理论力学课件第一篇静力学第五章静力学应用专题

第五章静力学应用专题第五章静力学应用专题第一节桁架第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 第一节桁架第一节桁架 一、概述桁架是由许多直杆按适当方式分别在两端连接而成的几何形状不变的结构。特点：杆件截面受力均匀，因而可节省材料，减少自重，所以在工程上应用很广。第一节桁架房屋和桥梁上常采用桁架结构；水利工程上的闸门以及起重机、高压输电线塔等采用桁架结构的也很多。 图5-1房屋结构第一节桁架 图5-2桥梁结构第一节桁架 第一节桁架铁塔 桁架中杆件与杆件的连接点，称为结点或节点。所有杆件的轴线都在同一平面内的桁架称为平面桁架；杆件轴线不在同一平面内的桁架则称为空间桁架。设计桁架时，必须首先根据作用于桁架的荷载，确定各杆件所受的力－内力。杆件内力可用静力学平衡方程求得的桁架，称为架静定桁。第一节桁架 实际桁架的构造和受力情况较复杂，作为初步分析，为了简化计算，通常采用如下基本假设：杆端用光滑铰连接，铰的中心就是节点的位置；各杆的轴线都通过节点。所有外力（包括荷载和支座反力）都集中作用于节点。对于平面桁架，还假设所有荷载都在各杆轴线所在的中央平面内。第一节桁架12 假设所有外力都作用于节点，而且各杆是光铰链连接，所以每一杆件只在两端受力，是二力杆。作用于杆件两端的两个力必定沿着杆件的轴线作用，这种力称为轴向力。它们只在杆件内引起拉力或压力。第一节桁架 考察桁架中的任一杆件AB。该杆两端A、B各受力F1及F2；由杆AB的平衡可知，F1及F2必须大小相等，方向相反，并沿轴线AB作用。现在假想在任一处M将杆截断，则由左边部分AM的平衡可知，横截面M上必受到右边部分的作用力FN，而且FN=-F1，力FN就是杆AB的内力。第一节桁架 杆件的内力是沿着杆件轴线作用的拉力或压力，而且，对于同一杆件来说，各横截面上的内力是相同的。进行计算时，总是假想在任一处将杆件截断，求出它的内力。注意：上述结论是根据两个假设，通过简化得到的，与实际情况并不完全相符。首先，杆件的连接方法多半不是铰接，而是榫接（木材）或铆接、焊接（钢材）或刚性连接（钢筋混凝土）；即使采用铰接，铰与杆件之间也总有些摩擦等。其次，假设外力集中于节点也并不完全可能，杆件本身的重量就无法使其集中于两端。再次，使杆件的轴线准确地通过节点，在施工上也有困难。第一节桁架 在以上的讨论中，都没有考虑杆件的变形。事实上，杆件并非刚体，受力后必将发生变形。实践证明，对于一般的结构物用的桁架不考虑杆件变形，并根据上述假设进行分析计算，所得结果已能满足设计要求。一般来说，实际结构中的杆件受力情况比较复杂，除了杆端不是光滑铰连接外，所受外力沿杆轴线的变化也各不相同。计算杆件横截面上的内力，常采用截面法：即用一假想截面在需求内力的截面处将杆件切断，考虑其中任一部分的平衡，求该截面上的内力。第一节桁架 设向截面形心O点简化，得到主矢FR和主矩MO。根据工程上的需要，也为了便于计算，常将主矢FR和MO主矩沿直角坐标轴分解得到各个内力分量。若考察杆件左边部分（如图），右边部分将对其有作用力，无论杆件横截面上内力分布如何复杂，根据力系简化理论，总可以向该截面内某一点简化，得到一主矢量和一主矩，分别称为内力主矢和内力主矩。第一节桁架 图5-5内力分量过点Ｏ作直角坐标系Oxyz，使横截面位于yz平面内，x轴沿杆轴线，其正向与截面的外法线一致，可得FR的三个分量为Fx、Fy、Fz，MO的三个分量为Mx、My、Mz，如图5-5所示。第一节桁架 力Fx垂直于截面，称为轴力；力Fy、Fz平行于截面，称为剪力；力偶Mx有使截面绕杆轴线转动的趋势，称为扭矩；力偶My、Mz分别有使截面绕y轴和z轴转动（使杆发生弯曲）的趋势，称为弯矩。第一节桁架 二、桁架内力分析的节点法桁架受到外力作用时，整个桁架保持平衡，如截取桁架的任一部分来考察，该部分也必然处于平衡状态。节点法就是假想将某一节点周围的杆件截断，取该节点作为考察的对象，则节点在外力和被截断的那些杆件的内力作用下保持平衡。作用于节点的外力和杆件的内力组成一平衡的汇交力系,由平衡条件可以求出未知的杆件内力。第一节桁架 对于平面桁架，因为平面汇交力系只有两个独立的平衡方程，所以，在选取节点时应使汇交于该节点的未知力不超过两个。对于空间桁架，则一般不应超过三个。计算内力时，总是假设每一杆件都受拉力；如果某一杆件的内力计算结果是负值，就表示杆件的内力是压力。由于杆件承受拉力的能力与承受压力的能力不同，设计时对受压杆件的考虑与对受拉杆件的考虑大不一样，必须十分重视。第一节桁架 试求图5-6(a)所示桁架中各杆的内力。图5-6例5-1附图解：首先考虑整个桁架的平衡，求支座反力。