吉林大学理论力学课件-第2章

第第22章章力力系系的简的简化化(Reduction of Force System) 第2章力系的简化■汇交力系■力偶系■空间任意力系的简化■讨论 ■汇交力系力系两个或两个以上的力所构成的系统称为力系,又称力的集合. 空间力系风力重力浮力阻力 ■汇交力系汇交力系(concurrent force system)所有力的作用线汇交于一点的力系称为汇交力系 ■汇交力系一、力在直角坐标轴上的投影与分解F =F cosaüxïF y=F cos býïF =F cos gzþF =F singcos jüxïF y=F singsinjýïF =F cos gzþ ■汇交力系vvvvF=F+F+Fxyz vvv=Fi+Fj+Fkxyz  ■汇交力系二、汇交力系合成与平衡合成—几何法力多边形法则 ■汇交力系合成—解析法vvvvvF=F+F+LL+F=åFR12ni 而FRx =åFix FRy =åFiy FRz =åFiz 合力的大小和方向余弦分别为F =(åF ) 2+( åF ) 2+( åF ) 2üRix iy izïåF åF åF ýix iy izcos(FR,i) =cos(FR,j) =cos(FR,k) =ïF F F RRRþ ■汇交力系平衡—几何法平衡的几何条件是：汇交力系的力多边形自行封闭。 ■汇交力系平衡—解析法汇交力系平衡的必要和充分条件是：力系的合力等于零，即vF=0R åF=0其平衡方程式为ix åF=0iy åF=0iz即力系中各力在坐标轴上投影的代数和分别等于零 ■汇交力系例起吊装置如图(a)所示，起重杆A端用球铰链固定在地面上，B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，CD连线平行于X轴。若已知a=30°C，E=EB =DE ，ÐEBF=30°，如图(b)所示，物重P =10kN 。不计杆重，试求起重杆所受的压力和绳子的拉力。 解：取起重杆AB与重物为研究对象，建立图示坐标系，受力如图(a)。由已知条件可知，ÐCBE=ÐDBE=45°由平衡方程åF =0 F sin 45 °-F sin 45 °=0 x12 åF =0F sin30°-F cos 45°cos 30°-F cos 45°cos 30°=0yA12åF=0 Fcos45 °sin 30 °+Fcos45 °sin 30 °+Fcos30 °-P=0 z12AF=F =3. 54kN解得12 F=8. 66kNAFA为正值，表明所设的F A方向正确，AB为压杆。 力对点的矩 ■力偶系★力对点之矩与力对轴之矩★力偶系 ★力对点之矩与力对轴之矩1、力对点之矩(moment of a force about a point)力对点之矩是力使物体绕某点转动效果的度量。1）矢积表达式vvvvF(Fx,Fy,Fz) A(x,y,z) vvvvr=xi+yj+zkvvvvM(F)=r´Fo 力矩的大小M(F)=F×d =2 AODOAB ★力对点之矩与力对轴之矩2）力对点之矩的解析式为éijk ùvvvvêúM(F)=r´F=xyz o êúêFFFúëxyz û=(Fz yFy z)i+(Fx zFz x)j+(Fy xFx y)k=[M(F)]i+[M(F)]j+[M(F )]kOxOyOz[M(F)]=yF-zF üo xzyï[Mo (F)]y=zF x-xF zýï[M(F)]=xF -yF o zyxþ 力对点的矩为零的条件：要使要使||MMOO((FF))||==00，就有，就有rr××FF==00，，得：得：11））rr==00或或rr与与FF共线，共线，即力即力通过矩心通过矩心；；22））FF==00 ★力对点之矩与力对轴之矩力对点之矩是定位于矩心的矢量,其矢量方向由右手定则确定.平面问题中力对点之矩是代数量。取绕矩心逆时针转动为正，反之为负。 ★力对点之矩与力对轴之矩2、力对轴之矩实例moment of a forceabout an axis力对轴之矩是F z 力使物体绕某轴转F 动效果的度量。F y F xF  ★力对点之矩与力对轴之矩定义定义::将力向垂直于该轴的平面投影,力的投影与投影至轴的垂直距离的乘积.Mz(F)  =F dxy =±2ADoAB  ★力对点之矩与力对轴之矩力对轴之矩的解析式M(F) =yF-zF üx z y ïM y ( F ) =zF x -xFz ýïM ( F ) =xF-yFz y x þ ★力对点之矩与力对轴之矩3、力对点之矩与力对轴之矩的关系[ Mo( F)] x=Mx(F) =yF z -zF yüï[ Mo( F)] y=My( F ) =zF x-xF z ý[ M( F)] =M( F ) =xF -yF ïoz z yxþ力对点之矩在通过该点的某轴上的投影等于力对该轴之矩。