土力学课件土力学讲义.doc

绪论一、土力学学科的重要性土是地壳岩石经受强烈风化的产物，是各种矿物颗粒的集合体，由固体颗粒、水、和空气三相组成。土力学学科研究和解决工程中两大类问题：【工程实例】二、本课程的主要特点、内容及学习建议第一章土的物质组成和结构【基本内容】土＝土粒（固相）＋水（液相）＋空气（气相）一、土的固体颗粒土粒的大小、形状、矿物成分和级配对土的物理性质有明显影响。1．土的颗粒级配⑴粒组的概念：工程中将大小相近、性质相近的颗粒归并成组，称为粒组。各粒组的界限粒径：200mm，20mm，2mm，0.075mm，0.005mm⑵确定各粒组相对含量的方法——颗粒分析试验试验成果——颗粒级配曲线【课堂讨论】为什么土的级配曲线用半对数坐标？⑶级配曲线的特点：半对数坐标⑷判别土体级配好坏的指标当同时满足Cu≥5,Cc=1~3时，土的级配良好，否则，级配不良。2．土粒的矿物成分二、土中水 三、土中气体四、土的结构五、土的构造【校园现场观察土的特点】【现场提问答疑】【本次课总结】1．土是由固体（土粒）、液体（水）和气体（空气）三相所组成；2．粒径级配曲线的特点及用途；3．常见土的结构及构造形式。【复习思考】1．粘土颗粒表面哪一层水膜对土的工程性质影响最大，为什么？2．为什么土的级配曲线用半对数坐标？【课后作业】第二章土的工程性质和工程分类一、土的物理性质指标【基本内容】反映着土的物理状态,如干湿软硬松密等。表示土的三相组成比例关系的指标,统称为土的三相比例指标。1、土的三相图 【注意】土的三相图只是理想化地把土体中的三相分开，并不表示实际土体三相所占的比例。2、基本物理性质指标土的物理性质指标中有三个基本指标可直接通过土工试验测定,亦称直接测定指标。土的密度或土的天然重度：，（kg/m³），（kN/m³）。试验测定方法：环刀法土粒相对密度（土粒比重）Gs：土粒相对密度定义为土粒的质量与同体积4°C纯水的质量之比。，无量纲。试验测定方法：比重瓶法【课堂讨论】相对密度（比重）与天然密度（重度）的区别注意：从公式可以看出，对于同一种土，在不同的状态（重度、含水量）下，其比重不变；土的含水量w——土中水的质量与土粒质量之比，以百分数表示：试验测定方法：烘干法【讨论】含水量能否超过100％？——从公式可以看出，含水量可以超出100％。测出上述三个基本试验指标后，就可根据图1-9所示的三相图，计算出三相组成各自的体积上和质量上的含量，并由此确定其它的物理性质指标，即导出指标。孔隙比——孔隙比为土中孔隙何种与土粒体积之比，用小数表示：孔隙比是评价土的密实程度的重要物理性质指标。孔隙率——土中孔隙体积与土的总体积之比：孔隙率亦可用来表示同一种土的松、密程度。饱和度——土中所含水分的体积与孔隙体积之比,饱和度可描述土体中孔隙被水充满的程度：显然,干土的饱和度Sr=0,当土被完全饱和状态时Sr=100%。砂土根据饱和度可划分为下列三种湿润状态：Sr≤50%稍湿，50%＜Sr≤80%很湿，Sr＞80%饱和。 【讨论】孔隙比、孔隙率、饱和度能否超过1或100％？饱和密度和饱和重度饱和密度为土体中隙完全被水充满时的土的密度：，（kg/m³）。饱和重度：sat=g，（kN/m³）。干密度和干重度干密度——单位体积中土粒的质量：，（kg/m³）。干重度——单位体积中土粒的重量：=rdg，（kN/m³）。有效重度（浮重度），（kN/m³）。同样条件下，上述几种重度在数值上有如下关系：＞＞＞3．指标间的相互换算已知：r（g），Gs，w——→e，n，Sr，rsat（gsat），rd（gd），等的表达式。推导间接指标的关键在于：熟悉各个指标的定义及其表达式，能熟练利用土的三相简图。推导公式主要步骤：①利用VS作为未知数，将土的三相图中的各相物质的质量用r（g），Gs，w和VS表示出来，填在图中；②先将孔隙比e的表达式求出来，然后将其它指标用r（g），Gs，w和e来表达。 依上图，将m＝（1＋w）GsVsrw和V＝（1＋e）Vs代入中可得：注意：此时e已是“已知”的指标。根据各间接指标的定义，利用三相简图可求得：①或②，③④或⑤【课堂思考】可否用其它简洁方法上述推导公式？如令Vs＝1。【课堂先自习例题后讲解】【例1－1】某土样经试验测得何种为100㎝3，湿土质量为187g，烘干后，干土质量为167g。若土粒的相对密度Gs为2.66，试求该土样的含水量g、密度r、重度g、干重度gd、孔隙比ｅ、饱和重度gsat和有效重度g＇。解题思路：利用定义先求w，r，g，后根据公式求相关指标。【例2－1】某完全饱和粘性土的含水量为w=40%，土粒相对密度Gs=2.7，试按定义求土的孔隙比ｅ和填密度。解题思路：①本题给出的条件是饱和土——→Sr＝100％②利用三相图求出各相的质量和体积③用定义求出e和rd。【现场提问答疑】【本次课小结】1．各指标的定义；2．利用三相图进行指标间的相互换算。【复习思考】1．在土的三相比例指标中，哪些指标是直接测定的？用何方法？2．在三相比例指标中，哪些指标的数值可以大于1，哪些不行？【课后作业】 二、土的物理状态指标【基本内容】1、无粘性土的密实度土的密实度——单位土体中固体颗粒的含量。无粘性土的密实度与其工程性质有着密切关系。描述砂土密实状态的指标有：1）孔隙比孔隙比愈大，则土愈松散。缺陷：①取原状砂样和测定孔隙比存在实际困难，故在实用上也存在问题。②没有考虑到颗粒级配这一重要因素对砂土密实状态的影响。2）相对密度Dr：将现场土的天然孔隙比e与该种土所能达到最密实时的孔隙比和最疏松时的孔隙比相对比的方法，来表示孔隙比为e时土的密实度。【讨论】相对密度是否会出现Dr>1.0和Dr<0的情况？当e=emax时，表示土处于最疏松状态，此时Dr=0。当e=emin时，表示土处于最密实状态，此时Dr=1.0。用相对密度Dr判定砂土密实度的标准如下：Dr≤0.33疏松0.33≤Dr≤0.67中密Dr≥0.67密实优点：在理论上比孔隙比能够更合理确定土的密实状态。缺陷：测定e、emax与emin困难，通常多用于填方工程的质量控制中，对于天然土尚难以应用。3）依规范GB5007－2002动触探确定无粘性土的密实度——标贯试验N或N63.5，见表1－3。优点：可现场测定土的密实度，得到广泛应用。2．粘性土的稠度（1）粘性土的稠度状态稠度——指土的软硬程度或土受外力作用所引起变形或破坏的抵抗能力。稠度界限——粘性土由某一种状态过渡到另一状态的分界含水量。塑限——土从塑性状态转变为半固体状态时的分界含水量。液限——土从液性状态转变为塑性状态时的分界含水量。注意：塑限、液限是一个含水量塑限、液限的测定方法——液塑限联合测定法。 （2）粘性土的塑性指数和液性指数①塑性指数：Ip=wL－wP注意：计算时含水量要去百分号结论：塑性指数表示土处在可塑状态的含水量变化范围,其值的大小取决于土颗粒吸附结合水的能力,亦即与土中粘粒含量有关。粘粒含量越多,土的比表面积越大,塑性指数就越高。应用：根据其值大小对粘性土进行分类。②液性指数：用途：根据其值大小判定土的软硬状态（表1－4）。【讨论】液性指数是否会出现IL>1.0和IL<0的情况？【例题先自习后讲解】【例1－3】某砂土试样,通过试验测定土粒相对密度Gs=2.7,含水量w=9.43%,天然天然密度ρ=1.66/㎝3。已知砂样牌最密实状态时称得干砂质量ms1=1.62㎏,牌最疏松状态时称得干砂质量ms2=1.45㎏。试求此砂土的相对密度Dr,并判断砂土所处的密实状态。解题思路：①先利用三个基本指标求出天然孔隙比e②土最密实时有最大干密度rdmax和最小孔隙比emin，土最疏松时有最小干密度rdmin和最大孔隙比emax。