例5-1第一节桁架 解得：由于桁架结构及所受外力(包括荷载和约束反力)都对称于中线DE，所以桁架中对称杆件的内力必定相同。因此，只需计算其右半部分(或左半部分)各杆的内力。现列表计算如下：例5-1第一节桁架 表5-1杆件内力计算例5-1第一节桁架 注意：计算时构件内力均设为拉力，如果算得某杆件内力为负值，即为压力。桁架各杆的内力常用图5-6b的形式表示出来。例5-1通常，无需计算，根据观察即可判定哪些杆件是零杆。本例中有两根杆件BC及FG的内力是零，在结构上常将内力为零的杆件称为零杆。第一节桁架 判断平面桁架零杆的准则：如果某一结点有三根杆件相交，其中两根在一直线上，且该节点不受外力作用，则第三根杆件（不必一定与另两根杆件垂直）必为零杆。如果一结点只有两根不共线的杆件，又别无外力，该两杆件必然都是零杆。例5-1第一节桁架12(a)123(b)F12(c)F2=0F3=0F1=F2=0 指出桁架中零杆。2.5静定平面桁架第一节桁架 空间桁架如图5-7a所示。已知△ABC与△DEF为全等等边三角形，AD、BE、CF三杆等长并垂直于水平面，杆1、2、3与铅直线的夹角均等于30º。求杆1、2、3、4、5、6的内力。图5-7a例5-2附图例5-2第一节桁架 解：首先考虑节点G的平衡，如图5-7b。由对称条件可知FN1=FN2=FN3又由:图5-7b例5-2附图例5-2第一节桁架 图5-7c例5-2附图c例5-2再考虑节点D的平衡，取直角坐标系Dxyz如图。列出平衡方程:第一节桁架 解得:汇交于一节点的各杆中，除某一杆外其余各杆都在同一平面内，且该节点不受外力，或者外力也与其余各杆共面，则不共面的那一直杆必为零杆。如果一节点只有不共面的三根杆件，又别无外力，该三杆都是零杆。空间桁架有时也会出现零杆。判断空间桁架零杆的准则：例5-2将代入第一节桁架 三、平面桁架内力分析的截面法截面法是用适宜的截面，假想将桁架的某些杆件截断，取出桁架的一部分考察，该部分在外力和被截断的杆件的内力作用下保持平衡。这些力组成一平衡的任意力系，故可利用平面任意力系的平衡方程，求解被截断的杆件中的未知内力。因为平面任意力系只有三个独立的平衡方程，所以被截断的杆件的未知内力一般不超过三个。但在特殊情况下可以多于三个。第一节桁架 应用截面法时，必须注意截面的选取，对截面形状并无任何限制，可以是平面，也可以是曲面。对某些较复杂的桁架，有时需要联合应用截面法与结点法，才能较方便地求出各杆内力。截面法适用于只需求出某几根杆件的内力的情况。第一节桁架 试求图(5-8a)所示桁架中１、２、３杆的内力。图5-8例5-3附图解：首先考虑整个桁架的平衡，求出支座反力FA=0.8FP，FK=0.2FP。然后用截面m-m将桁架分截成两部分，取右边部分考察其平衡。例5-3第一节桁架 以铅直轴为y轴，由得：例5-3由第一节桁架 得到：由求得：例5-3第一节桁架 试求图(5-9a)所示的悬臂桁架中杆ＤＧ的内力。图5-9例5-4附图解：对于悬臂式桁架，不必先求反力。用截面n-n将杆ＤＧ及ＦＧ、ＦＨ、ＥＨ截断，取右边部分考察。例5-4第一节桁架 图5-9（b）例5-4附图以Ｈ点为矩心，由可直接求得于是有：解得:例5-4第一节桁架 求上例中悬臂桁架的ＤＦ及ＥＦ两杆的内力。解:如用结点法，从结点L开始，依L－K－J－I－…的次序考虑各结点的平衡，必能求得DF及EF的内力，但计算太多，过于麻烦。例5-5如用截面将DF、EF两杆截断，则同时被截断的杆件将在４根以上，不能直接求得。联合应用结点法与截面法。第一节桁架 由即解得：然后再用截面将DG、DF、EF、EH各杆截断，取右边为考察对象，如图5-10b。例5-5先考虑结点F：第一节桁架 取ｙ轴铅直，由得将FNFD＝－FNFE代入，解得:例5-5第一节桁架 求图示桁架1，2杆内力。已知a，F。整体受力如图2.5静定平面桁架 将FB代入得巧作截面，使多个未知力共线，方程中不出现。作1-1截面，研究右半部，受力如图，2.5静定平面桁架 第二节摩擦及有摩擦的平衡问题第一节桁架 第二节摩擦及有摩擦的平衡问题一、概述前面讨论物体平衡时，两物体间的接触面都假设是完全光滑的。由经验可知，这种完全光滑的接触是不存在的，两物体的接触面之间一般都有摩擦。只是在有些问题中，摩擦力可能很小，对所研究的问题属于次要因素，可以忽略不计，因而也就可以把接触面看作是光滑的。但是，对于另外一些实际问题，摩擦却是重要的甚至是决定性的因素，必须加以考虑。例如重力坝与挡土墙的滑动稳定问题，带轮和摩擦轮的转动等等， 当两物体接触处有相对滑动或有相对滑动趋势时，在接触处的公切面内所受到的阻碍称为滑动摩擦。按照接触物体之间相对运动的情况分类，摩擦可分为滑动摩擦与滚动摩擦两类。如活塞在汽缸中滑动，轴在滑动轴承中转动等。当两物体有相对滚动或有相对滚动趋势时，物体间产生的对滚动的阻碍称为滚动摩擦。