钢筋混凝土双向板挠度的性态研究

分类号：：单位代码密级：无学号：硕士学位论文论文题目：钢筋混凝土双向板挠度的性态硏究研究生姓名刘洪富专业名称结构工程指导教师姓名赵玉星学院土木工程学院入学日期年月论文提交日期年月 山东建筑大学硕士学位论文题目钢筋混凝土双向板挠度的性态研究计：学位论文页表格个插图幅评阅人指导教师：赵玉星学院院长：周学军学位论文完成円期：年月 原创性声明本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下,独立进行研究取得的成果。除文中已经注明引用的内容外,论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果,也不包含为获得山东建筑大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。、学位论文作者签名：日期)』、学位论文使用授权声明本学位论文作者完全了解山东建筑大学有关保留、使用学位论文的规定,即：山东建筑大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘,允许论文被查阅和借阅。本人授权山东建筑大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或其它手段保存、汇编学位论文。保密论文在解密后遵守此声明。学位论文作者签名：曰期。导师签名曰期力、 山东建筑大学硕士学位论文摘要钢筋混凝土双向板是目前实际工程结构中广泛使用的结构构件之一,特别是随着大跨度、大空间结构的发展,对于双向板的跨度的要求也越来越大；在实际的板结构设计中,计算板在使用阶段的挠度也往往是必须进行的。然而,就目前我国的研究成果来看,对于双向板挠度的计算的研究还比较落后,我国现行的规范并没有给出方便地计算双向板挠度的方法；从多年前的混凝土结构设计规范年前的混凝土结构设计规范到现行的混凝土结构设计规范钢筋混凝土双向板的挠度计算方法一直是空缺的,在实际设计屮一直不能方便正确地计算钢筋混凝土双向板的挠度。存在这种空缺是因为钢筋混凝土双向板的特性所影响的,双向板的受力性态比较复杂,它的挠度和刚度的规律不像普通的单向受弯构件的那么直观,致使它的挠度规律比较难发现。所以,为了能够得到一种方便计算双向板挠度的方法,对钢筋混凝土双向板的挠度性态研究是非常必要的。本文首先对近年来关于双向板挠度的研究成果做了一些简要的总结,从这些研究成果中不难看出,这些研究成果具有一定的参考价值,但是却不能达到我们希望的成果,研究的深度还是不够。本文还回顾了经典弹性薄板理论的发展和一些经典的关于双向板挠度的数值解法。本文对钢筋混凝土一对边简支的单跨板承受均布荷载的挠度性态进行了实验研究,实验设计了四块相同尺寸的板。测定了若干点的挠度和应变值；目的就是探索双向板的刚度和曲率的变化规律。通过试验研究,基本上得到了筋混凝十双向板的一向弯矩仅仅引起本方向的曲率,几乎不引起相垂直方向的曲率的规律。本文中的曲率挠度计算路线是一条新思路；若山刚度曲率规律得到了板的曲率分布,曲率挠度计算路线就形成一种方便的挠度新算法。关键词：钢筋混凝土双向板,挠度性态,实验研究,曲率规律 山东建筑大学硕士学位论文 山东建筑大学硕士学位论文, 山东建筑大学硕士学位论文目录第一章绪论研究的的和意义钢筋混凝土双向板挠度问题的研究现状试验、理论分析相结合的研究现状双向板的非线性有限元分析的研究现状本文的研究内容第二章弹性薄板分析理论弹性薄板理论的发展弹性薄板的基本假设薄板的小挠度弯曲理论挠板的斜率与曲率小挠度薄板的基本方程正交各向异性板的计算理论各向异性板的小挠度弯曲问题各向异性板的近似计算第三章弹性薄板的实用算法和钢筋混凝土板的屈服线法弹性板的实用算法限差分法限单元法钢筋混凝土板的屈服线法苺本假设破坏图形的估计板的最大侥度的估计第四章对边简支单跨双向板的试验研究 山东建筑大学硕士学位论文试验背景试验内容和加载试件的制作测点的布置,测试内容加载布置关于支座形式与试件受力方式试验数据及结果分析试验数据结果分析规律讨论第五章全文总结主要结论有待进一步解决的问题参考文献攻读硕士学位期间发表论文发表及科研情况 山东建筑大学硕士学位论文第一章绪论研究的目的和意义钢筋混凝土板作为建筑结构中的受弯构件,在保证结构体系的承载力和整体的刚度方面起着重要的作用。进入本世纪以来,在我国经济比较发达的地区,过去曾经被广泛使用的单向受力的钢筋混凝土预制板迅速被淘汰,钢筋混凝土双向板作为常见结构工程中的不可缺少的基本构件,无论是在工业建筑上,还是民用建筑上,他的应用都是非常广泛的,我们身边的几乎每一栋建筑结构都应用到了混凝土双向板。对于基本结构构件的设计和制作,我们通常采用的方法是要控制他的两个极限状态,一个是承载能力极限状态,另一个是正常使用极限状态。而在这其中对于挠度问题的验算是属于第二种极限状态需要控制的内容,对于这一内容的验算我国现行的结构可靠度标准中也有明确的要求；还有,混凝土结构设计规范的条,也规定对需要控制变形的构件,应进行变形验算。然而我国的结构设计规范并没有之处一种有效的计算双向板挠度的方法,这一点我们可以从多年前的混凝土结构设计规范以及年前的混凝土结构设计规范,到现行的混凝土结构设计规范可以看出,在这些规范中都只有关于单向受弯构件的计算方法,而相对于双向板烧度的计算方法却是紧缺的。正是由于规范中存在的此类缺陷,以及我国对于这方面研究的滞后,导致我们对于一些需要严格控制侥度变形的结构构件,在验算其变形时无据可依,所以在进行结构构件的设计时不能准确的应用。