利用公式rd＝和e＝求得emin与emax。③利用相对密度的定义式求得其密实度。三、土（岩）的工程分类【基本内容】1、《土工试验规程》中土的分类1）一般程序2）巨粒土和含巨粒土的分类和命名3）粒土的分类和命名4）细粒土分类和命名5）特殊土分类6）土的简易鉴别、分类和描述注意：①各类土的定义；②利用塑性图对细粒土进行分类的方法。二、《建筑地基基础设计规范》（GB5007－2002）中地基土的分类作为建筑地基的土(岩),可分为岩石、碎石土、砂土、粉土、粘性土和人工填土。注意：①各类土的定义； ②对碎石土、砂土进行分类时，应根据粒组含量由大到小以最先符合者确定；③依塑性指数对粉土、粘性土进行分类：粉土——指粒径大于0.075mm的颗粒含量不超过总质量的50%、塑性指数IP≤10的土。粘性土是——指塑性指数IP＞10的土。粘性土【例题先自习后讲解】【例1－5】接例1－4,试按塑性指数IP确定A、B、C土的名称。解题思路：①先计算塑性指数；②依塑性指数对粉土、粘性土进行命名。【例1－6】图1－15为某三种土A、B、C的颗粒级配曲线,试按《地基规范》分类法确定三种土的名称。解题要点：①能看懂颗粒级配曲线图②熟悉《地基规范》分类法；③对碎石土、砂土进行分类时，应根据粒组含量由大到小以最先符合者确定。四、土的压实性【基本内容】一）击实试验——土的击实机理（粘性土）二）影响土（粘性土）的压实性的因素1．含水量的影响：只有在某一含水量（最优含水量）下才能获得最佳的击实效果。注意：①在填土工程中注意控制土的含水量，在土较干或较湿时都不容易将土击实到最密实状态。②含水量过高或过低对填土工程都是不利的。2．击实功能的影响：由击实试验可知：①土粒的最大干密度和最优含水量不是常数。最大干密度随击数的增加而逐渐增大，最优含水量则逐渐减少。但是这种增大或减少是递减的，因此，光靠增加击实功能来提高土的最大干密度是有一定限度的。②当含水量较低时击数的影响较显著。当含水量较高时，含水量与干密度关系曲线趋近于饱和线，也就是说，这时提高击实功能是无效的。土的类型和级配的影响无粘性土的击实特性与粘性土有很大不同。【工程经验】在工地现场要判别土料是否在最优含水量附近时，可按下述方法：用手抓起一把土，握紧后松开，如土成团一点都不散开，说明土太潮湿；如土完全散开，说明土太干燥；如土部分散开，中间部分成团，说明土料含水量在最优含水量附近。粗粒含量的影响【课堂练习】【本次课小结】1．评价无粘性土的密实度有多个指标； 2．对同一种土其塑限和液限是不变的。3．对土进行分类时，应按有关规范进行分类；4．击实曲线所反映的土的击实特性；5．控制含水量在工程中的应用。【复习与思考】1．判断砂土松密程度有几种方法？2．地基土分几大类？各类土的划分依据是什么？3．土的压实性与哪些因素有关？何谓土的最大干密度和最优含水率？4．在实际工程中如何凭经验判断土料是否处于最优含水量附近？【课后作业】第二章土的渗透性和渗透问题一、达西定律【基本内容】渗透——在水位差作用下，水透过土体孔隙的现象。渗透性——土具有被水透过的性能。1、达西定律v=ki=kh/L或用渗流量表示为q=vA=kiA式中v――渗透速度，cm/s或m/d；q――渗流量，cm³/s或m³/d；i=h/L――水力坡降（水力梯度），即沿渗流方向单位距离的水头损失，无因次；h――试样两端的水头差，cm或m；L――渗径长度；cm或m；k――渗透系数，cm/s或m/d；其物理意义是当水力梯度i等于1时的渗透速度；A――试样截面积，cm²或m²。【注意】由上式求出的v是一种假想的平均流速，假定水在土中的渗透是通过整个土体截面来进行的。水在土体中的实际平均流速要比达西定律采用的假想平均流速大。2、达西定律的适用范围与起始水力坡降对于密实的粘土：由于结合水具有较大的粘滞阻力，只有当水力梯度达到某一数值，克服了结合水的粘滞阻力后才能发生渗透。起始水力梯度――使粘性土开始发生渗透时的水力坡降。(a)砂土(b)密实粘土(c)砾石、卵石粘性土渗透系数与水力坡降的规律偏离达西定律而呈非线性关系，如图（b）中的实线所示，常用虚直线来描述密实粘土的渗透规律。 (2-3)式中ib――密实粘土的起始水力坡降；对于粗粒土中（如砾、卵石等）：在较小的i下，v与i才呈线性关系，当渗透速度超过临界流速vcr时，水在土中的流动进入紊流状态，渗透速度与水力坡降呈非线性关系，如图（c）所示，此时，达西定律不能适用。二、渗透系数及其确定方法【基本内容】一）渗透试验1．常水头试验常水头试验适用于透水性大（k>10-3cm/s）的土，例如砂土。常水头试验就是在整个试验过程中，水头保持不变。试验时测出某时间间隔t内流过试样的总水量V，根据达西定律10即2．变水头试验粘性土由于渗透系数很小，流经试样的总水量也很小，不易准确测定。因此，应采用变水头试验。变水头试验就是在整个试验过程中，水头随时间而变化的一种试验方法。利用数学方法可得到渗透系数如用常用对数表示，上式可写为二）影响渗透系数的因素【讨论】上述因素对渗透系数的影响三）成层土的渗透系数1．平行层面渗透系数【讨论】对于成层土，如果各土层的厚度大致相近，而渗透性却相差悬殊时，与层向平行的平均渗透系数将取决于最透水层的厚度和渗透性。2．垂直层面渗透系数 【讨论】对于成层土，如果各土层的厚度大致相近，而渗透性却相差悬殊时，与层面垂直的平均渗透系数将取决于最不透水层的厚度和渗透性。【例题先自习后讲解】【例2-1】设做变水头渗透试验的粘土试样的截面积为30㎝2，厚度为4cm，渗透仪细玻璃管的内径为0.4cm，试验开始时的水位差为160cm，经时段15分观察得水位差为52cm，试验时的水温为30℃，试求试样的渗透系数。【解题思路】熟悉变水头公式计算k20三、渗透力和渗透变形【基本内容】一）渗透力和临界水力坡降1．渗透力渗透力――水在土体中流动时，渗透水流施加于单位土粒上的拖曳力。渗透力的特点【讨论】渗透力对土体稳定的影响2．临界水力坡降——使土体开始发生渗透变形的水力坡降。设计时，将渗流逸出处的水力坡降控制在允许坡降[i]内，即i≤[i]二）渗透变形渗透水流将土体的细颗粒冲走、带走或局部土体产生移动，导致土体变形，这类问题称为渗透变形问题。1．渗透变形的基本形式2．流土的特点： 发生于地基或土坝下游渗流出逸处，而不发生于土体内部。开挖基坑或渠道时常常遇到的流砂现象，就属于流土破坏。细砂、粉砂、淤泥等较易发生流土破坏。3．管涌的特点：既可以发生在土体内部，也可以发生在渗流出口处。它的发展一般有个时间过程，是一种渐进性的破坏。管涌的临界水力梯度icr一般通过试验确定。【工程经验】粘性土由于粒间具有粘聚力，连结较紧，常不出现管涌而只发生流土破坏；不均匀系数Cu>10的匀粒砂土，在一定的水力梯度下，局部地区较易发生流土破坏；对Cu>10的砂和砾石、卵石，分两种情况。当孔隙中细粒含量较少（小于30%）时，只要较小的水力坡降，就足以推动这些细粒发生管涌。如它们的孔隙中细粒增多，以至塞满全部孔隙（此时细料含量约为30%~35%），便不出现管涌而会发生流土现象。【提问答疑】【本次课小结】1．达西定律2．测定渗透系数的方法3．渗透力与渗透变形【复习思考】1.达西定律的适用条件有哪些？2．实验室测定渗透系数的方法有哪两种？它们分别适用于什么情况？3．何谓渗透力？其大小、方向、单位如何？4．渗透变形的基本形式有分哪两种？它们分别有什么特征？【课后作业】四、渗流工程问题与处理措施【基本内容】一）渗流工程问题1．地下水的浮托作用2．地下水的潜蚀作用3．流砂4．基坑突涌二）防渗处理措施1．水工建筑物渗流处理措施水工建筑物的防渗工程措施一般以“上堵下疏”为原则，上游截渗、延长渗径，下游通畅渗透水流，减小渗透压力，防止渗透变形。