内力及反力(3)用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。力与变形方向一致时乘积取正，否则为负。计算出的位移结果为正值时，则表明所求位移与单位荷载方向一致，负值时则表明实际位移与单位荷载方向相反。 5.广义位移的计算本章所讨论的位移可以引申为广义位移：它既可以是某点沿某一方向的线位移或某一截面的角位移，也可以是某两个截面的相对位移等。为了能够应用位移计算的一般公式，虚设单位荷载必须与所求位移产生虚功，因此，虚设单位荷载应与广义位移相一致。如P162表5-1广义位移和广义单位荷载示例所示。 作功的两方面因素：力、位移。与力相应的因子，称为广义力F；与位移相应的因子，称为广义位移Δ。广义力与广义位移的共轭关系是：它们的乘积是虚功。即：W=FΔ1）广义力是单个力P，则广义位移是该力的作用点的全位移在力的方向上的分量。PΔmβ2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角β。3）若广义力是等值、反向的一对力PPPttABΔBΔAW=PΔA+PΔB=P（ΔA+ΔB）=PΔ这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶mABΔmmABW=mA+mB=m（A+B）=mΔ这里Δ是与广义力相应的广义位移。表示AB两截面的相对转角。广义位移的计算 广义力是等值、反向的一对力F桁架结构，在C、D上作用与杆垂直的等值反向的两个力F广义力为力偶M，广义位移为CD杆的转角φ5）两种情况的功 §3荷载作用下的位移计算1.计算步骤2.各类结构的位移公式3.截面平均切应变和系数k 研究对象：静定结构、线性弹性材料。重点在于解决荷载作用下应变的表达式。（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知k--为截面形状系数1.2(3)荷载作用下的位移计算公式1、计算步骤（1）在荷载作用下建立的方程，可经由荷载内力应力应变过程推导应变表达式。 2、各类结构的位移计算公式（1）梁与刚架：由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位移计算可简化为（2）桁架：桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数，故位移计算可简化为（4）拱：对于拱结构，当压力线与拱轴线相近时，应考虑弯曲变形和轴向变形，即（3）组合结构：桁梁混合结构中，一些杆件以弯曲为主，一些杆件只受轴力，故位移计算可简化为 3、截面平均切应变和系数k根据截面切应变的分布函数，应用虚功原理推得截面平均切应变为：根据荷载引起的剪力求出切应变，代入上式可进一步推倒出截面形状系数k的公式，根据不同的截面形状，系数k可做如下取值：矩形6/5圆形10/9薄壁圆环形2工字形或箱形A/A(腹板) §4荷载作用下的位移计算举例1.梁的位移计算2.曲杆的位移计算 qACB(a)实际状态P=1ACB(b)虚设状态AC段CB段1.梁的位移计算。试计算悬臂梁A点的竖向位移1）列出两种状态的内力方程： AC段CB段2)将上面各式代入位移公式分段积分计算AC段在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段 CB段设为矩形截面k=1.2 3）讨论：比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。设材料的泊松比,由材料力学公式。设矩形截面的宽度为b、高度为h，则有代入上式对于一般的梁可以忽略剪切变形对位移的影响，但对于深梁则不可。 PP=12.曲杆的位移计算：求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移Δ。解：1）虚拟单位荷载虚拟荷载3）位移公式为ds=Rdθθdθds钢筋混凝土结构G≈0.4E矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001<△△MN△4001<△MQ△2=△MNARI2412[==△△MQRhGAREIk可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.2）实际荷载h101