我们可以发现有些研究文献(例如参考文献、用我国规范中计算混凝土梁的方法去计算双向板的挠度,显然这是不恰当的,他并没有考虑双向板的特性；之所以出现此误,文献作者对规范中现有的钢筋混凝土梁挠度计算方法理解不够深刻是一方面的原因,混凝土双向板的挠度计算方法研究滞后,文献、的作者找不到混凝土双向板挠度的适当计算方法无疑也是客观现实。总而言之,应该深化对混凝土双向板挠度计算的理论研究。现实存在的一个问题是我国规范早在很久以前就给出了准确的计算单向受弯构件的挠度的方法,而对于双向受弯构件的挠度计算却迟迟不能给出准确的方法？究其原因通过阅读大量的相关文献我们可以得知是因为混凝土双向板的受力变形形态比较复杂,它在刚度跟挠度的变化上所反映出的规律与一般的单向构件相比要更加的的复杂,所以要提出计算双向构件的计算方法就显得比较困难。为此要给出双向板挠度的准确卜算方法, 山东建筑大学硕士学位论文首先应对它的挠度曲率变化规律进行深入的研究。混凝土单向受弯构件挠度方法的提出是经历了几代人坚持不懈的对单向构件的挠曲性态进行研究才得出的。不是一个人,也不是一朝一夕可以实现的。所以为寻求准确的计算方法,对混凝土双向板挠度性态的研究是必要的。笔者的研究思路是首先研究双向板的挠度性态,以此为依据去探索混凝土双向板的挠度计算方法。钢筋混凝土双向板接度问题的研究现状总体地说,由于钢筋混凝土双向板弯曲的受力性态比较复杂,提出高效的计算方法比较困难,影响着人们研究的积极性,所以无论是国内,还是国外在计算混凝土双向板挠度的研究上始终是不令人满意的,并且在众多的结构文献中能供参考的也寥寥无几。目前,通过有线的文献我们可以看出对双向板挠度计算的研究方法主要有两种；一种是试验、理论分析相结合的方法,另一种方法是有限元的非线性分析。试验、理论分析相结合的研究现状此种方法是一种比较传统的方法,它是目前能够取得一定研究成果的主要方法,这种方法的涵义就是以基本材料力学模型和结构模型试验为依据的一种综合研究方法。我们现在所使用的相关规范上的关于混凝土梁的挠度计算方法,就是依据此类方法研究得出的,同时利用这种研究方法我们还得到了混凝土构件承载能力极限状态的计算方法,并且在现行的规范中得到广泛的应用。一、由于前我对于钢筋混凝土双向板挠度的研究比较滞后,结构设计时对混凝土双向板的设计一直处于计算强度但不验算挠度的状况中,基于。进行配筋计算,但是规范中关于挠度变形的下列设计表达式并未实际使用。我国现行的混凝土结构设计规范(第条指出,对钢筋混凝土和预应力混凝土受弯构件的挠度计算可采用结构力学方法。其实这是对混凝土梁或者单向板来说的。上述规范中明确的给出了考虑荷载长期作用影响下的受弯构件的刚度的计算表达式：—以上刚度讣表达式的应用前提是,荷载组合采用标准组合,其中是受弯构件的短期刚度,它的适用范围是随着构件的特性不同而改变的,对于普通受弯构件是按准永 山东建筑大学硕士学位论文久组合计算,而对于预应力受弯构件是按按标准组合计算。如下所示：普通混凝土受弯构件—一预应力混凝土受弯构件控制不出现裂缝的构件允许出现裂缝的构件—严。、、卜、其中接下来,本文只讨论第种情况即普通混凝土的情况,不考虑预应力混凝土的情况。二、在现有的文献中我们可以看到某些文献针对板在出现裂缝后的挠度和刚度的计算,提出了一种特殊的近似的方法,此种方法的主旨就是将我国现行规范中关于梁的挠度计算方法近似应用到双向板的求解过程中。由力学知识我们可以知道双向板在挠曲变形过程中会产生下图中的曲面；根据上面提到的方法我们可取如下图所示的中间板带进行研究分析,如图所示。■—乂—图板带选取及荷载情况运用上述的方法计算板的挠度有一个重要的假设,就假设混凝土的拉应力是不存在的,由于变形引起的拉应力有内部的钢筋承担；在此假设《础上我们只要得出图示板 山东建筑大学硕士学位论文带的,进而就可以得到。根据力学知识中双向板的定义我们可以明确的看出,双向板具有双向性,表现为在两个方向上受弯；对于理想材料的四边简支条件下的板在满足克希霍夫假设下前提下,它的抗弯刚度和曲率、存在着一定联系：丄丄其中,为材料的泊松比。我们假定混凝土在正常使用阶段依旧存在着上面的关系；其中的我们补课再称之为泊松比,它变为横向变形系数(在下面的叙述中我们都把看做横向变形系数)；假设贝在正常使用阶段混凝土蕴含着些列关系：丄丄(、)坼卜丄丄(为了计算简便,假设十、则(式变为丄即在正常使用阶段,我们仍遵循平截面的基本假定,因此曲率与应变、的几何关系为(如图 山东建筑大学硕士学位论文歲言丄图板带弯曲与截面应变分布丄,。…根据(,知刚度为、因为忽略混凝土的拉应力,所以刚度公式可以表达为：〃力卜根据图可知,板带内钢筋的拉应变为：仏处于使用阶段的混凝上,由于受压区处于弹塑性阶段；所以产生很小的应变,所以我们可以根据下面的表达式推到出受压混凝土在方向的压应变■ 山东建筑大学硕士学位论文一、,为受压混凝土在相邻两个方向上的弹性系数。则上式可以化为：将(,代入(式得一、为钢筋的配筋率。令±卜卜、因为双向板刚度的特殊性；我们再假设一个不均匀系数,让,然后得到的表达式为：卢卢。在(中,系数可以取为其中,的确定,由于在板内配置着垂直的受拉钢筋,所以钢筋的—打如列表达式,即 山东建筑大学硕士学位论文其中因为板配置着比较少的钢筋,(求得的《时,规范取。显然是不合理的；所以采用当,也就是〉的时候,用下面的式子进行计算的确定,根据定义《乂。、；因为我们不知道板《的试验资料,所以取为确定系数,由式子(可知,同时我们从式子中卜、还可得知,、(、力都是与板上面存在的弯矩密切关联的,当取时,由的定义可以得到—、当￡丄、时,按双向板计算为,,近似取、,那么按单向板计算为,,则,所以丄、时。