①垂直截渗垂直截渗墙、帷幕灌浆、板桩等都属于垂直截渗。②设置水平铺盖上游设置水平铺盖，延长水流渗透路径。③设置反滤层在水工建筑物下游设置反滤层，既可通畅水流，又起到保护土体、防止细粒流失而产生渗透变形。④排水减压为减小下游渗透压力，常常在水工建筑物下游、基坑开挖时，设置减压井或深挖排水槽。【工程实例】【讨论】采用上述措施的原理 2．基坑开挖防渗措施①工程降水可采用明沟排水和井点降水的方法人工降低地下水位。②设置板桩沿坑壁打入板桩，它一方面可以加固坑壁，同时增加了地下水的渗流路径，减小水力坡降。③水下挖掘在基坑或沉井中用机械在水下挖掘，避免因排水而造成流砂的水头差。为了增加砂的稳定性，也可向基坑中注水，并同时进行挖掘。基坑开挖防渗措施还有冻结法、化学加固法、爆炸法等。※习题复习课【本章小结】1．层流状态，水在土中的渗透速度与试样的水力梯度（或水力坡降）成正比；2．常水头试验适用于透水性大（k>10-3cm/s）的土，变水头试验适用于粘性土；3．渗透力是渗流对单位土体的作用力，其大小与水力坡降成正比；4．渗透变形的基本形式分为流土和管涌，可按颗粒级配判别流土和管涌。【复习思考】渗透变形的基本形式有分哪两种？它们分别有什么特征？工程上常用的防渗处理措施有哪些？【课后作业】第三章土中应力计算一、土中自重应力【基本内容】一）竖直向自重应力自重应力——土体初始应力，指由土体自身的有效重力产生的应力。假定【思考】为何要如此假设？ 13对于天然重度为g的均质土： 对于成层土，并存在地下水：式中：γi――第i层土的重度，kN/m3，地下水位以上的土层一般采用天然重度，地下水位以下的土层采用浮重度，毛细饱和带的土层采用饱和重度.注意：①在地下水位以下，若埋藏有不透水层（如基岩层、连续分布的硬粘性土层），不透水层中不存在水的浮力，层面及层面以下的自重应力按上覆土层的水土总重计算；②新近沉积的土层或新近堆填的土层，在自重应力作用下的变形尚未完成，还应考虑它们在自重应力作用下的变形。【课堂讨论】地下水位的升降是否会引起土中自重应力的变化？——地下水位的升降会引起土中自重应力的变化，例如，大量抽取地下水造成地下水位大幅度下降，使原水位以下土体中的有效应力增加，造成地表大面积下沉。二）水平向自重应力根据弹性力学广义虎克定律和土体的侧限条件，推导得式中K0――土的侧压力系数（也称静止土压力系数）。【例3-1】有一地基由多层土组成，其地质剖面如下图所示，试计算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图。解题思路：①求出各分层处的自重应力。②绘制自重应力分布曲线。③注意隔水层处自重应力的突变，及隔水层层面以下的自重应力按上覆土层的水土总重计算二、基底压力一）中心荷载作用下的基底压力基底压力——建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传递给地基，作用于基础底面传至地基的单位面积压力，又称接触压力。基底反力——基底压力的反作用力即地基土层反向施加于基础底面上的压力。影响基底压力的分布和大小的因素基底压力的简化计算：当基础宽度不太大，而荷载较小的情况下，基底压力分布近似按直线变化考虑，根据材料力学公式进行简化计算，即，kPa。 对于荷载沿长度方向均匀分布的条形基础，则沿长度方向截取1m的基底面积来计算，单位为kN/m。二）偏心荷载作用下的基底压力讨论：当时，基底压力呈梯形分布；当时，基底压力呈三角形分布；当时，基底压力，表明基底出现拉应力，此时，基底与地基间局部脱离，而使基底压力重新分布。注意：当计算得到Pmin<0时，一般应调整结构设计和基础尺寸设计，以避免基底与地基间局部脱离的情况。对作用于建筑物上的水平荷载，计算基底压力时，通常按均匀分布于整个基础底面计算。【提问答疑】【本节课小结】1．非均质土中自重应力沿深度呈折线分布；2．自重应力分布在重度变化的土层界面和地下水位面上发生转折；3．自重应力分布在不透水层面处发生突变；4．地下水位下降会引起自重应力增加。5．中心、偏心荷载作用下的基底压力计算。【课后作业】三）基底附加压力基底附加压力――作用于地基表面，由于建造建筑物而新增加的压力，即导致地基中产生附加应力的那部分基底压力。基底附加压力在数值上等于基底压力扣除基底标高处原有土体的自重应力。即基底压力均匀分布时：基底压力呈梯形分布时，基底附加压力为：式中P0――基底附加压力设计值，kPa；P――基底压力设计值，kPa；γ0――基底标高以上各天然土层的加权平均重度，kN/m3；地下水位以下取有效重度；d――从天然地面起算的基础埋深，m。 基底附加压力图【课堂讨论】求基底附加应力意义何在？三、附加应力附加应力――新增外加荷载在地基土体中引起的应力。假定——地基土是连续、均匀、各项同性的半无限完全弹性体。空间问题——附加应力是三维坐标x、y、z的函数；平面问题——附加应力是二维坐标x、z的函数。16一）竖向集中荷载作用下的地基附加应力布辛涅斯克用弹性理论推导得出：依上述公式可推导出附加应力σz的分布规律：①地面下任一深度的水平面上，在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减小；②同一竖向线上的附加应力随深度而变化，在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深度增加，σz逐渐减小；③剖面图上的附加应力等值线，在空间上附加应力等值面呈泡状，称应力泡。应力扩散――竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低，这种现象称为应力扩散。【课堂讨论】相邻基础会不会相互影响？二）矩形基础地基中的附加应力计算矩形基础长度为l，基础宽度为b，当l/b<10,其地基附加应力计算问题属于空间问题。1．竖向均布荷载P作用于矩形基底依布辛涅斯克解，将公式沿长度l和宽度b两个方向二重积分，求得角点下任一深度z处M点的附加应力：简写成式中Kc――垂直均布荷载下矩形基底角点下的竖向附加应力系数，无量纲，Kc=f(m,n)，可由表查得。注意：l为基础长边，b为基础短边；z是从基底面起算的深度；P为基底附加压力。2．“角点法”角点法之实质——附加应力叠加原理。角点其实是附加应力积分公式的原点，因而不在角点（原点）下的附加应力不能直接求出。 (a)(b)(c)(d)角点法的应用：（1）矩形荷载面内任一点O之下的附加应力[如图（a）所示]：（2）矩形荷载面边缘上任一点O之下的附加应力[如图（b）所示]：17（3）矩形荷载面边缘外一点O之下的附加应力[如图（c）所示]：其中Ⅰ为ofbg，Ⅲ为oecg。注意：基础范围外“虚线”所构成的矩形其实是虚设的荷载分布的范围，因而要减去其“产生”的附加应力；（4）矩形荷载面外任一点O之下的附加应力[如图（d）所示]：其中Ⅰ为ohce，Ⅱ为ogde，Ⅲ为ohbf。【课堂讨论】作“辅助线”原理及目的何在？3．垂直三角形分布荷载Kt1――可由表查得，其中m=l/b，n=z/b。同理，荷载强度最大值角点2下任一深度z处M点的附加应力为注意：b为沿荷载变化方向矩形基底边长，l为矩形基底另一边长；同理，计算中可利用角点法。4．水平均布荷载矩形基底作用有水平均布荷载ph，水平荷载起始边角点1下任一深度z处水平荷载终止边角点2下任一深度z处Kh――可由表查得，其中m=l/b，n=z/b；b为沿水平荷载作用方向矩形基底边长，l为矩形基底另一边长；同理，计算中可利用角点法。