杆件横截面上的剪应力(材料力学课件)

第四章杆件横截面上的剪应力§4-1圆轴扭转时横截面上的剪应力受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面垂直于轴线。变形特征：横截面绕轴线转动。CL5TU2 外力偶矩的计算:设某轮所传递的功率是NkW，轴的转速是nrpmCL5TU18 GB3101-93中规定的数值方程式表示方法 例：图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15马力，ND=20马力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。CL5TU3扭矩和扭矩图: 解： 薄壁圆筒的扭转实验:CL5TU4 剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径 根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。 剪应力互等定理:在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。 剪切胡克定律:CL5TU8 薄壁圆筒的实验,证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当剪应力不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应变成正比G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切胡克定律。 剪切弹性模量G材料常数：拉压弹性模量E泊松比μ对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ三个弹性常数之间存在着如下关系: 圆轴扭转时的应力和变形:一、圆轴扭转时横截面上的应力变形几何关系从三方面考虑：物理关系静力学关系CL5TU5 观察到下列现象:(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化(2)纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度γ1.变形几何关系 平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。CL5TU5 CL5TU5 根据剪切胡克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时剪应力方向垂直于半径2.物理关系 3.静力学关系 CL5TU9 二、圆轴扭转时的变形CL5TU5 圆轴扭转时的强度条件和刚度条件 例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的倍？圆轴的扭转角是原来的倍？816 例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿＿＿＿面上发生断裂，其破坏是由应力引起的。在图上画出破坏的截面。CL5TU1045螺旋最大拉 例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。解：由得： 例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为d1，由得：0.80.81.1920.80.512 例：一厚度为30mm、内直径为230mm的空心圆管，承受扭矩T=180kN·m。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。 解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得(2)利用精确的扭转理论可求得 例：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。 解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别变为d1、D1，最大许可扭矩为Ｔ1 例：一空心轴α=d/D=0.8，转速n=250r/m,功率N=60kW，［τ］=40MPa，求轴的外直径D和内直径d。解： 例：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为G，不计BC段变形。求C点的铅垂位移。CL5TU12 解： 例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。解： 例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由90°变为88°。如杆长l=300mm，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩ｍ。CL5TU13 解：由 例：传动轴传递外力偶矩ｍ＝5kN·m,材料的[τ]=30MPa,G=80GPa,[θ]=0.5°/m,试选择轴的直径ｄ。解： 例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为ｌ，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩ｍ，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。CL5TU14 解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为T 例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。CL5TU15 解：静力平衡方程为：变形协调条件为：即： 圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平面假设的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。§4-2非圆截面杆扭转剪应力 CL5TU20 非圆截面杆在扭转时有两种情形:CL5TU211.自由扭转或纯扭转在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力,而没有正应力。 2.约束扭转扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。CL5TU21 对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是不能忽略的。 一、矩形截面杆的扭转在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行,且截面的四个角点上剪应力均为零。最大剪应力发生在长边中点处.CL5TU22