可以认定。当的时候,并且板相邻方向上的抵抗弯矩等同时,,,《,贝、。因为双向板变形形态的双向性,导致板内个点的变形刚度也是不相同的。为了能够简便的解释,我们引入现行规范中提出的关于梁的最小刚度原则；并且假定由此产生的误差是可以山裂缝的发展而中和的。然而,板内存在着微小的剪力,随之产生的裂缝也足很小的,假如再用上述的方法势必会影响计算结果,此我们应该在某种程度上扩大 山东建筑大学硕士学位论文它的最小刚度；根据预应力构件,对控制不出现裂缝的构件取乜￡。,对允许出现裂缝的构建取—》根据计算数据,对正方形取《,当￡、时取。使得在时在￡时；当丄直在到之间时,；取为随按抛物线变化,即；短期荷载下的刚度公式。将代入可得的表达式为尸根据解得为短边方向的刚度,在进行双向板的简化计算时我们近似取为相等。采用弹性力学方法计算时,在时与试验结果能够较好的吻合。但在时,随着的增大,计算结果可能会增大,并且这种变化是线性的；所以,当时,用下面系数对作一些补充。在文献的研究成果中,做了上述理论结果与实验结果的比较验证,更加深入的证实了该公式的实用性,为以后的研究提供了一定的参考,但是却不是我们真想要的研究结果。三、笔者还注意到其他一些学者的工作。世纪年代,湖南大学进行了混凝土双向板的实验分析,分别制作了两种不同类型钢筋的试件,一种是冷拔低碳钢丝,种是普通热札钢筋,分別从双向板的强度、变形特性、裂缝发展几个方面入手,对板的特性进行了深入的研究分析。童申家等在西安建筑科技大学也进行了混凝七双板的实验分析,所考虑的因素是复杂情况下的边界支撑条件,研究的重点放在了山于支撑条件的差异和配筋率的不同,对双向板变形性能的影响情况,而且还对板以何种模服做了一力益的探讨。 山东建筑大学硕士学位论文东南大学在通过实验和理论分析的方法研究了在竖向荷载作用下的冷轧双翼变形钢筋混凝土双向板的裂缝产生和发展形态以及抗弯刚度、整体变形等一些方面的情况,同时还进行了双向板跨中侥度的计算。清华大学在年利用有限元的方法分析了板壳结构的特性,建立了混凝土板壳结构的有限元模型,并且进行了进一歩的实验研究,以便同有限元结果进行比较,得出的结论是有限元计算的结果同实验分析的结果在一定程度上能够较好的吻合。双向板的非线性有限元分析的研究现状随着科技的发展和人类文明的进歩,在当今社会计算机技术在我们的生活中得到了前所未有的发展和应用,此时有限元的分析方法也应运而生,并且得到了充足的发展。随后人们把有限元的分析方法运用到混凝土的非线性分析上,积极地探索,取得了前所未有的成果。之所以把有限元技术运用到混凝土非线性分析上,是因为它能更准确的给出双向板的受力变形形态,以及它的变形发展规律,而且我们还可以描述出裂缝的整个产生过程。同时我们可以依靠这种技术来估算构件的极限强度并进行结构的优化设计。有限元的分析方法同一般的固体力学的方法相比有其自身独有的特点：一个是混凝土材料的本构关系是复杂的,而且相对其他材料是特殊的；另一个是结构有限元的高度离散化。因此把有限元运用到混凝土非线性分析上是正确的,必要的。就目前而言,我们经常用到的有限元的模型形式主要有以下几种：他们分别是分离式、组合式和整体式。分离式模型,顾名思义就是把混凝土和钢筋两种材料分开来,分别来选择划分单元,这种处理方式的依据是两种材料在力学性能上的不同。这种处理方式也有它自身的不足,主要表现在两个方面。首先是如何在划分的单元中保持它的连续性的情况下,又能充分的体现裂缝的出现和发展的动态的过程；另外,怎么正确的模拟单元中混凝土和钢筋的复杂的关系,也就是他们之闻存在着的粘结和滑移的关系也是一个复杂的过程。整体式模型,通过字面意思我们可以清晰的知道它的特性,就是把两种材料即钢筋和混凝土,看做一个有着密切联系的整体。具体的实现方法是把他们看做一个均匀的整体,通过调整单元中的系数实现钢筋对整个结构的影响。可看出这种处理方式存在着不足,对钢筋的处理方式并不是最为准确的,我们无法通过调整几个系数来真正的反映钢筋和混凝土两种材料之问的复杂关系。这样也就不能正确的反应钢筋混凝土的真实形态。 山东建筑大学硕士学位论文组合式模型,也就是在我们介绍的上述两种模型的基础之上衍生出的一种综合的形式,他有它独特的特性,他的实现方式是假定钢筋和混凝土两种材料之间有很好的关联作用,也就是有良好的粘结作用并且两种材料之」不图钢筋化为膜的扳单元会发生滑动【。此种模型的表现形式主要采用两种方式,一种是分层的,它主要被应用到杆件系统中,另一种是复合单元。就是把钢筋简化作一层膜分布到结构构件中。如图所示,并且假定此层膜与跟它相连混凝土之间不存在相对滑动。本文的研究内容本文首先对国内外的关于双向板的研究现状进行了简要的概括,总结分析了现阶段混凝土双向板挠度计算的一些成果；并且介绍了经典的弹性理论计算方法,以及常用的近似的计算方法,这些努力都为我们后续的研究工作奠定了坚实的基础,并且为我们以后的研究提够了理论上的依靠。笔者基于板力学的解析计算理论提出了一种混凝土板烧度计算的新路线,即曲率挠度计算路线：首先分析板的曲率分布,比如图所示的板,曲率分布为和若要计算某点的挠度,取板上过点的一个截面,例如图中的截面；在分析了板的曲率分布之后,就知道了截而与板中而交线姑称为线的曲率,也就是抓住了曲线的形状,如图所示。挠度分布°图线的位置图之间的线曲率然后,点的挠度计算问题,就变成了曲率挠度的变换问题,由线处的板曲率可以得到线处任点的板挠度,此变换纯粹是儿何问题,也可以说是数学问题。