【例题先自习后讲解】 【例3－2】有两相邻基础A和B，其尺寸、相对位置及基底附加压力分布见图（a）。若考虑相邻荷载的影响，试求A基础底面中心点o下2m处的竖向附加应力。【解题要点】①附加应力叠加原理的应用——角点法；②会用直线插入法查取附加应力系数。【提问答疑】【本次课总结】1．基底附加压力与地基附加应力的关系；2．用“角点法”计算矩形荷载作用下的附加应力。【课后作业】三）条形基础地基中的附加应力计算当基础底面长宽比l/b→∞时，称为条形基础。——如图，因Y轴坐标方向（基础延伸方向）任意平面下的附加应力分布规律都是一样的，所以不用考虑Y轴坐标方向，只需考虑X、Z方向——平面问题研究表明，当基础的长宽比l/b≥10时，将其视为平面问题计算的附加压力结果误差甚微。1．竖向均布线荷载2．垂直均布条形荷载Kxz＝f（，）注意坐标原点的位置3．垂直三角形分布条形荷载Ktz＝f（，）注意坐标原点的位置及x的正负号 三角形分布竖向条形荷载下地基附加应力水平均布条形荷载下地基附加应力4．水平均布条形荷载Khz＝f（，）注意坐标原点的位置及x的正负号【例题先自习后讲解】【例3－3】某条形地基，如下图所示。基础上作用荷载F=400kN/m，M1=20kN•m，试求基础中点下的附加应力，并绘制附加应力分布图。【解题要点】①先后求G、e、P、P0。②将梯形分布的附加应力视为作用于地基上的荷载，并分成均布和三角形分布两部分，然后叠加。四）地基中附加应力计算的有关问题＊1．地基中附加应力的分布规律2．非均质地基中的附加应力※习题（复习）课【本次课小结】1．不是用角点法求条形基础下的附加应力；2．注意各种荷载情况下的坐标原点位置及查表方法。【课后复习思考】1．在集中荷载作用下，地基中附加应力的分布有何规律？相邻两基础下的附加应力是否会彼此影响？2．附加应力计算中的空间问题和平面问题是如何划分的？3．“角点法”的实质是什么？4．若基础底面的压力不变，增加基础埋置深度后土中附加应力有何变化？【课后作业】第五章地基沉降计算任何建筑物都要建造在土层或岩石上面，土层受到建筑物的荷载作用后，就要产生压缩变形，当变形超过了允许值，将影响建筑物的使用功能。或者当荷载较大超过了地基土的承载能力，将造成地基的破坏，丧失稳定性，从而导致整体的失稳。为保证建筑物的安全，岩土体应同时满足两个基本要求：（1）土体应具有足够的强度，在荷载作用后，不致因失稳而破坏；（2）土体不能产生过大的变形而影响建筑物的安全与正常使用。一般建筑荷载等级不大，大部分土体的强度与压缩性，容易满足上述要求。在一些地区由于特定的地质条件，工程上常遇到软弱土体，对这种土体必须进行相应的处理，才能满足强度与变形的要求。一、地基最终沉降量的计算 地基最终沉降量是指地基在建筑物荷载作用下，最后的稳定沉降量。计算地基最终沉降量的目的，在于确定建筑物最大沉降量、沉降差和倾斜，并控制在容许范围以内，以保证建筑物的安全和正常使用。计算地基沉降量的方法有多种，如分层总和法、规范法及弹性理论法等。一）分层总和法1、单向压缩基本公式1）计算原理及公式假定：（1）地基土受荷后不能发生侧向变形；（2）按基础底面中心点下附加应力计算土层分层的压缩量；（3）基础最终沉降量等于基础底面下压缩层（见后）范围内各土层分层压缩量的总和。我们将基础底面下压缩层范围内的土层划分为若干分层，现分析第i分层的压缩量的计算方法，参见（图5-1）。在建筑物建造以前，第i分层仅受到土的自重应力作用，在建筑物建造以后，该分层除受自重应力外，还受到建筑物荷载所产生的附加应力的作用。如前所述，在一般情况下，土的自重应力产生的变形过程早已完结，而只有附加应力（新增加的）才会产生土层新的变形，从而使基础沉降。由于假定土层受荷后不产生侧向变形，所以它的受力状态与压缩试验时土样一样，故第i层的压缩量可按下式计算：Si=（5-1）其中，代入上式，得：Si=（5-2）则地基总沉降量：S==（5-3）式中：S—地基最终沉降量；—第i分层在建筑物建造前，在土的平均自重应力作用下的孔隙比；—第i分层在建筑物建造后，在土的平均自重应力和平均附加应力作用下的孔隙比；hi—第i分层的厚度，为了保证计算的精确性，一般取hi≤0.4b（b为基础宽度）；n—压缩层范围内土层分层数目。公式（5-2）、（5-3）是分层总和法的基本公式，它适用于采用压缩曲线计算。若在计算中采用土的压缩模量ES作为计算指标，则公式（5-2）、（5-3）可变成另外的形式。由压缩定律得，，并由（图5-1）可见，第i分层内相应于上式中的应力，而 ，于是，第i层土的孔隙比的变化：将上式代入式（5-2），并注意到，则得：（5-4）式中：ESi—第i分层土的压缩模量。其余符号意义同前。综上所述，按分层总和法计算地基沉降量的具体步骤如下：（1）按比例尺绘出地基剖面图；（2）计算基底的附加应力和自重应力；（3）确定地基压缩层厚度；（4）将压缩层范围内各土层划分成厚度为hi≤0.4b（b为基础宽度）的薄土层；（5）绘出自重应力和附加应力分布图（各分层的分界面应标明应力值）；（6）按公式（5-2）计算各分层的压缩量；（7）按公式（5-3）或公式（5-4）算出地基总沉降量。2）地基压缩层厚度地基土层产生压缩变形是由荷载作用下地基中的附加应力引起的，地基土内的附加应力随深度增加而减小。在基础底面以下某一深度以下的土层压缩变形很小，可以忽略不计。这个深度范围内的土层称为压缩层即地基沉降计算的厚度范围。目前，确定压缩层厚度的方法有以下几种：（1）当无相邻荷载影响，基础中点下的地基沉降计算深度可按下列简化公式计算zn=B（2.5－0.41㏑B）（5-5）式中：B为基础宽度（m）。如zn以下有较软土层时，还应继续向下计算，直到再次满足式（5-7）为止。在计算深度范围内存在基岩时，zn值可取至基岩表面。（2）当有相邻基础影响时，地基沉降计算深度应满足下试要求：（5-6）式中：—深度zn处，向上取计算厚度为（按表5-1确定）的沉降计算变形值；—深度zn范围内，第i层土的沉降计算变形值。表5-1计算层厚度值B(m)≤22＜B≤44＜B≤88＜B≤1515＜B≤30＞30（m）0.30.60.81.01.21.5 （3）附加应力与自重应力比值法如前所述，附加应力随深度增加而减小，而土的自重应力随深度的增加而增大。一情况下，自重应力已不再使土层产生压缩，可以认为当基底下某处附加应力与自重应力的比值小到一定程度即可认为该处就为压缩层的下限。一般认为，可取附加应力与自重应力的比值为0.2（软土取0.1）处作为压缩层的下限条件，并精确到5kPa，即满足下式：或（5-7）[例题5-1]某基础底面为正方形，边长为，上部结构传至基础底面荷载。基础埋深。地基为粉质粘土，土的天然重度=16.0kN/m3。地下水位深度3.4m，水下饱和重度sat=18.2kN/m3。土的压缩试验结果曲线如图5-2所示，计算地基的沉降量。[解]①绘制地基剖面图，如图5-3所示；②计算地基土的自重应力。基础底面处地下水面处地面下2B深度处③基础底面接触压力（设基础及其回填土的平均重度为20kN/m3）④基础底面附加应力⑤地基中的附加应力，计算结果见表5-2表5-2附加应力计算深度(m)系数 01.22.44.06.01.01.01.01.01.000.61.22.03.00.250.2230.1520.0840.04594.084.057.031.616.8⑥地基压缩层深度zn，由图5-3中自重应力与附加应力分布两条曲线，由，当深度z=6.0m时故受压层深度取6m。⑦地基沉降计算分层，一般要求。地下水为以上2.4m分两层，每层1.2m；第三层1.6m,第四层阴附加应力较小，可取2．0m。