武汉理工大学理论力学课件 第九章 动量矩定理(第二版).ppt

第九章动量矩定理1 第九章动量矩定理§9.1质点和质点系的动量矩§9.2动量矩定理§9.3刚体绕定轴的转动微分方程§9.4刚体对轴的转动惯量§9.5质点系对于质心的动量矩定理§9.6刚体的平面运动微分方程2 一、质点的动量矩质点对于点O的动量矩——质点Q的动量对于点O的矩。即质点对于z轴的动量矩——质点动量mv在Oxy平面内的投影(mv)xy对于点O的矩。即质点Q的动量矩矢在过点O的z轴上投影，等于对z轴的动量矩。即在国际单位制中动量矩的单位为kgm2/s§9.1质点和质点系的动量矩3 二、质点系的动量矩1.质点系对点O的动量矩2.质点系对z轴的动量矩质点系对点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该轴的动量矩。各质点对点O的动量矩的矢量和。即各质点对z轴的动量矩的代数和。即4 刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。称为刚体对于z轴的转动惯量，于是刚体转动时，刚体对转轴的动量矩为5 一、质点的动量矩定理质点对定点O的动量矩作用力F对同一点O的矩将动量矩对时间取一阶导数，§9.2动量矩定理得6 则上式为因为所以上式为质点动量矩定理：质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。7 上式在直角坐标轴上的投影式8 二、质点系的动量矩定理设质点系内有n个质点。第i个质点上的内力为Fi(i)，第i个质点上的外力为Fi(e)。由质点的动量矩定理有：这样的方程共有n个，相加后得而所以09 上式称为质点系动量矩定理：质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和（外力对点O的主矩）。应用时，取投影式10 三、动量矩守恒定律质点：如果则常矢量。如果则常量。上述两种情况就是质点的动量矩守恒定律。质点系：如果则则如果常矢量。常量。上述两种情况就是质点系的动量矩守恒定律。11 【例1】高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R，转动惯量为J，作用在鼓轮上的力偶矩M，小车和矿石总质量为m，轨道的倾角为θ。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。12 解：取整体为研究对象由质点系对O轴的动量矩定理，有：因得13 【例2】已知:,求角加速度。解：取整体为研究对象由质点系对O轴的动量矩定理有：14 【例3】水轮机转轮，进口水速度，出口水速度，它们与切线夹角分别为，，总体积流量。求水流对转轮的转动力矩。15 现取一片分析，设经dt时间，水由ABCD流到abcd。设叶片数为，水密度为，解：动量矩改变为16 【例4】已知，，，，，，不计摩擦。求（1）（2）O处约束力（3）绳索张力，17 由，得解：（1）（2）由质心运动定理18 （3）研究（4）研究19 【例5】水平杆AB长为2a，可绕铅垂轴z转动，其两端各用铰与长为l的杆AC及BD相连，杆端各连结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂时，系统绕z轴的角速度为ω0。如果此时细线拉断后，杆AC和BD各与垂线成θ角，不计各杆的质量，求这时系统的角速度ω。20 解：取整体为研究对象因为所以常数当θ=0时，当θ≠0时，由LZ1=LZ2，得21 主动力：F1，F2，……，Fn轴承约束力：FN1，FN2由质点系对z轴的动量矩定理，有或上式也可写成或以上各式均称为刚体绕定轴转动微分方程。转动惯量是刚体转动惯性的度量。§9.3刚体绕定轴的转动微分方程22 【例6】已知：，求。解：F1F2OR23 【例7】飞轮对轴O的转动惯量为Jo，以角速度ω0绕轴O转动。制动时，闸块给轮以正压力FN，已知闸块与轮之间的滑动摩擦因数为f，轮的半径为R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。解：以轮为研究对象取逆时针方向为正，刚体的转动微分方程为：积分解得24 【例8】提升装置中，均质圆轮A、B的质量分别为m1、m2,半径分别为r1、r2,物体C的质量为m3，轮A上作用常力矩M1。求物体C上升的加速度。25 解:取轮A为研究对象再取轮B和物体C为研究对象因为得即：26 【例9】两根质量各为8kg的均质细杆固连成T字形，可绕通过O点的水平轴转动，当OA处于水平位置时,T形杆具有角速度=4rad/s。求该瞬时轴承O的反力。解：选T字形杆为研究对象。受力分析如图示。由定轴转动微分方程27 根据质心运动微分方程，得以O为坐标原点建立如图坐标系，确定质心位置及加速度28 刚体的转动惯量是刚体转动时惯性的度量，刚体对任意轴z的转动惯量定义为由上式可见，转动惯量的大小不仅与质量大小有关，而且与质量的分布情况有关。在国际单位制中其单位为kg•m2。转动惯量恒为正值。§9.4刚体对轴的转动惯量29 一、简单形状物体的转动惯量计算（1）均质细直杆对于z轴的转动惯量设杆长为l，单位长度的质量为ρ,取杆上一微段dx，其质量mi=ρdx，则杆的质量于是30 （2）均质薄圆环对于中心轴的转动惯量设圆环质量为m，质量mi到中心轴的距离都等于半径R，所以圆环对于z轴的转动惯量为即31 ，是均质圆板单位面积的质量。