文献已经为这变换提供了可靠的计算方法。 山东建筑大学硕士学位论文板的曲率必定与板的弯矩有关,或者说,板的曲率可以表达为两个方向弯矩和的二元函数：以及。正是因为混凝土双向板受力变化形态的多变性,导致了我们难以建立准确的方程来表达它的关系,也就更加难以用数学物理方法去求解它的规律。所以本文主要采用试验和理论分析相结合的方法进行曲率研究。笔者参与了赵玉星老师主持的关于厚度钢筋混凝土一对边简支单跨矩形板刚度性态挠度规律的试验研究,目的就是探索刚度、曲率和挠度的性态,探索两个方向的曲率有何规律,从而为由曲率计算板的挠度提供可靠的依据。通过试验研究,基本上得到了钢筋混凝土双向板的一向弯矩仅仅引起本方向的曲率,几乎不引起相垂直方向的曲率的规律。 山东建筑大学硕士学位论文第二章弹性薄板分析理论钢筋混凝土双向板的挠度计算是一个力学问题,本文先对板的力学理论发展作些回顾。根据板的力学特性,我们把板分为厚板和薄板等。当板在水平方向的长度远远大于他在垂直方向的厚度时,我们称之为薄板,反之称为厚板。薄板按它的刚度的大小又可分为刚性板和柔性版,换句话说可分为小挠度和大挠度板。刚性板的抗挠刚度很大,它的荷载承接方式是由弯矩和剪力来分担,所以他的特性等同于梁。薄膜是没有抗挠刚度的,它由轴向力和中心剪力来承受横向荷载。柔性板是一种刚度较小的板,它的荷载承接方式是有弯矩、剪力和轴力共同承受。假如换另外一个角度来看,也就是从位移的角度来看,当荷载不是很大的情况下,它变形产生的挠度要小于板的厚度(小于板厚的时,我们就可以称之为小挠度板；反之,如果它变形产生的挠度超出了上述的范围,则称为大烧度板。弹性薄板理论的发展薄板的弹性理论应归属于应用力学的范畴。此种理论的建立,应该是从对薄膜的振动问题开始的,他是由著名科学家欧拉(在世纪年代完成的。他的这项研究旨在研究矩形和圆形薄膜的振动,并且为之建立了平衡方程(其中为挠度,、为常数。随后,杰克伯努利将上述的研究成果发展应用到板的弯曲计算,并给出了方程(在上面的表达式中,伯努利假定它的横向载荷强度,是分别由不同方向上的梁来分别承担的,方向承担、；方向承担。但是在实际的应用中,伯努利的假设却没有把扭转所承受的那部分能量考虑进去,造成计算的结果不是精确的,而且他本人也发现了这个问题,假设制作两组不垂直相交的梁,所计算的结果也会存在不可忽略的误差。尽管如此,伯努利的假定也无疑是解决板问题的一次创举。 山东建筑大学硕士学位论文世纪初,物理学家启拉第(同样做了关于板振动的实验,建立了多种自由振动的模型。这在当时的板理论界引起了极大反响。紧接其后法国人索菲诺曼把变分法的基本原理运用到弯曲变形能的积分式上,给出了挠度的物理方程。他引用的变形积分式为(——式中,为曲率半径。然而按公式(计算时,可能会产生误差,究其原因是因为对板的变形能考虑的不够全面,甚至没有考虑弯曲变形产生的能量的影响,进而影响到表达式的准确性。后来拉格朗对她的研究进行修正和发展,填补了她的缺陷,给出了一个方程。后来人们称之为索菲诺曼一拉格朗円方程(、一纳维叶为弹性变形理论的产生和发展奠定了坚实的基础,他首次提出了比较完整的板弯曲变形理论,并且总结出了板弯曲变形准确的表达式。纳维叶采用傅里叶的三角级数理论,提出了一种新型的可应用于正确的计算矩形板在四边简支的支撑条件下的弯曲变形的方法,并且把这种方法扩展到均布荷载和集中荷载两种荷载作用的情况。世纪年代末,泊松在板理论上做了完善,他认为上述表达式(中的跟板的厚度的平方之间存在比例关系,并把此假定扩展到板弯曲的静力计算。上式中的取值近似为泊松比丄,最后给出如下表达式(之后通过泊松的深入研究改了约束条件的缺陷,并进行了一定的发展,其中主要是针对简支边界和固定边界做出了修,最后确立的约束条件一直沿用到现在。但是对于一些特殊情况下的约束条件,例如在已经作用有外向力的情况下,他提出要加上剪力、扭矩和弯矩等约束条件。根据板的方程我们不难看出它含有四个未知数,而我们现实中的板的边界条件却不是四个,而是只有三个,这就出现了矛造成方程可能无法解答。克希霍夫发现并总结了这一矛盾,并采取积极地研究来化解这一矛质,于是他提出了两个假设,为这一问题的解答奠定了基础。在研究过程中他发展了泊松的理论,确、了两个边界条件的理论。 山东建筑大学硕士学位论文开尔文对上面提到的减少的边界条件做出了重要解释,确定了在边界上只存在剪力和弯矩的边界约束条件。世纪末期,李维对边简支另外两边任意支承矩形板问题进行了研究,提出单三角级数法。是纳维叶解的进一步推广,更具有实际应用价值。板的控制方程建立的基础是板必须是线性的,实现这一假设是依靠克希霍夫的第一条假设,即横向剪切变形不会引起挠度的变化,所以他也是近似的,应用的前提条件是板必须是薄板。但是现实中板并不全都是薄板,也存在着厚板。随着厚度的增大,剪切造成的影响也不可在忽略了,这时再用上面的理论就无法应用了。因此要采用一种能够满足这种情况的板理论,我们称之为板的精化理论或者称为中厚板理论,它就考虑到了上面的缺陷。弹性薄板的基本假设通常我们解答一个空间问题时,会做一些简化,采用一定的假设,把复杂的三维空间问题转化为二维平面问题。同理对于薄板方程的解答,我们也可以采用一些假设把它简化,克希霍夫最早提出了这种假设,我们称之为直法线假设,此后我们以它为基础来解答板问题,假设如下：平截面假定即变形后的中面法线还是直线。相应的应变可以不计,即可以不计,取,则可以得：也就是说,在板中面内任一条线上的点发生同步位移垂直于板中面方向的正应力,对于应变来说可以忽略不计。也就是说应力分量、—所引起的应变可以不计。