⑧地基沉降计算公式根据图5-2地基土压缩曲线，由各土层的平均自重压力数值，查得相应的孔隙比；由各土层的平均自重压力与平均附加应力之和，查出相应的孔隙比，由公式5-2即可计算各土层的沉降量。列表计算如表5-3所示。⑨基础总沉降量沉降计算表表5-3(m)(kPa)(kPa)(kPa)(mm)12341.21.21.62.025.644.861.075.789.070.544.324.2114.6115.3105.399.90.9700.9600.9540.9480.9370.9360.9400.9410.01680.01220.007160.0035920.1614.6411.467.18二）按规范方法计算《建筑地基基础设计规范》所推荐的地基最终沉降量计算方法是另一种形式的分层总和法。它也采用侧限条件的压缩性指标，并运用了平均附加应力系数计算；还规定了地基沉降计算深度的标准以及提出了地基的沉降计算经验系数，使得计算成果接近于实测值。 规范所采用的平均附加应力系数，其概念为：从基底至地基任意深度z范围内的附加应力分布图面积A对基底附加压力与地基深度的乘积之比值，，亦即此附加应力分布图面积A以基底附加应力、地基深度及地基平均附加应力系数，三者乘积来等代。假设地基土是均质的，土在侧限条件下的压缩模量Es不随深度而变，则从基底至地基任意深度z范围内的压缩量为：（5-8）式中为土的侧限压缩应变，；A为深度z范围内的附加应力面积，。因为（为基底下任意深度z处的地基附加应力系数），所以附加应力面积A为：为了便于计算，可以引入一个系数，则式（5-8）改写为（5-9）式中——深度z范围内竖向附加应力面积A的等代值；——深度z范围内的竖向平均附加应力系数。式（5-9）就是以附加应力面积等代值引出一个平均附加应力系数表达的从基底至任意深度z范围内地基沉降量的计算式子。由此可得成地基中第i分层沉降量的计算公式如下（图5-4）：(5-10)式中和分别表示和范围内竖向附加应力面积（图中面积1234）和（图中面积1256）的等代值；和分别为响应的竖向平均附加应力系数；则表示第i分层的竖向附加应力面积（图中面积5634），因此，规范方法亦称应力面积法。《建筑地基基础设计规范》用符号表示地基沉降计算深度，并规定应满足下列条件：由该深度处向上取按表2-8规定的计算厚度（见图5-4）所得的计算沉降量 不大于范围内的计算沉降量的2.5%，即应满足下列要求（包括考虑相邻荷载的影响）：计算厚度值表5-4≤22300.30.60.81.01.21.5（5-11）按上式所确定的沉降计算深度下如有较软土层时，尚应向下继续计算，直至软弱土层中所取规定厚度的计算沉降量满足上式为止。当无相邻荷载影响，基础宽度在1~50m范围内时，基础中点的地基沉降计算深度，规范规定，也可按下列简化公式计算：（5-12）式中——基础宽度，为的自然对数值。在沉降计算深度范围内存在基岩时，可取至基岩表面为止。为了提高计算准确度，地基沉降计算深度范围内的计算沉降量，尚须乘以一个沉降计算经验系数。规范规定的确定方法：（5-13）式中系利用地基沉降观测资料推算的最终沉降量（见5-5节）。因此，各地区宜按实测资料制定适合于本地区各类土的值，而规范提供了一个采用表值（见表5-5）。综上所述，规范推荐的地基最终沉降量（mm）的计算公式如下：（5-14）式中——按分层总和法计算出的地基沉降量（mm）；——沉降计算经验系数，根据地区沉降观测资料及经验确定，也可采用表5-5数值；——地基沉降计算深度范围内所划分的土层数，其分层厚度取法同前面按分层总和法计算中所述。——对应于荷载标准值时的基础底面附加应力（）——基础底面下第层土的压缩模量，按实际应力范围取值（）； 、——基础底面至第层土、第层土底面的距离（）；、——基础底面的计算点至第层土、第层土底面范围内平均附加应力系数，可按表5-6，表5-7查用。沉降计算经验系数表5--5地基附加应力2.54.07.015.020.01.41.31.00.40.21.1.1.00.70.40.2注：为沉降计算深度范围内压缩模量的当量值，应按下式计算：（5-15）式中—为第层土附加应力面积沿土层厚度的积分值，[例题5-2]如图5-5，按规范法计算柱基础甲的最终沉降量，并应考虑相邻基础的影响。计算资料：从基础底面向下第一层（持力层）为4米厚粉质粘土；第二层（下卧层）为很厚的粘土层（如图5-6）。[解]（1）确定；（2）计算，分层厚度取2米，计算结果列于表5-8。分层深度（m）自重应力平均值(kPa)附加应力平均值(kPa)自重应力+附加应力(kPa)分层厚度（m）压缩曲线编号受压前孔隙比受压后孔隙比0～247941412.0土样4-10.8100.7492.792～476591352.00.7870.7512.934～695371322.0土样4-20.9000.8732.606～8115271422.00.8850.8693.188～10135181532.00.8720.8613.06注：各分层附加应力平均值近似取分层顶、底面处的附加应力的平均值。(3)计算（分层厚度取2m）①当时，虽不为零（查表5-6），但；②计算范围内的： （a）柱基甲（荷载面积为）对荷载面积，查表5-6，有，得，得当时，内插得柱基甲基底下范围内的（b）两相邻柱基乙的影响（荷载面积）对荷载面积，，查表5-6，得；对荷载面积，，；由于两相邻柱基乙的影响，在范围内（c）考虑两相邻柱基乙的影响后，基础甲在范围内的③按表5-1规定，当时，确定沉降计算深度处向上取计算厚度，分别计算4、6、8、8.4、9m深度范围内的值，列于本表5-9。（4）计算～（粉质粘土层位于地下水位以上）：～（粉质粘土层位于地下水位以下）：余详见表5-9（5）确定由表5-7，深度范围内的计算沉降量，相应于（按表5-1规定为向上取）土层的计算沉降量，满足要求，故确定沉降计算深度。注意表5-9，土层的值不能验算沉降计算深度。(6)确定 按式（5-15）计算深度范围内压缩模量的当量值：查表5-5（当）得（7）计算地基最终沉降量三）三向变形公式***分层总和法单向压缩公式仅适用于求算薄压缩层地基和大面积分布荷载下地基的总沉降量，为了考虑土的侧向变形的影响，国内外学者提出了分层总和法三向变形公式，仍采用简便的固结试验得出的压缩性指标。根据广义虎克定律考虑侧向变形影响，竖向变形的计算公式如下：（5-15a）或（5-15b）或（5-15c）式中、——第i分层的竖向应变和竖向变形；、、——第i分层沿x、y、z三个方向的平均应力；、——第i分层土的变形模量和泊松比；、——第i分层的土层厚度和全应力++根据变形模量与压缩模量的关系式（见上一章式（4-15））：（5-16a） 或（5-16b）或（5-16c）式中、、第i分层自重应力的孔隙比、压缩系数和体积压缩系数。代入（5-15c）可得（5-17）得分层总和法三向变形公式：（5-18）此三向变形公式计算的地基总沉降量值要比单向压缩基本公式的增大较多，具体计算时可查阅地基在矩形和条形荷载面积作用下地基中任一点处的全应力值的有关表格1直接计算，也可与单向压缩基本公式比较，其分层沉降计算表达式如下：（5-19）式中、——第i分层三向变形和单向压缩的沉降量，；与单向分层总和法计算的沉降量的比值，，可查阅不同值的值。三）应力历史对地基沉降的影响《一》沉积土层的应力历史1.根据先期固结压力划分的三类沉积土层天然土层在历史上受过最大的固结压力（指土体在固结过程中所受的最大有效压力），称为先（前）期固结压力。按照它与现有压力相对比的状况，可将土（主要为粘性土和粉土）分为正常固结土、超固结土（超压密土）和欠固结土三类。