因此圆板对于中心轴的转动惯量（3）均质圆板对于中心轴的转动惯量设圆板的半径为R，质量为m。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环半径为ri，宽度为dri，则薄圆环的质量为式中或32 二、回转半径（或惯性半径）回转半径（或惯性半径）定义为如已知ρz，则即:物体的转动惯量等于该物体的质量与回转半径平方的乘积。33 三、平行轴定理定理刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积，即证明：设点C为刚体的质心，刚体对于通过质心的z1轴的转动惯量为JZc，对于平行于该轴的另一轴z的转动惯量为JZ，两轴间距离为d。分别以C、O两点为原点，作直角坐标系Cx1y1z1和Oxyz，不失一般性，可令轴y与轴y1重合。34 因为x=x1，y=y1+d，于是由质心坐标公式当坐标原点取在质心C时，yC=0，又有于是得35 例：质量为m，长为l的均质细直杆如图，求此杆对于垂直于杆轴且通过质心C的轴zc的转动惯量。解：因为应用平行轴定理，得36 四、计算转动惯量的组合法当物体由几个规则几何形状的物体组成时，可先计算每一部分(物体)的转动惯量,然后再加起来就是整个物体的转动惯量。若物体有空心部分,要把此部分的转动惯量视为负值来处理。例:钟摆：均质直杆m1,l；均质圆盘：m2,R。求JO。解：37 解：其中由，得又如：空心圆柱体，已知：，求。38 五、确定转动惯量的实验法例如，欲求物体对于轴O的转动惯量，可将该物体在轴O悬挂起来，并使其作微幅摆动。设j角以逆时针方向为正。物体的转动微分方程为物体作微幅摆动，有，得或此方程的通解为j0称为角振幅，q是初相位，它们都由运动初始条件确定。39 摆动周期为测定mg，a和摆动周期T，则物体对于轴O的转动惯量可按照下式计算：40 点O为定点，点C为质点系的质心，质点系对定点O的动量矩为是质点系相对于质心的动量矩。根据质点系动量计算公式于是得§9.5质点系对于质心的动量矩定理41 质点系对于定点O的动量矩定理因于是即:质点系相对于质心的动量矩对时间的导数等于作用于质点系的外力对质心的主矩。这个结论称为质点系对于质心的动量矩定理。42 引入固连于质心的平移参考系则质点系对于质心的动量矩为由质心坐标公式，有显然即于是得可见，计算质点系相对于质心的动量矩时，用质点相对于惯性参考系的绝对速度vi，或用质点相对于固连在质心上的平移参考系的相对速度vir，其结果一样的。43 则刚体的运动分解为随质心C的平移和绕质心C的转动。平面运动刚体的位置，可由基点的位置与刚体绕基点的转角确定。取质心C为基点，绕质心C的转动是相对运动，则刚体对质心的动量矩为§9.6刚体的平面运动微分方程44 设在刚体上作用的外力可向质心所在的运动平面简化为一平面力系F1、F2、…、Fn，则应用质心运动定理和相对于质心的动量矩定理，得上式也可写成以上两式称为刚体的平面运动微分方程。应用时，前一式取其投影式。45 【例9】半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线纯滚动。设轮的惯性半径为rC，作用于圆轮的力偶矩为M。求轮心的加速度。如果圆轮对地面的静滑动摩擦系数为f，问力偶矩M必须符合什么条件方不致使圆轮滑动？46 解：取圆轮为研究对象，平面运动微分方程为因圆轮只滚不滑，有解得欲使轮只滚不滑，必须有故所以圆轮只滚不滑的条件为而又由上三式得即47 【例10】均质圆柱体A和B的质量均为m，半径均为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，绳重不计且不可伸长，不计轴O处摩擦。求(1)圆柱B下落时质心的加速度。(2)若在圆柱体A上作用一逆时针转向的转矩M，试问在什么条件下圆柱B的质心将上升。48 解：(1)取圆柱A为研究对象(a)再取圆柱B为研究对象(b)(c)由运动学知：由（a）、（c）知得49 (2)取圆柱A为研究对象再取圆柱B为研究对象由运动学知：联立上面四式，得当M>2mgr时，即圆柱B的质心将上升。50 【例11】均质实心圆柱体A和均质薄铁环B的质量均为m，半径都等于r，两者用杆AB铰接，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为θ，如图所示。如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的内力。51 解：先取薄铁环B为研究对象所以再取圆柱体A为研究对象所以解得由运动学知由运动学知52 [例12]均质圆柱，半径为r，重量为Q，置圆柱于墙角。初始角速度0，墙面、地面与圆柱接触处的动滑动摩擦系数均为f′，滚阻不计，求使圆柱停止转动所需要的时间。解：选取圆柱为研究对象,受力分析如图示。根据刚体平面运动微分方程补充方程：运动分析：质心C不动，刚体绕质心转动。53 由（1）、（2）式及补充方程解得：将上述结果代入第三式，有解得：54 【例13】均质圆轮半径为r质量为m，受到轻微扰动后，在半径为Ｒ的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求：质心C的运动规律。解:由于取O为弧坐标原点，则55 其解为式中运动方程为得得由时56 第九章结束57