如车轮在地面上滚动，滚动轴承中的滚珠在轴承中滚动等。第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 当两物体接触处沿着接触点的公切面有相对滑动或有相对滑动趋势时，彼此作用着阻碍相对滑动的力，称为滑动摩擦力，简称摩擦力。二、滑动摩擦1滑动摩擦与摩擦定律由于摩擦力阻碍两物体相对滑动，所以它的方向必与物体相对滑动的方向或相对滑动趋势的方向相反。摩擦力的大小，则将随不同的情况而各异。第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 设将重FＷ的物体放在水平面上，并施加一水平力FT。当FT的大小不超过某一数值时，物体仍可保持静止。水平面对物体除了有法向反力FN外，还有一摩擦力F。这时的摩擦力F称为静摩擦力。根据物体的平衡条件，有：F＝FT当FT增大到一定数值时，物体就将开始滑动。这说明摩擦力不能无限增大而有一极限值。当静摩擦力达到极限值时，物体处于滑动临界状态，这时的摩擦力称为极限摩擦力或最大静摩擦力。第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 可见，静摩擦力的大小，由平衡条件决定，但必介于零与极限摩擦力的大小之间。如以FL表示极限摩擦力，则静摩擦力F的变化范围为０≤Ｆ≤FL（5-1）这一关系称为库伦摩擦定律。式中比例常数fs称为静摩擦因数，它的大小与接触体的材料以及接触面状况（粗糙度、湿度、温度等）有关。实验结果表明：极限摩擦力的大小与接触面之间的正压力（即法向反力）FN成正比，即：第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 物体间有相对滑动时的摩擦力称为动摩擦力。动摩擦力与法向反力也有与式（5-1）相同的近似关系：动摩擦力的大小与接触面之间的正压力（法向反力）成正比。如以F′代表动摩擦力F′的大小，则有:（5-2）式中f也是一个无量纲的比例常数，称为动摩擦因数。动摩擦因数f随两物体相对滑动的速度而变化。动摩擦因数一般比静摩擦因数略小第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 当存在摩擦时，支承面对物体的约束力包括法向反力FN与摩擦力F，这两个力的合力FR就是支承面对物体作用的全约束反力。当摩擦力达到极限摩擦力FL时，FR与FN所成的角达到最大值φm，φm称为静摩擦角，简称摩擦角。摩擦角与自锁现象2第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 由上图可见与式（5-1）比较得：即：摩擦角的正切等于静摩擦因数。如通过接触点在不同的方向画出在极限摩擦情况下的全约束反力的作用线，则这些直线将形成一个锥面，称为摩擦锥。如沿接触面的各个方向的摩擦因数都相同，则摩擦锥是一个顶角为2φm的圆锥(图5-13)。图5-13摩擦锥第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 全约束反力FR的作用线不可能超出摩擦锥，所以物体所受的主动力的合力FQ的作用线必须在摩擦锥内，物体才不致滑动。而且，只要FQ的作用线在摩擦锥内，不论FQ多么大，物体总能保持静止，这种现象称为“自锁”。图5-13摩擦锥第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 3有摩擦的平衡问题有摩擦的平衡问题与无摩擦的平衡问题求解过程相同，只是由于静摩擦力的大小可在０≤F≤Fmax范围变化，因而物体平衡位置或所受的力也有一个变化范围。通常可以取物体的临界状态进行分析，来确定平衡位置或受力大小的边界值。这个过程，可称之为临界状态分析法。这时极限摩擦力的方向不能任意假设，必须根据相对滑的动趋势确定。第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 3有摩擦的平衡问题另一种情况是：需要确定物体在某一位置或在一定力作用下能否保持平衡。此时，可以把摩擦力看成是约束力，假设物体是平衡的，通过平衡方程求出摩擦力F和法向约束力FN，然后将F与极限摩擦力Fmax进行比较，如|F|≤Fmax，则物体能保持平衡；否则物体不能保持平衡。这个过程可称之为假设状态分析法。第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 有害：给机械带来多余阻力，使机械发热，引起零件磨损，消耗能量，降低效率和使用寿命。有利：用于传动，制动，调速等，没有摩擦，人不能走路，车不能行驶。本章主要讲述滑动摩擦问题，滚动摩擦只介绍一个概念。为什么要研究呢?