正常固结土层在历史上所经受的先期固结压力等于现有覆盖土重；超固结土层历史上曾经受过大于现有覆盖土重的先期固结压力；而欠固结土层的先期固结压力则小于现有覆盖土重。在研究沉积土层的应力历史时，通常把土层历史上所经受过的先期固结压力与现有覆盖土重之比，进行对比，两者的比值定义为超固结比（或超压密比）（OCR）。正常固结土、超固结土和欠固结土的超固结比值分别为OCR=1，OCR＞1和OCR＜1。当考虑土的应力历史进行沉降计算时，应进行高压固结试验，确定先期固结压力、压缩指数等，试验成果用曲线表示。确定先期固结压力 最常用的方法是A，卡萨格兰德（Cassagrande，1936）建议的经验作图法，作图步骤如下（图5-15）：图5-15确定先期固结压力卡萨格兰德法（1）从曲线上找出曲率半径最小的一点A，过A点作水平线A1和切线A2；（2）作的平分线A3，与曲线中直线段的延长线相交于B点；（3）B点所对应的有效应力就是先期固结压力PC。必须指出，采用这种建议的经验作图法，对取土质量要求较高，绘制时要选用适当的比例尺等，否则，有时很难找到一个突变的A点，因此，不一顶都能得出可靠的结果。确定先期固结压力，还应结合场地地形、地貌等形成历史的调查资料加以判断，例如历史上由于自然力（流水、冰川等地质作用的剥蚀）和人工开挖等剥去原始地表土层，或在现场堆载预压作用等，都可能使土层成为超固结土；而新近沉积的粘性土和粉土、海滨淤泥以及年代不久的人工填土等则属于欠固结土。此外，当地下水位发生前所未有的下降后，也会使土层处于欠固结状态。2.由原始压缩曲线确定土的压缩性指标原始压缩曲线是指室内压缩试验曲线经修正后得出的符合现场原始土体孔隙比与有效应力的关系曲线。在计算地基的固结沉降时，必须首先弄清楚土层所经受的应力历史，从而对不同固结状况由原始压缩曲线确定不同的压缩性指标值。对于正常固结土，如图5-16，曲线中的ab段表示在现场成土的历史过程中已经达到固结压力，它等于现有的覆盖土自重应力。在现场应力增量的作用下，孔隙比的变化将沿着ab段的延伸线发展（图中虚线bc段）。但是，原始压缩曲线ab段不能由室内试验直接测得，只有将一般室内压缩曲线加以修正后才能求得。这是由于扰动的影响，取到实验室的试样即使十分小心地保持其天然初始孔隙比不变，仍然会引起试样中有效应力的降低（图中的水平线bd所示）。当试样在室内加压时，孔隙比变化将沿着室内压缩曲线发展。 图5-16正常固结土的扰动对压缩性的影响图5-17正常固结土的原始压缩曲线正常固结土的原始压缩曲线，可根据J.H.施默特曼（Schmertmann，1955）的方法，按下列步骤将室内压缩曲线加以修正后求得（图5-17）。（1）先作b点，其横坐标为试样的现场自重压力，由曲线资料分析等于B点所对应的先期固结压力，其纵坐标为现场孔隙比；（2）再作c点，由室内压缩曲线上孔隙比等于处确定，这是根据许多室内压缩试验发现的，若将土试样加以不同程度的扰动，所得出的不同室内压缩曲线直线段，都大致交于孔隙比。这一点，由此推想原始压缩曲线也大致交于该点；（3）然后作bc直线，这线段就是原始压缩曲线的直线段，于是可按该线段的斜率定出正常固结土的压缩指数值。对于超固结土，如图5-18所示。相应于原始压缩曲线abc中b点压力是土样的应力历史上曾经受到最大压力，就是先期固结压力（），后来有效应力减少到现有土自重应力（相当于原始回弹曲线bb1上b1点的压力）。在现场应力增量的作用下，孔隙比将沿着原始再压缩曲线b1c变化。当压力超过先期固结压力后，曲线将与原始压缩曲线的延伸线（图中虚线bc段）重新连接。同样，由于土样扰动的影响，在孔隙比保持不变情况下仍然引起了有效应力的降低（图中水平线b1d所示）。当试样在室内加压时，孔隙比变化将沿着室内压缩曲线发展。超固结土的原始压缩曲线，可按下列步骤求得（图5-19）：（1）先作b1点，其横、纵坐标分别为试样的现场自重压力和现场孔隙比；（2）过b1点作一直线，其斜率等于室内回弹曲线与再压缩曲线的平均斜率，该直线与通过B点垂线（其横坐标相应于先期固结压力值）交于b点，b1b就作为原始再压缩曲线，其斜率为回弹指数（根据经验得知，因为试样受到扰动，使初次室内压缩曲线的斜率比原始再压缩曲线的斜率要大得多，而从室内回弹和再压缩曲线的平均斜率则比较接近于原始再压缩曲线的斜率）；（3）作c点，由室内压缩曲线上孔隙比等于处确定；（4）连接bc直线，即得原始压缩曲线的直线段，取其斜率作为压缩指数值。对于欠固结土，由于自重作用下的压缩尚未稳定，只能近似地按正常固结土一样的方法求得原始压缩曲线，从而定出压缩指数值。 图5-18超固结土样的扰动图5-19超固结土的原始压缩曲对压缩性的影响线和原始再压缩曲线（二）地基固结沉降的计算地基固结沉降计算通常采用单向压缩分层总和法，采用与单向压缩基本公式相同的分层标准和沉降计算深度确定原则，但土的压缩性指标必须从曲线表达的现场原始压缩曲线中确定，从而考虑应力历史对地基沉降的影响。对于正常固结土，其压缩性指标与单向压缩基本公式从曲线中所确定的压缩性指标虽然不同，但对计算结果的影响不大；另外，在分层总和法公式中的计算参数原始孔隙比也有差异，但对计算结果的影响也很小。因此，通常认为考虑应力历史计算的三种固结土层的固结沉降量都是单向压缩的最终沉降量。1.正常固结土的沉降计算计算正常固结土的沉降时，由原始压缩曲线确定的压缩指数，按下列公式计算固结沉降（图5-20）：图5-20正常固结土的孔隙比变化（5-38a）式中——第i分层的压缩应变；——第i分层的厚度。因为（5-38b） 所以（5-38c）式中——从原始压缩曲线确定的第i层土孔隙比变化；——从原始压缩曲线确定的第i层土的压缩指数；——第层土自重应力的平均值，；——第层土附加应力的平均值（有效应力增量），；——第i层土的初始孔隙比。2.超固结的沉降计算计算超固结土的沉降时，由原始压缩曲线和原始再压缩曲线分别确定土的压缩指数和回弹指数（图5-21）。计算时应按下列两种情况区别对待。如果某分层土的有效应力增量大于，则分层土的孔隙比将沿着原始再压缩曲线b1b段减少，然后沿着原始压缩曲线bc段减少，即相应于的孔隙比变化应等于这两部分之和（图5-21（a））。其中第一部分（相应的有效应力由现有的土自重压力增大到先期固结压力）的孔隙比变化为：（5-39a）式中——回弹指数，其值等于原始再压缩曲线的斜率。第二部分[相应的有效应力由增大到]的孔隙比变化为：（5-39b）式中——压缩指数，等于原始压缩曲线的斜率。总的孔隙比变化为：（5-39c）因此，对于的各分层总和的固结沉降量为：（5-40）式中——分层计算沉降时，压缩土层应小应力增量的分层数； 、——第i层土的回弹指数和压缩指数；——第层土的先期固结压力；其余符号意义同式（5-38）。如果分层土的有效应力增量不大于，则分层土的孔隙比变化只沿着再压缩曲线b1b发生（图5-21（b）），其大小为：（5-41）因此，对于的各分层总和固结沉降量为：（5-42）式中——分层计算沉降时，压缩土层中具有的分层数。总的地基固结沉降为上述两部分之和，即（5-43）3.欠固结土的沉降计算欠固结土的沉降包括由于地基附加应力所引起，以及原有土自重应力作用下的固结还没有达到稳定那一部分沉降在内。欠固结土的孔隙比变化（减量），可近似地按与正常固结土一样的方法求得原始压缩曲线确定（图5-22）。因此，这种土的固结沉降等于在土自重应力作用下继续固结的那一部分沉降与附加应力引起的沉降之和，计算公式如下：（5-44）式中——第层土的实际有效压力，小于土的自重应。尽管欠固结土并不常见，在计算固结沉降时，必须考虑土自重应力作用下继续固结所引起的一部分沉降。否则，若按正常固结土层计算，所得结果将远小于实际观测的沉降量。