板不会发生横向变形,即板中面的各点都没有平行于中面的位移,即—。。薄板的小挠度弯曲理论克希霍夫假设的一个最重要的应用是在薄板的小挠度理论上,应用到此理论上的表现为,建立此理论时假定在对板施加横向作用时,不会产生横方向上的伸缩和剪切变形,也就是不考虑它们对板变形的影响。 山东建筑大学硕士学位论文挠板的斜率与曲率为了建立小挠度薄板的微分方程,我们先讨论烧板的斜率跟曲率。如图,平板未挠时,截面中线与轴平行,弯曲后点下挠点的中面法线转过《角度,且约等于点挠曲中面对轴的斜率,即――在烧曲中线上,点与邻点的切线对乂。轴倾的差为,它等于及点处挠曲〈中线的两法线的夹角。设点的曲率为。贝图。丄同理,丄在与轴成角的平面内,点的铙度为,点处的切线在方向上的斜率为,所以、两点的挠度之差为——二―—烧而在截而内,点的曲率为―、二————,、――小桡度薄板的基本方程根据虎克定律得到在向同性板内的三向应力应变关系 山东建筑大学硕士学位论文,—―克希霍夫基本假设明确指出,中面横向不计发生伸缩和剪切变形,也就是忽略因此而产生的应力。换句话说也就是应力分量、所引起的应变可以忽略。则(可以简化为：、￡—、乂由基本假设(可得,应变分量为￡￡、一—尸代入式(得—■、二—我们从板构件中截取一个微型六面体,体积尺寸分别为与,高为。同时在六面体内将各个分量积分,可以求出板的弯矩、扭矩和剪力： 山东建筑大学硕士学位论文上、二,屺卜一(、二,二化根据(和(,写出一区率表示应力、、￠、、的精确式,而后代入式(代入式(,积分得、————仁」、—、、、,——屮：严、板的抗弯刚度)—板单位长度上的截面惯性矩)根据(禾得 山东建筑大学硕士学位论文―寸―根据以上基本假设和公式可得由斜率《及挠度表示的适用于薄板的小挠度弯曲的基本微分方程：、正交各向异性板的计算理论各向异性板的小棧度弯曲问题前面我们已经介绍了各向同性板的控制方程的推导过程,同样,我们也可用相同的方法推导出各向异性板的控制方程；大量的研究成果可以体现,即使薄板是各向异性的,但是只要他的各个面都是弹性的,对称的,而且挠度是很小的,那么我们在上一节提到的克希霍夫基本假定在这里也是适用的,与各向同性板相比,它们的几何方程是相同的。只是在物理方程上有所不同。根据广义胡克定律,同时考虑对称性,可得应力分量,、、。都不会引起变形分量和乙。所以这里的四个应力分量都是关于平面对称的,然而。和、是关于平面反对称的。由、,我们可知各向异性板简化后的物理方程如下所示：、二十；其中,是弹性常数,表示伴随应力分量变化的变形分量。根据几何方程,我们可以用烧度表示应力分量为： 山东建筑大学硕士学位论文、其中,—,—―,―同理也可以用烧度来表示弯矩和扭矩,如下所示：■—丄丄式中常数称为弯扭刚度。由于薄板方程和弹性常数是没有关系的,所以他就可以应用到各向异性板,分别用挠度表示弯矩和扭矩分量,再分别代入如控制方程,就可以得到各向界性板受横向力影响的弹性曲面控制方程：各向异性板的近似计算本文运用正交各向异性板的计算方法解决钢筋混凝土双向板在四边简支的怙况卜中 山东建筑大学硕士学位论文心挠度的计算问题。四边简支边界条件下的钢筋混凝土双向板挠度的计算挠度方程由各向异性板壳理论正交各向异性板知其挠度方程为：其中：「、卜〃广卜：面式中—混凝土的泊松比；、一混凝土和钢筋的弹性模量；、一混凝土截面和钢筋对于为常量的中和轴的惯性矩；、一混凝土截面和钢筋对于为常量的中和轴的惯性矩；—钢筋混凝土板的弯曲刚度；挠度方程的解边界条件为：处处假定存在的边界条件都能满足要求,设方程(的解为二重傅氏级数：—我们将分布荷载；展开成二重傅里叶级数：, 山东建筑大学硕士学位论文通过积分可以得到■￠、—、―所以、,,、―—为了确定傅氏级数,在(是两边同乘以并在到之间积分得：——,,即—当时解得：——将(代入(得：――――——、乂」一一将(代入(式得：兀匪四边简支边界条件形板受横向均布荷载作川度方程的解,由得： 山东建筑大学硕士学位论文二————、即将上式代入到(中可得：「,、,,、,一一——…矩形板假如是各向同性材料,即则力「：… 山东建筑大学硕士学位论文第三章弹性薄板的实用算法和钢筋混凝土板的屈服线法弹性薄板的实用算法运用经典的解析方法求解克希霍夫平板的微分方程比较困难,能够成功求解的仅仅局限于少数的简单几何形状、荷载及边界条件的薄板问题。因此,实用算法就特别重要,例如有限差分法和有限元法等数值解法。,：、,：有限差分法有限差分法是微分方程的数值解法,凡是微分方程都可以使用有限差分法。在薄板问题的实用算法中,有限差分法是最早应用的一种。一、有限差分式当应用这种方法时,在所考虑的板的微分方程(中的所有导数,都用若干所选点上的差分量来代替。这些所选点的位置可以在矩形、三角形或其他参考网格的节点上(图丄,这些网格称为有限差分网格。我们就是利用这些网格点上的挠度近似值来描述挠曲面。十—————中点—■—「丫网格点图有限差分网格首先我们来确定一个函数的一阶有限差分式,就拿函数来说,设它的差值多项式为,中枢点为；,,并且网格点是等间距设置的,那么它的有限差分式为： 山东建筑大学硕士学位论文……那么上述公式中可以表示为：—―同理,我们可根据上面的方法得出二阶或者高阶的差分表达式△化△△△—乂以上所列出的差分式(、称为前向差分,如果我们应用以上同样的方法可以得到后向差分,表达式为：△其次,我们用有限差分式来表示导数的近似值,例如对于函数在点的导数我们可以用前向差分来表示,它的一阶导数可以表示为：兀—乂、、人,与上面的原理一样,我们可以推导出二阶导数的差分表达式如下—一——人,「「丄――又用有限差分式表示导数的时候,我们可根据计算需要的涵盖的网格点来选择不同形式的差分形式,或用前向差分或用后向差分形式,有事还可以用他们的合形式来表达。