清华大学理论力学课件-点的运动学

第一篇运动学第1章点的运动学 第1篇运动学运动学的任务描述物体的机械运动，包括研究描述运动的方式，确定速度、加速度和其它运动学量的方法。不考虑运动产生和变化的原因，仅从几何的观点分析物体如何运动，确立描述运动的方法。参考物：运动情况已知的物体参考系：与参考物固连的整个空间地球参考系：与地球固连的抽象的三维空间地心参考系：原点位于地心，坐标轴指向恒星2021/7/152 第1篇运动学参考系与坐标系是两个不同的概念例如滑块沿斜面运动，选地球参考系,可以建立两种坐标系32021/7/15 第1节矢量描述法42021/7/15运动方程位移矢量端图OPP´速度加速度 第2节直角坐标描述法52021/7/15yzP(x,y,z)ox运动方程速度加速度 第2节直角坐标描述法62021/7/15例1设梯子的两个端点A和B分别沿着墙和地面滑动，它和地面夹角是时间的已知函数，求梯子上M点的运动轨迹、速度和加速度。AMabB 第2节直角坐标描述法解：72021/7/15取如图所示的直角坐标系，则M点的坐标为由此得M点的轨迹方程为yOABMaxb 第2节直角坐标描述法82021/7/15M点的速度为M点的加速度为yOABMaxb 第2节直角坐标描述法92021/7/15当a=b=l时，M点的速度：M点的速度垂直于其矢径！yOABMlxl讨论 第2节直角坐标描述法102021/7/15当a=b=l且时，M点的加速度：加速度指向O点—匀速圆周运动yOABMlxl 第2节直角坐标描述法112021/7/15例2半径为R的轮子沿直线轨道纯滚动(无滑动地滚动)。设轮子保持在同一竖直平面内运动，且轮心的速度和加速度分别为u和aO，试求轮子边缘点M的运动轨迹、速度、加速度。MMRO 第2节直角坐标描述法122021/7/15解：取坐标系Axy如图所示，设M点所在的一个最低位置为原点A，则当轮子转过一个角度后，M点坐标为这是旋轮线的参数方程。ORCAxy 第2节直角坐标描述法132021/7/15 第2节直角坐标描述法142021/7/15M点的速度为：ORCAxyM点的加速度为： 第2节直角坐标描述法接触点速度讨论152021/7/15—M点在该瞬时速度为零！当M点位于最高点时，即当M点与地面接触时，即为什么？ 第2节直角坐标描述法162021/7/15M点的速度始终垂直于CMORCAxy速度的大小：任意边缘点速度讨论 第2节直角坐标描述法172021/7/15当M点与地面接触时为什么a向上？接触点加速度讨论 182021/7/15ORCAxy如何求出和 第2节直角坐标描述法192021/7/15例3绳的一端连在小车的A点上另一端跨过B点的小滑车绕在鼓轮C上，滑车离地的高度为h。若小车以匀速度v沿着水平方向向右运动，求当时BC之间绳上一点P的速度和加速度。hPθCAB 第2节直角坐标描述法202021/7/15几何关系：对时间求导hPθCABl 第3节自然坐标描述法212021/7/15如果点沿着已知的轨迹运动，运动方程可用点在已知轨迹上所走过的弧长随时间变化的规律描述。运动方程： 第3节自然坐标描述法速度222021/7/15P´Po 第3节自然坐标描述法加速度232021/7/15切向加速度法向加速度大小？方向？ 第3节自然坐标描述法242021/7/15P´Po返回—曲线上P点的曲率 第3节自然坐标描述法252021/7/15n就是曲线在P点的法向单位向量。P´P与垂直，其单位向量用n表示。返回 第3节自然坐标描述法262021/7/15例4设有一点M的轨迹是平面曲线，M点的向径为r，速度为v。直线OA垂直于过M点的切线，并且与切线交于A点。试求A点速度的大小。 第3节自然坐标描述法272021/7/15 第4节极坐标描述法282021/7/15点P沿着平面曲线运动，其在任意时刻的位置可以用极坐标表示为：P点的矢径:oP—径向单位矢量—横向单位矢量由矢量对时间的导数的物理意义可得： 第4节极坐标描述法292021/7/15P点的速度为径向速度横向速度oPv的方向？ 第4节极坐标描述法302021/7/15P点的加速度为请注意径向和法向、横向和切向之间的差别！径向加速度a横向加速度aOP 第4节极坐标描述法例5行星沿着椭圆形轨道绕太阳运动，椭圆方程为在行星运动过程中，从太阳到行星的矢径扫过的面积与时间成正比，或者说面积速度始终保持是常数即求行星的加速度。312021/7/15 第4节极坐标描述法322021/7/15行星的加速度始终指向太阳！ 第5节曲线坐标描述法332021/7/15空间一点可以由三个独立变量(称为曲线坐标)来描述，该点的矢径写成为则该点的速度用曲线坐标表示为 342021/7/15第5节曲线坐标描述法其中容易证明：如果相互垂直，则点加速度为同理，点加速度也可以用曲线坐标写出来。则若令 352021/7/15第5节曲线坐标描述法径向、横向和z方向速度为由此得于是径向、横向和z方向加速度为解：令则有例6试求柱坐标形式的速度和加速度公式。 追击问题362021/7/15假设追击者只知道目标现在的位置，不能预知目标将来的位置，因此追击者的速度方向总是指向目标现在的位置，例如狗追兔子、导弹打飞机等。BA目标追击者 追击问题372021/7/15由假设知又由可得追击问题的相对运动微分方程：当时，目标被击中或捕获。通常追击者速率是已知的，如果目标的速度或轨迹也是已知函数，则求解上面微分方程可得相对运动轨迹。oA目标追击者B 追击问题382021/7/15例7设靶机以水平速度u飞行，飞行高度为h，地对空导弹从O点发射，其飞行速率为常数v，试求相对飞行轨迹。huvO 追击问题392021/7/15解：根据已知条件，在图示平面直角坐标系中有：追击问题的相对运动微分方程：如何求解？xyOhv 追击问题402021/7/15用极坐标系(以任意时刻导弹的位置为坐标原点)，则有追击问题的相对运动微分方程在极坐标下写成结论？