二、弹性力学公式计算地基沉降量布辛奈斯克解给出了一个竖向集中力P作用在弹性半空间表面时半空间内任意点处产生的竖向位移的解答。如取M点坐标。则所得的半空间表面任意点竖向位移就是地基表面的沉降s（图5-7）（5-20） 式中——竖向集中力P作用下地基表面任意点沉降；——地基表面任意点到竖向集中力作用点的距离，——地基土的变形模量（或弹性模量E）；——地基土的泊松比（参见第四章表4-）。图5-7集中力作用下地基表面的沉降曲线图5-8局部柔性荷载下的地面沉降计算(a)任意荷载面(b)矩形荷载面对于局部柔性荷载作用下的地基沉降，则可利用上式，根据叠加原理求得。如图5-8（a）所示，设荷载面A内点处的分布荷载为，则该点微面积上的分布荷载可由集中力代替。于是，地面上与N点相距为的点的沉降，可按式（5-20）积分求得：（5-21）对均布的矩形荷载常数，其角点C的沉降按上式积分的结果为：（5-22）式中是单位均布矩形荷载在角点C处引起的沉降，称为角点沉降系数。它是矩形荷载面长度和宽度的函数，即：（5-23）以长宽比代入上式，则式（5-18）写成：（5-24a）令，称为角点沉降影响系数，则上式改换为：（5-24b） 利用上式，以角点法容易求得均布的矩形荷载下地基表面任意点的沉降。例如矩形中心点的沉降是图5-8（b）中以虚线划分的四个相同的小矩形的角点沉降量之和，由于小矩形的长宽比等于原矩形的长宽比，所以中心点的沉降为：(5-25a)即矩形荷载中心点沉降为角点沉降的两倍，如令为中心沉降影响系数，则：（5-25b）以上角点法的计算结果和实践经验都表明，柔性荷载下地面的沉降不仅产生于荷载面范围之内，而且还影响到荷载面以外，沉降后的地面呈碟形。但一般基础都具有一定的抗弯刚度，因而基底沉降依基础刚度的大小而趋于均匀，所以中心荷载作用下的基础可以近似地按柔性荷载下基底平均沉降计算，即：（5-26a）式中A为基底面积，对于均布的矩形荷载，上式积分的结果为：（5-26b）式中——平均沉降影响系数。通常为了便于查表计算，把式（5-24b）、（5-25b）、（5-26b）统一表达为地基沉降的弹性力学公式的一般形式：（5-27）式中——矩形荷载（基础）的宽度或圆形荷载（基础）的直径；——沉降影响系数，按基础的刚度、底面形状及计算点位置而定，由表5-10查得。对于中心荷载下的刚性基础，由于它具有无限大的抗弯刚度，受荷沉降后基础不发生挠曲，因而基底的沉降量处处相等，即在基底范围内，式（5-21）中常数，将该式与基础的静力平衡条件；联合求解后可得基底反力和沉降。其中也可以表达为式（5-23）的形式，但式中（和分别为中心荷载合力和基底面积），则取刚性基础的沉降影响系数，按表5-10查得，其值与柔性荷载接近。 刚性基础承受偏心荷载时，沉降后基底为一倾斜平面，基底形心处的沉降（即平均沉降）可按式（5-27）取计算；基底倾斜的弹性力学公式如下：圆形基础（5-28a）矩形基础（5-28b）式中——基础倾斜角；——基底竖向偏心荷载合力；——偏心距；——荷载偏心方向的矩形基底边长或圆形基底直径；——计算矩形刚性基础倾斜的无量纲系数，按（为矩形基底另一边长）值由图5-9查取。上述弹性力学公式计算基础沉降和倾斜对于矩形或圆形基础，当地基土质均匀时，利用式（5-27）和式（5-28）估算基础的最终沉降和倾斜是很简便的。但按这种方法计算的结果往往偏大，这是由于弹性力学公式是按均质的线性变形半空间（半无限体）的假设得到的，而实际上地基常常是非均质的成层土（包括下卧基岩的存在），即使是均质的土层，其变形模量一般随深度而增大。因此，利用弹性力学公式计算沉降的问题，在于所用的值是否能反映地基变形的真实情况。地基土层的值，如能从已有建筑物的沉降观测资料，以弹性力学公式反算求得，这种数据是很有价值的。通常在整理地基[静]荷载试验资料时，就是利用式（5-27）反算的（见上一章4.节）。对于成层土地基，应取地基沉降计算深度）范围内变形模量和泊松比的加权平均值和，即近似均按各土层厚度的加权平均取值。此外，弹性力学公式可用来计算短暂荷载作用下地基的沉降和倾斜，此时认为地基土不产生体积变形，例如在风力或其他短暂荷载作用下，构筑物基础的倾斜可按式（5-28）计算，但式中换取土的弹性模量（见第4章4）代入，并以土的泊松比代入（参见下面瞬时沉降的计算问题）。三、变形发展三分法（斯肯普顿法）计算最终沉降量根据对粘性土地基，在外荷载力作用下，实际变形发展的观察和分析，可以认为地基土的总沉降量是由三个分量组成（图5-10）即（5-29）式中——瞬时沉降（畸变沉降）；——固结沉降（主固结沉降）； ——次压缩沉降（次固结沉降）。此分析方法是A.W.斯肯普顿（Skempton）和L.比伦（Bjerrum）提出的比较全面计算总沉降量的方法，这里不妨称为计算地基最终沉降图5-10地基总沉降量的三个分量示意量的变形发展三分法，也称斯肯普顿法。1.瞬时沉降瞬时沉降是紧随着加压之后地基即时发生的沉降，地基土在外荷载作用下其体积还来不及发生变化，主要是地基土的畸曲变形，也称畸变沉降、初始沉降或不排水沉降。斯肯普顿提出粘性土层初始不排水变形所引起的瞬时沉降课程用弹性力学公式进行计算，其后的室内大比例尺模型试验和现场实测结果表明，当饱和的和接近饱和的粘性土在受到中等的应力增量的作用时，整个土层的弹性模量可近似地假定为常数。与此相反，无粘性土的弹性模量明显地与其侧限条件有关，线性弹性理论的假设已不适用；通常用有限元法等数值解法，对土层内采用相应于各点应力大小的弹性模量进行分析，即无粘性土的弹性模量是根据介质内各点的应力水平而确定的。所谓应力水平是指实际应力与破坏时的应力之比，例如地基土在应力变化的过程中达到的最大剪应力（或土样受到的最大周围压力）与抗剪强度的比值，称为剪应力水平，简称应力水平。无粘性土的地基由于其透水性大，加荷后固结沉降很快，瞬时沉降和固结沉降已分不开来，而且次压缩现象不显著，更由于其弹性模量随深度增加，应用弹性力学公式分开来求算瞬时沉降不正确。对于无粘性土的最终沉降量，可采用J.H.加·施默特曼（Schmertmann1970）提出的半经验法计算，可参阅H.F.温特科恩和方晓阳主编的基础工程手册，本教材从略。粘性土地基上基础的瞬时沉降，按下式[参见式（5-27）]估算：（5-30）式中和分别为土泊松比和弹性模量，斯肯普顿考虑了饱和粘性土在瞬时加荷时体积变化等于零的特点，先确定泊松比，根据广义虎克定律[参见式（5-15）]，，可取，则式（5-30）可变为（5-31）确定弹性模量E的适当数值更为困难，它必须在体积变化为零的条件下（饱和土不排水试验体积变化为零），一般由三轴压缩试验或无限单轴压缩试验得到的应力-应变曲线上确定的初始切线模量或相当于现场荷载条件下的再加荷模量。也可近似采用，式中和分别为三轴压缩不排水试验中试样破坏时的主应力差和不排水抗剪强度（见第6章）。瞬时沉降还与基础作用的荷载水平有关。所谓荷载水平是指基础作用荷载与极限荷载（极限承载力）之比值，此作用荷载和极限荷载的单位均为应力，荷载水平也就是应力水平。因为荷载水平越高，土中产生塑性变形区会越大，也越大。为此，应对式（5-31）算出的 值除以小于1的修正系数，得到修正后的瞬时沉降如下：（5-32）式中——瞬时沉降修正系数，可以从图5-11中查得，图中表示粘性土地基的厚度图5-11瞬时沉降修正系数图5-12固结沉降修正系数与基础宽度之比，为加荷前现场土的剪应力与不排水抗剪强度之比（、为初始有效竖向应力和水平向应力，为土的静止侧压力系数）。2.固结沉降固结沉降是由于在荷载作用下随着土中超孔隙水压力的消散，有效应力的增长而完成的。