vvvvvvvvM(F)=M(F)i+M(F)j+M(F)kOxyz ★力对点之矩与力对轴之矩M特特o殊殊情情F 形形结论:当轴垂直于r和F所在的平面时,力对点之矩与力对轴之矩在数值上相等。 ★力对点之矩与力对轴之矩4、合力之矩定理n汇交力系( F , F , L, F ) 12 n FR=S Fii=1MO(FR)=SMO(Fi) M( F) =[M( F) ]=å[M( F) ]=åM ( F) z RO RZ O Z Z 合力矩定理：(汇交力系)合力对任一点之矩矢等于力系中各力对该点之矩矢的矢量和；(汇交力系)合力对任一轴之矩等于力系中各力对该轴之矩的代数和。＊该定理适用于有合力的任何力系 ★力对点之矩与力对轴之矩例例题题已知:F,l,l,a.12求:M(F)O解：M O(F)= M o(Fx) +M o( Fy) =M (Fsinai) +M (Fcosaj)OO ★力对点之矩与力对轴之矩例例题题三角形分布载荷作用在水平梁AB上，如图所示。最大载荷强度为q m ，梁长l 。试求该力系的合力解：求合力的大小x l1q¢=q mF=q ¢dx =q l l Rò0m2 求合力作用线位置l 2Fh=q¢xdxh=lRò03即合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合力作用线通过三角形的几何中心。 ★力对点之矩与力对轴之矩 ★力偶系力偶(couple):大小相等,方向相反,不F1r共线的两个力所组成1rBAr2的力系.F2F1力偶作用面(actingplaneofF2acouple):二力所在平面。力偶臂(armofcouple):二力作用线之间的垂直距离。 ★力偶系●力偶实例 ★力偶系●F1力F2偶实例 ★力偶系力偶三要素：力偶矩的大小；力偶作用面在空间的方位；力偶在作用力面内的转向。偶力偶三要素可用一个矢矩量表示，称为力偶矩矢(moment vector of couple)矢力偶对O点之矩等于这个力系中的两个力对该点之矩之和。M=rBA´F ★力偶系MO=MO(F) +MO(F´) =rA ×F+rB ×F´=rA ×FrB ×F=(rArB)×FO1 =rBA×F MO1 = ？其方向亦可由右手定则确定。 ★力偶系●力偶的性质性质一一::力偶无合力,即主矢F=0.R性质二二::力偶对刚体的运动效应(effect of motion)只与力偶矩矢量有关. ★力偶系F F ´F F ´推＊只要保持力偶矩矢量论F 不变，力偶可在作用面内F ´任意移动，其对刚体的作用效果不变 ★力偶系推F F ´F / 2F´/ 2 （b）论＊保持力偶矩矢量不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。 ★力偶系推M=Fdk 论＊只要保持力偶矩矢量大小和方向不变,力偶可在与其作用面平行的平面内移动。 ★力偶系●力偶系及其合成z力偶系(system of couples):由两个或两个以上力偶x y 组成的特殊力系 ★力偶系力偶系合成的结果力偶系合成的结果::仍然是一个力偶，其M 力偶矩矢量等于原力偶系中所有力偶矩矢量之和。即nM=SMi=1i  ★力偶系M x =M 1x +L+M nx =åM ix üSMzïïM y =M 1y +L+M ny =åM iy ýïM z =M 1z +L+M nz =åM iz ïþSMySMxM=åM i +åM j +åM k ix iy iz22 2 üM =(åM )+(åM )+(åM )ix iy iz ïïåM ix åM iy ïcos (M,i)=cos (M,j)=ýM M ïåM ï()iz cos M,k=ïM þ ★力偶系例题例题1已知:M1和M2(M1=M2=M0),及其作用面.求:合力偶。 ★力偶系解:首先将已知力偶矩(大小和方向)表示成矢量表达式rM=M×nn=1 11 1 1 r 1 rM=M×nn=2 22 2 2 r 2 r=r×r其中1 CB ABr=r×r2 DC ACr,r,r,rCBAB DC AC都可以表示成i ,j k的形式结果:M=M1+M2=(0.555i+1.279j+0.899k)M0 ★力偶系例题2已知:结构受力如图所示,图中M,r均为已知,且l=2r.试:画出AB和BDC杆的受力图;求A,C二处的约束力. ★力偶系例题2 受力分析:1.AB杆为二力杆;2.BDC杆的A、B二处分别受有一个方向虽然未知但可以判断出的力. ■空间任意力系简化(reduction of a force system)◆力的平移F:力;B:任一点;na:F与B所在平面;Bn:a平面的法r 线单位矢;F  ■空间任意力系简化nnBBr r F F 在B点作用什么力系才能使二者等效？ ■空间任意力系简化F 〞〞nnBBr r F′′F F （（--F〞〞=F′′=F ））M ( F, F¢¢) =M (F) =r´FBBA  ■空间任意力系简化M ( F, F¢¢) =M (F) =r´FBBA 力的平移定理：作用在刚体上某点A的力F可平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的力偶矩矢等于原来的力F对新作用点B的矩矢。 ■空间任意力系简化实例F ′AF AF F AA ■空间任意力系简化M F ′AF AF AM xF AF AM y  ■空间任意力系简化 ■空间任意力系简化◆空间任意力系向一点简化 ■空间任意力系简化主F¢=FF¢=FLF¢=FFˊ=S Fˊ1 1 2 2 n n R i矢=S Fi主矢(principal vector):力系中所有力的矢量和 ■空间任意力系简化Fˊ=SFRx ix Fˊ=FRy Siyˊ=FFRz Sizü¢2 2 2 ïFR=(åFix ) +( åFiy ) +( åFiz ) ïï¢åFix ¢åFiy ïcos( FR, i) =¢cos( FR, j) =¢ýFFïRRïcos( F¢, k) =åFiz ïR¢ïFRþ ■空间任意力系简化M =M (F) M =M (F) LM =M (F) 1 o1 2 o 2 n o n 主Mo =åM i =åM o (F i ) 矩=åri ´F i 主矩(principal moment):力系中所有的力对同一点(矩心)之矩的矢量和. ■空间任意力系简化M =å[M (F ) ]=åM ( F ) oxo x x M =å[M (F ) ]=åM ( F ) oyo y y M =å[M (F ) ]=åM ( F ) oz o z z üM=[åM (F )]2 +[åM (F )]2 +[åM (F )]2 ïOx y z ï()åM x (F )åM y (F )ïïcos MO,i=cos (MO,j)=ýM M OOïåM (F )ï()z cos MO,k=ïM ïOþ ■空间任意力系简化主矢F¢=åF主矩M =åM =åM (F) ROi O 简化结果：空间任意力系向任一O点简化，可得一个力和一个力偶。这个力的大小和方向等于力系的主矢，作用线通过简化中心；这力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩。 ■空间任意力系简化主主矢的特矢的特点：点：◆对于给定的力系，主矢唯一；◆主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉及作用点和作用线,因而主矢是自由矢。主矩的特点:◆力系主矩M与矩心(O )的位置有关；O◆力系主矩是定位矢,其作用点为矩心。 ■空间任意力系简化MFMDBCFCMEFA怎样判断不同力系的运动效应是否相同？同？力系等效定理(theorem of equivalent force systems)：不同的力系对刚体运动效应相等的条件是不同力系的主矢和对同一点的主矩对应相等. ■空间任意力系简化空间任意力系汇交力系力偶系合力合力偶FR=SFi MSM(F) O=Oi ■空间任意力系简化实例固定端约束平面载荷作用的情形平面分布约束力简化结果:FAx;FAy;MA ■讨讨论论◆关于几个力学矢量的分类请判断力矢量、力矩矢量、力偶矩矢量、主矢、主矩分别属于下列矢量中的哪一种：●自由矢;●滑动矢;●定位矢.请分析合力与主矢、合力偶矩矢量与主矩的相同点和不同点. ■讨讨论论◆几种常见约束●活页铰●三维固定端 ■讨讨论论●活页铰 ■讨讨论论●三维固定端 ■讨讨论论◆力系向任一点(O)简化结果1) 1) FR =0, M o =0 —零力系(平衡力系)特特殊殊2)2) FR =0, M o ¹0 — 合力偶情情3) 3) FR ¹0, M o =0 — 合力形形(F^M)— 合力4) 4) F¹0, M ¹0 ROR o (还可以再简化) ■M (F)=åM (F)讨讨ORO [M (F)]=å[M (F)]=åM(F)论论OR ZO ZZ合力矩定理：合力对任一点之矩矢等于力系中各力对该点之矩矢的矢量和；合力对任一轴之矩等于力系中各力对该轴之矩的代数和。 ■讨讨论论F ¹0,M¹0 Ro一●F垂直于M般RO●F平行于M情RO●F既不平行也不垂直于M形RO三种结果都还可以再简化 ■讨讨论论 ■讨讨论论wrench offorce system  ■讨讨论论问题:力系如图所示,若FTFT、FQ、h、e等为C h已知，求：FQ1.向C点简化结果F′T 2.最后简化结果e  本章作业