摩擦在生产和生活中起着十分重要的作用，既表现为有害的一面，也表现为有利的一面。第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 重FP的物块放在倾角α大于摩擦角φm的斜面上(图5-14a)，另加一水平力FT使物块保持静止。求的FT最小值与最大值。设摩擦因数为fs。图5-14a解:因α＞φm，如FT太小，则物块将下滑；如FT过大，又将使物块上滑，所以需要分两种情形加以讨论。先求恰能维持物块不下滑所需力的最小值FTmin。例5-6第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 图5-14b这时物块有下滑的趋势，所以摩擦力向上，如图5-14b。写出平衡方程：由式（ｂ）得：将及（ｃ）式例5-6第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 代入（ａ）式，得：将带入上式，得：（d）其次，求不使物块向上滑动的最大值FTmax。这时摩擦力指向下（如图）。例5-6第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 由式（ｅ）、（ｆ）及可见，要使物块在斜面上保持静止，力FT必须满足以下条件：例5-6写出平衡方程：（e）（f）得:第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 本题若用摩擦角求解，则更简单。当FT有最小值时，物体受力如图5-15a所示，其中FR是斜面对物块的全约束反力。这时FP、FTmin及FR三力成平衡，力三角形应闭合(图5-15b)。于是得到:例5-6第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 图5-15如果α=φm，则FTmin＝０，无须施加力FT物块已能平衡。这时，只要α略为增加，物块即将下滑。在临界状态下的角α称为休止角，它可用来测定摩擦因数。例5-6当FT有最大值时，物块受力如图5-15c所示，力三角形如图5-15d，于是有:第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 梯子AB长l，一端支于地板，另一端靠在墙上，梯与地板成角α(图5-16)。若梯与地板及墙壁之间的静摩擦角都等于φm，不计梯重，求重为FP的人沿梯上行而梯不滑倒的距离。设墙壁与地板垂直。图5-16例5-7附图例5-7第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 解:当人上行的距离达到极限值xmax，梯子即将开始滑动时，Ａ、Ｂ两点的全反力都与接触面的法线成角φm(图5-16)。由直角三角形ABC及BCD中的几何关系可知:例5-7延长FRA及FRB的作用线交于点C，重力FP必须通过点C，三力才能平衡。这时，人所在位置就是极限位置。因墙壁与地板垂直，所以AC⊥BC。第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 因此，要使梯不滑倒，人上行的距离应为ｘ≤xmax，即:故当α有一定值时，人上行的最大距离决定于摩擦角，而与人重FP无关。例5-7第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 一皮带传动装置采用摩擦制动器制动，各部分尺寸如图示，已知l=1m，a＝0.4m，R=0.3m，r=0.15m，r1=0.2m，b=0.02m。皮带轮Ⅱ与摩擦轮Ⅲ固结在一起并套在同一轴上。若已知作用在轮Ⅰ上的转动力矩M=60kN·ｍ，闸块与摩擦轮Ⅲ之间的摩擦因数fs＝0.8，制动力FP＝332kN。图5-17a例5-8试问此时能否制动?第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 解:分别取轮Ⅰ、轮Ⅱ、轮Ⅲ及杆AB来考虑，各部分受力如图所示。首先假设系统能保持平衡(即能制动）例5-8第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 由图(5-17b)列平衡方程:解得:再由图(5-17c)列平衡方程:例5-8第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 又因F1′=F1，F2′=F2，于是由式①，②可得:由图(5-17d)列平衡方程:③又因F1′=F1，F2′=F2，故求得：例5-8②解得:第二节摩擦及有摩擦的平衡问题 此时闸块处所能产生的极限摩擦力大小FL=fsFN=0.8×800=640kN，假设能制动情况下，摩擦力F=600kN