二、板的微分方程的有限差分表示 山东建筑大学硕士学位论文前面我们介绍了有限差分式的表示方法,现在我们把它应用到实际微分方程的推导中。我们假定采用等距方网格来推导,我们设网格宽度如图(丄所示。那么对于板的微分方程(中的四阶导数用有限差分式可以表示为一、人,应用相同的方法我们可推导混合四阶导数的有限差分表达式△―—所以板的微分方程(在中枢点(,的有限差分式表示为：—气———卜—尸」式子中是误差项,它表示双调和算子的精确表达式跟有限差分式之间的偏差 山东建筑大学硕士学位论文？？中枢点；、、图板差分方程系数网格图丄,,―、、—――〃十〃一五化丄—」卞—同理也可用有限差分式表小出,这就不做过多介绍了。 山东建筑大学硕士学位论文丄有限单元法有限单元法就是将连续体的板结构离散的划分为有限数目的单元体来进行分析的一种方法。常用的单元有矩形单元和三角形单元。对于薄板我们应用有限单元法的前提是假设满足经典薄板理论的三条假设。一、利用这些假设我们可以用板的挠度来表示出薄板的位移、应力和应变分量。位移分量应变分量￡,上述公式里面是广义应变。应力分量由于在本构方程中不考虑、、和的影响,薄板弯曲问题的本构方程与平面应力问题完全相同。、—」。―将(代入到上式得边界条件薄板边界条件通常可分为三种,它们是几何边界,混合边界,静力边界：在儿何边界上给定挽度和转角即 山东建筑大学硕士学位论文——在混合边界上给定的挠度和力矩即「上式中—、「在静力边界上给定的力矩和横向荷载即——「式中———二、矩形板单元板单元的结构离散对于矩形薄板我们可以以它的四个角点作为节点得到比较简单的矩形板单元如图所示：？、图矩形单元板上图的矩形单元板的节点位移向量和节点位移向量为：：化 山东建筑大学硕士学位论文位移函数由上面图中我们可以知道对于矩形板单元存在自由度,那么它的挠度表达式也应该包含个参数即〃我们将节点位移分量和节点坐标带入到上面的式子中,即可得到待定的函数的值,然后在代回到原式子中,得到它的形函数为、上式中。—《。。—板的单元刚度矩阵根据以上公式可得《丄…八具中——一￡单元刚度矩阵的分块形式为人人：—人钢筋混凝土板的屈服线法前已指出,以往的针对钢筋混凝土双向板挠度计算的研究成果不多,这里的屈服线法是笔者査找到的一部分内容,是种近似方法。 山东建筑大学硕士学位论文基本假设约翰逊利用屈服线的概念,将梁和构架结构的极限荷载分析法推广应用到钢筋混凝土板中,这里的屈服线是二维的塑性铰。所谓屈服线法不是去计算板弹性变形后的性状,而是分析出它的破坏性状,我们把最小的那个破坏荷载叫做临界荷载或者叫极限荷载。在这之中我们应用以下假设：临界破坏时,板的最大弯矩处是屈服线发生的位置假设屈服线是直线发生的恒量的极限弯矩是沿着屈服线产生的板块中的弹性变形与有大变形产生的刚体运动相比可以忽略不计我们假定对应于最小破坏荷载的破坏机构是最佳破坏机构,同时它的屈服线图也是最佳的最佳屈服线处只有极限弯矩,没有扭矩和横向剪力的产生在我们的讨论分析中,我们还假定板的厚度是均勾的,并且板的两个方向的配筋是相同的。破坏图形的估计图可能的屈服线图形 山东建筑大学硕士学位论文板的破坏机构取决于板的屈服线的位置和方向,我们可以根据以下几点准则来估计破坏机构：分布的临界荷载下产地生的屈服线是直线单向板或者跨度小的双向板的最大弯矩处是一个良好的起始点在固定的边界上产生的屈服线是负的屈服线在相邻板块的旋转轴处相交相邻板块的旋转轴就是板块的支撑线板的刚度越大它的屈服线发展越明显反之亦然板的最大接度的估计将马尔科斯近似法推广应用到板在使用荷载下的最大挠度的估计上,这一方法是以控制弯矩表达的梁的最大挠度公式为基础的其中为常数,它取决于弯矩图的形状,取值如下表所示：弯矩图弯矩图■丄—在分析屈服线的时候,我们可以假定结构的极限弯矩沿着屈服线是保持不变的,利用上述方法和给定的图表中的的取值,我们可以通过公式来估计板的挠度的最大值,是它的近似值,可以为我们的设计研究工作提供定的依据。 山东建筑大学硕士学位论文第四章对边简支单跨双向板的试验研究试验背景研究混凝土板的曲率分布规律极为重要。前已指出,可以由双向板的曲率来得到双向板的挠度,而这其中的的关键问题就是搞清楚双向板的曲率性态。笔者参与了赵玉星老师主持的关于厚度钢筋混凝土一对边简支单跨矩形板刚度性态曲率挠度规律的试验研究,目的就是探索曲率和挠度的分布性态,探索一向弯矩所产生的两个方向的曲率有何规律,从而为由曲率计算板的挠度奠定基础。板中面位于；坐标平面(见图内、挠度记为的板,板的曲率可以表达为两向弯矩和的函数：,以及■》；弯矩和都是二元函数,肘,；和肘。由于钢筋混凝土这种材料受力性态及机理的复杂性,以致很难准确地用数学力学方程描述其本构关系,也就难以用数学物理方法求得双向板的刚度和曲率规律。所以这里采用试验和理论分析相结合的方法进行曲率研究。试验内容和加载试件的制作本试验采用一种板型,共计块,分别记为、、、,板型设计尺寸均为板的设计厚度为。板的混凝土强度等级为钢筋采用配置分布筋。板的纵向钢筋配置如图所示：——：图板面尺寸及纵筋配置测点的布置,测试内容本试验的测试内容包括板的竖向位移,板顶面及底面混凝七的应变及板的裂缝开展情况。对板的应变的测量是在板顶面布置个测点,每个测点分別布纵向和横向两个 山东建筑大学硕士学位论文应变片；在板底面布置个测点,每一个测点只布置横向应变片。对于板的竖向挠度采用千分表进行测量,在板底分布有个测点,每个测点下布置一个千分表。布置图如图所示：醫？—板顶面应变片布置图板底面应变片布置图―,―,■板底面千分表布置图图板的应变片和千分表的布置加载布置本试验的加载方式为铸铁块重力荷载。铸铁块的尺寸为,每个铸铁块的质量为试验前预先在板面上划分网格,网格尺寸为；如果加载时在每个网格放變个铸铁块,每一层铸铁块的荷载值为,或者说每级荷载为如果加载时在每个网格放个铸铁块,每一层铸铁块的荷载值为或者说每级荷载为。加载程序按照一般的结构的静载试验的加载为分级加载。预载在正式试验加载前预先在每个板格上放置个祷铁块,目的是让板构件接触好 山东建筑大学硕士学位论文进入正常工作阶段。检查试件、装置、仪表工作是否正常。分级加载本试验为分级施加荷载,每一级的荷载施加间隔时间是。板的网格划分如图。,〇寸■乙图各板放置祷铁块的网格图本试验的板支座采用一对边简支另两边自由的支承方式。加载示意图如图。；；加载铸铁块——————圆钢铰支座—；混凝土台板试件：图试件布置及加栽侧视图试验采用静态应变仪采集应变数值,静态应变仪采结点的,数量为个(每板试件有个应变片)。在施加每级荷载后时记录千分表和应变仪的读数。图是四块板试件试验的现场情况：—一瞧 山东建筑大学硕士学位论文；：板现场试验图板现场试验图麵■！蠢板现场试验图 山东建筑大学硕士学位论文板现场试验图图四块板试件的试验现场关于支座形式与试件受力方式采用一对边简支另两边自由的支座形式是经过仔细考虑后选定的。在混凝土结构设计规范中,这样支承的板被视为单向板。而在弹性板力学理论中,这却完全是双向板,不仅存在双向曲率,也存在双向弯矩。：就弹性板力学理论的情况,可以定性地从个角度来说：主要的弯矩是纵向弯矩,纵向曲率也是主要的曲率,纵向曲率的凹口向上。存在纵向弯矩的同时,由于纵向弯矩使得板顶面有纵向压缩应变,必然出现横向的伸长应变,横向伸长应变的大小与泊松比有关；再者,由于纵向弯矩使得板底面有纵向拉伸应变,必然出现横向的缩短应变,横向缩短应变的大小也与泊松比有关；那么,板顶面有横向的伸长应变,板底面有横向的缩短应变,必然造成横向的曲率；横向曲率的凹口向下。从上述两向的曲率可以看出,板的变形是类似马鞍形的形式,见图。从上述的广得知,一向弯矩会导致两向曲率。板的两端有支座,不允许板的两端存在横向的曲率,这样的约束就导致了横向弯矩的产生,当然,横向弯矩远小于纵向弯矩。由于横向弯矩远小于纵图—对边简支弹性板的受弯形状 山东建筑大学硕士学位论文向弯矩,此板的横向曲率与纵向曲率的比例非常接近于纵向弯矩自己所产生的横向曲率与纵向曲率的比例,这就能够帮助我们研究的规律。这种弹性板双向曲率双向弯矩的结论,不仅可以进行上述的定性讨论,还可以进行解析讨论。如图所示,双向板承受均布荷载,依据弹性解析法中的李维法进行分析计算,如图的坐标系,板的挠度为；板的弯矩分别为、、」「。—图板的坐标图根据上面的坐标系,由李维解法得：夂丄」—、———,、———其中,为泊松比：为板的刚度,、；为弹性投为板度；〃) 山东建筑大学硕士学位论文一《卩脑—―一—；。由上面的式子可知,横向曲率不等于零,与上面的定性分析结果是吻合的；并且横向曲率的大小和材料的泊松比相关。同时,显而易见,板不仅存在纵向弯矩似、,,而且还存在横向弯矩这都与上面的定性分析结果是吻合的。对于混凝土板,由于总体来说泊松比更小更复杂,采用如图所示一对边简支另两边自山的支座形式时,更接近于仅有纵向弯矩的状态；那么,它的横向曲率与纵向曲率的比例也更适宜研究的规律。试验数据及结果分析试验数据山上面的试验采集到了各个板试件的数据值。因试验采用四块板是相同的一种板型,特别是,四块板的试验结果反映出相同的规律,所以本文仅选择板的数据进行分析。试件的数据如下：表板顶面纵向应变(』载( 山东建筑大学硕士学位论文点表板顶面橫向应变荷载(点点点点点点点点点点表板底面横向应变荷载(点点点点点表点处的板桡度 山东建筑大学硕士学位论文荷载(点点点点点表点处的板挠度荷载(点点点点点结果分析根据上面表的挠度数据或者表的挠度数据可以看出,位于板的个横截面上各点的挠度接近相等,这表明几乎没有产生横向曲率；也就是说,纵向弯几仅仅引起纵向曲率,几乎没有引起横向曲率。根据面表的应变数据可以看出,板底面的横向应变几乎没有；十板底的纵向处于受拉状态,混凝土很快就丌裂了,几乎没有横向应变这是可以理解的。极掂上面表的应变数据可以看出,板顶面的纵向应变很大,这是预之屮的,符合规律的。根掂上面表的应变数据可以看出,板顶面的横向应变几甲没有；这果出乎意料；为什么说出乎意料,因为这里的横向应变与纵向应变的比例很不符介凝十结构设十规范给出的泊松比；但是这一结果与的结果板底面的横向应变儿下没结合起来,恰奵山挠度测得的结果几乎没有产生横向曲率相互印,表明板顶儿乎 山东建筑大学硕士学位论文没有横向应变这一结果是可信的。综合以上分析,基本上得出一条规律：钢筋混凝土双向板的一向弯矩仅仅引起本方向的曲率,几乎不引起相垂直方向的曲率；同时,这一条规律又很不符合混凝土结构设计规范给出的泊松比。规律讨论上面的结果分析得出规律：钢筋混凝土双向板的一向弯矩仅仅引起本方向的曲率,几乎不引起相垂直方向的曲率；同时,这又很不符合混凝土结构设计规范给出的泊松比。我们认为此研究结果是正确的；为何很不符合混凝土结构设计规范给出的泊松比？我们估计是混凝土结构设计规范给出的泊松比有问题,有必要对其继续研究；但混凝土泊松比的继续研究估计要经过大量的试验统计,已经超出了硕士研究生培养计划的范围,可以留待今后去工作。钢筋混凝土双向板的一向弯矩仅仅引起本方向的曲率,几乎不引起相垂直方向的曲率这一规律,可使得曲率分析变得容易,变为,、,；！变为。至于曲率与弯矩之间具体的刚度关系,由于前述的试验只有个试件,而试验的设计时并未以纵向曲率与纵向弯矩之间具体的刚度关系为研究目的,只能通过后续的试验研究来探索。 山东建筑大学硕士学位论文第五章全文总结主要结论本文介绍了我们最近提出的混凝土双向板挠度计算的一条新路线,曲率挠度计算路线。并且,已经有了由曲率到挠度的转换的算法。本文还对承受均布荷载的一对边简支另两边自由钢筋混凝土板进行了试验研究,试验设计了四块相同的双向板。试验的目的是研究一向弯矩对两向曲率的影响,探索混凝土板的变形性态。试验研究主要有以下结论：钢筋混凝土双向板的一向弯矩仅仅引起本方向的曲率,几乎不引起相垂直方向的曲率。这可使得曲率分析变得容易,；方向的曲率不必考虑为,而可直接按、)考虑；方向的曲率不必考虑为—,而可直接按考虑。有方面的信息相互印证此结论是可靠的。上述钢筋混凝土双向板的一向弯矩仅仅引起本方向的曲率这一条规律又很不符合混凝土结构设计规范给出的泊松比。因为此向弯矩使混凝土受压应变很大但垂直方向的应变几乎为零。有待进一步解决的问题上面的结论中,某些现象很不符合混凝土结构设计规范给出的泊松比。估计是混凝土结构设计规范给出的泊松比有问题,有必要对继续研究；混凝土泊松比的继续研究估计要经过大量的试验统计。虽然得到了钢筋混凝土双向板的一向仅仅引起木方向的曲率这一规律,但是曲率与弯矩之间的具体的刚度关系,应该通过后续的式验研究来探索。只有得到了曲率与弯矩之间的具体的刚度关系,曲率挠度计算路线才能成为方便的计算方法。 山东建筑大学硕士学位论文参考文献一混凝十结构设计规范北京：中国建筑丄业出版社,苗吉军,刘延春于素健某异形柱框架房屋混凝土面层爆裂剁落的鉴定加固建筑结构,吴晓莉,杜春光,程文壤装配整体式钢筋混凝土双向板的构造和试验研究特种结构,又家龙弹性力学上海：同济人出版社,寿楠春弹性薄板弯曲,北京：高等教育出版社,赵玉星,刘洪富,吕甲朋有限积分计算曲率复汆分布卜的结构挠度力学与实践,卢致强钢筋混凝七板的有限元法分析：硕十学位论文两南交通人学,王成,邵敏有限单元法基本原理与数值方法北京：清华人宁出版社,程文壤颜德嬉混凝土结构中册中国建筑业出版社,张平生四边简支钢筋混凝十双向板挠度计算与板的确定西安冶金建筑学院,池家祥,米周林,王新华,钢筋混凝十板的非线性有限元分析两北建筑工程学院学报,张平生四边简支钢筋混凝十双向板挠度计算与板厚的确定西安冶金建筑学院宁报,童申家,粟海涛,李力等复朵边界支撑的钢筋混凝士板的实验研究业建筑,易伟建钢筋混凝十双向板『弹性分析与设计长沙：湖南大学,朱伯龙振祥钢筋混凝十线性分析上海：同济人学出版社,何福保,沈亚鹏板壳理论安：两安交通人学出版补,徐芝纶弹性力宁卜)北京：高教育出版社,彬彬钢筋混凝十双向板的「线性有限元分析：硕十学位论文华中科技人学,杨耀乾平板理论北京：巾铁道出版社,孙琐泰,姜荣柞,刘荣枠向异性板理论南京：东南人学出版社, 山东建筑大学硕士学位论文美)〖派克,勃儿,(畢)黄国桢,成源华钢筋混凝土板上海：同济大学出版社,冯然钢筋、泡凝十双向板的挠度分析与计算：硕十学位论文华中科技大学,陈辉钢筋浞凝十双向板的刚度和挠度规律的研究：硕士学位论文济南：山东建筑大学,曲庆璋,章权,季求知,弹性板理论第一版岡北京科学出版社,夏永旭结构数俏分析方法北京：人交通出版社,胡海吕弹性力学中的变分原理及其应北京：科学出版社,丁人钧薄板按弹性理论汁算南京：南人出版社,曹光荣现浇钢筋混凝十双向板挠度的试验研究南京：东南人学,沈丽萍,马广韬,晓娟钢筋浞凝十双向楼板的试验研究沈阳工业人学学报,下娴明建筑结构试洁华人学山版社,：李忠献结构试验论马技术大洋：大人出版社,年第版中华人、和国原城乡迮设环境保护部浞凝十结构试验方法标准—北京中国建筑丄业出版社,胡成钢筋沘凝：板的线性限元分析和合肥：业人宁学报：卢致强钢筋凝卜的限儿法分析：硕位论文南交通人学,个鹏钢筋站疑板的冲性限元分析安：逑筑科技人学, 山东建筑大学硕士学位论文吕林,金国芳,晓涵钢筋混凝十结构非线性冇限元理论应川上海：同济人于出版朴,：吴体,张晓焙有限元分析在钢筋混凝十双向板计算中的应丄业建筑,江见鲸关丁钢筋凝土数值分析中的本构关系力学发展, 山东建筑大学硕士学位论文后记本文的研究和撰写工作是在赵玉星教授的悉心指导下完成的,从资料收集、文献阅读、选题到试验的设计和实施及论文撰写的整个过程中,处处都凝聚着赵老师的心血和汗水。在三年的学习生涯中,赵老师不仅从生活上关系我,而且他们渊博的学识、严谨的治学作风和忘我的工作精神、谦逊随和,严以律己、开明豁达的处世态度,这些难能可贵的高尚品质处处影响着我,使我受益匪浅、感触很深。三年来,不只是在为人处事上,更是在学术上都让我有长足的进步。赵老师在科研工作中孜孜以求,锲而不舍的精神是我今后工作和学习的榜样。他们对我严格要求、谆谆教诲、不断的鼓励和鞭策我向新的学术高度前进,取得一个又一个进步。在此衷心感谢赵老师对我的关怀和帮助并表示我深深的敬意。同时,非常感谢姜磊、吕甲朋几位师兄在试验和本课题研究方面的帮助。也非常感谢鲍镇、李硕等同学在课题研究及论文写作方面给我的帮助,在此对他们深表谢意,并祝他们在以后的学习和工作道路上一帆风顺。感谢我的家人几年来对我学业的支持和帮助,并且不断地给予我关怀与信心,成为我奋斗前行中的精神动力和力量源泉。 山东建筑大学硕士学位论文攻读硕士学位期间发表论文发表及科研情况、赵卫星,刘洪富,吕甲朋川冇限积分计算曲率复分布下的结构挠度,力学与实践,、刘洪富,鞠清远,钢筋混凝十双向板挠疫研究,城市建设理论研究,