斯肯普顿认为粘性土按其成因的不同可以有超固结土、正常固结土和欠固结土之分，而分别计算这三种不同固结状态粘性土在外荷载作用下的固结沉降，它们的压缩性指标必需在曲线上得到，将在下面（应力历史对地基沉降的影响中）介绍。由于所得来的压缩性指标是单向压缩的条件，与工程实际情况有差异，A.W.斯肯普顿（Skempton）和L.比伦（Bjerrum）建议将单向压缩条件下计算的固结沉降乘上一个修正系数得到考虑侧向变形的修正后的固结沉降如下：（5-33）式中——固结沉降修正系数，0.2～1.2由偏差应力作用下的孔隙压力系数A值从图5-12中查得，或从下面推导公式中求算。在单向（竖向）压缩的固结仪中，在加荷初始，竖向大主应力增量等于孔压增量（超孔隙水压力），则土样的压缩量为[参见式（5-2c）]（5-34）式中——土的体积压缩系数； ——土样初始高度。地基土层（厚度为H）单向压缩的固结沉降公式为（5-35）在三轴压缩仪中考虑侧向变形（轴对称三向应力状态）的饱和土体中某处和共同作用下的总孔压增量为（见式（6-28））：（5-36）式中A——在偏差应力条件下的孔隙压力系数，它是饱和土体在偏差应力状态时单位偏差应力增量所引起的孔压增量；——小主应力周围压力增量，在的作用下孔压增量为（见第6章图6-）。地基土层（厚度为H）考虑侧向变形时的固结沉降公式如下（为深度处的超孔隙水压力）：（5-37）得出（5-38）假定和均为常数，则（5-39）考虑土在固结过程中有侧向变形，得到修正后的固结沉降，提高了计算精度，例如上海地区较高灵敏度的软粘土，用单向压缩条件下计算得到的固结沉降偏小，这种土的值大于1得出值总大于1；又如南京地区下蜀黄土，其值小于1很多，值必然小于1。必须指出，在推导中假定竖向应力为大主应力，水平向应力为小主应力，这仅在对称轴线上，才是合适的。3.次压缩沉降次压缩沉降被认为与土的骨架蠕变有关；它是在超孔隙水压力已经消散、有效应力增长基本不变之后仍随时间而缓慢增涨的压缩。在次压缩沉降过程中，土的体积变化速率与孔隙水从土中流出速率无关，即次压缩沉降的时间与土层厚度无关。 图5-13次压缩沉降计算时的孔隙比与时间关系曲线许多室内试验和现场测试的结果都表明，在主固结完成之后发生的次固结的大小与时间关系在半对数图上接近于一条直线，如图5-13所示。因而次压缩引起的孔隙比变化可近似地表示为：（5-40）式中——半对数图上直线的斜率，称为次压缩系数；——所求次压缩沉降的时间，；——相当于主固结度为100%的时间，根据曲线外推而得（图5-13）。地基次压缩沉降的计算公式如下：（5-41）根据许多室内和现场试验结果，值主要取决于土的天然含水量，近似计算时取，值的一般范围如表5-13所示。表5-11的一般值土类土类正常固结土0.005～0.020高塑性粘土、有机土≥0.03超固结土（OCR）＜0.001四、最终沉降量计算方法的讨论综上地基最终沉降量各种计算方法中，以分层总和法较为方便实用，采用侧限条件下的压缩性指标，以有限压缩层（沉降计算深度）范围的分层（地基附加应力分布是非线性的）计算加以总和。三种分层总和法中以单向压缩基本公式最为简单方便，对于中小型基础，通常取基底中心轴线下的地基附加应力进行计算，以弥补所采用的压缩性指标偏小的不足。对于基底形状简单，尺寸不大的民用建筑基础，根据经验给以一个合适的地基变形允许值（如12cm）也能解决地基变形问题。随着社会生产力的发展，作用荷载、基础尺寸不断加大，基础型式复杂多变，只计算基底中心点的沉降是不够的。规范修正公式运用了简化的平均附加应力系数（按实际应力分布图面积计算）、规定了合理的沉降计算深度、提出了关键的沉降计算经验系数，还有配套的各种建筑物基础变形特征的地基变形允许值；至于三向变形分层总和法，它是单向压缩分层总和法的一个发展，考虑了侧向变形，由于没有积累出相应的沉降经验系数，实用上受到了限制，但对于大型、复杂、重要的基础，采用此法的计算成果作为宏观、定性分析的控制沉降量也是有益的。 弹性力学公式计算最终沉降量，由于是按均质线性变形半空间的假设，而实际地基的压缩层厚度总是有限的，无粘性土地基的变形模量是随深度增大的，所以计算结果往往偏大；还有一个缺点是无法考虑相邻基础的影响。但是弹性力学公式可以计算刚性基础在短暂荷载作用下的相对倾斜以及变形发展三分法中粘性图的瞬时沉降，计算时必须注意所取用的模量不是土的变形模量而是土的弹性模量。变形发展三分法计算最终沉降量，全面考虑了地基变形发展过程中由三个分量组成，将瞬时沉降、固结沉降及次压缩沉降分开来计算，然后叠加。固结沉降部分又考虑了不同应力历史生成的三类固结土，正常固结土、超固结土及次固结土，分别采用各自不同的压缩性指标和计算各自不同的固结沉降。对于正常固结土固结沉降与前面单向压缩分层总和法的总沉降，其计算结果是基本一致的，因为压缩性指标均由单向压缩固结试验的侧限条件下得到的，不过这里指标取自曲线、前面指标取自曲线。本法计算的三类固结土层各自的固结沉降，再叠加瞬时沉降和次压缩沉降后更趋于接近实际的最终沉降。本法又提出了将单向压缩条件下计算的固结沉降乘上一个修正系数得到轴对称线上的地基考虑侧向变形的修正后的固结沉降，提高了计算精度。但本法计算最终沉降量只适用于粘性土层。最后指出，不同应力历史生成的三种固结土，其变形参数即压缩性指标及固结沉降量是不同的（见§5.3）；同样应力历史对土的强度也有影响，三种固结土的强度指标（参数）也是不同的（见第6章），可见土的变形和强度的性质是紧密地联系在一起的。此外，在加荷过程中土体内某点的应力状态的变化，对土的变形和强度也是有影响的，本章§5.3和第6章将分别介绍应力路径法计算地基沉降和应力路径在强度问题中的应用。§5-3应力路径法计算地基沉降简介应力路径是指在外力作用下土中某点的应力变化过程在应力坐标图中的移动轨迹。土体中任一单元体的变形和强度变化都与应力路径有关。由于常规固结试验的侧限条件以及无法控制不排水条件，土体中的孔隙压力和有效应力强度指标必须从三轴压缩试验中得到，因此，必须通过三轴压缩试验来研究土体的应力路径问题。应力路径法是用应力轨迹表示现场在施工前、施工中以及完工后地基土中某点的应力变化情况。应力路径法能够促进和发展新的更符合地基应力状态变化的室内土工试验方法和成果分析方法。土体在外荷载作用下土中某点的初始应力状态将转变到受荷后的最终应力状态。如果是弹性体，应力应变关系符合广义虎克定律总是线性变化的，这种关系只决定于材料本身的特性，不随加荷过程中的应力变化而变化。但土是弹塑性体，受荷前、后的初始和最终应力状态尽管相同，往往由于加荷、卸荷、再加荷的过程不同，其变形和强度的性质是很不一样的。所以，研究土的性质，不仅需要知道土中某点的初始和最终应力状态，还需要知道它所受的应力变化过程，即应力路径。根据室内土工试验的土样都是圆柱体的特点，按照材料力学的轴对称二维问题来研究土中某点的应力状态。通常利用在～直角坐标上的莫尔应力圆表示土中某点的应力状态。但在应力变化过程中，莫尔圆很多，重叠复杂，难以将应力路径表达清楚。所以，必须在应力圆上找出一个特征点，例如在～直角坐标中破坏应力圆上的剪应力破坏点或最大剪应力作用点（顶点），它的移动轨迹作为应力路径。通常以破坏应力圆上的顶点作为特征点，则该点的坐标为，，因此应力路径就表示在～直角坐标中（参见§ 6.6图6-）。应力路径对土体强度的研究比较深入（见第6章），本节简介应力路径对土的变形的影响以及应力路径法计算地基沉降的概念。图（5-23a）所示两种应力路径，虚线表示三轴压缩排水试验的有效应力路径；实线ABC表示先做不排水试验，其有效应力路径为曲线AB（AB与两线的水平横坐标距离为超孔隙水压力）达到接近破坏的B点后，排水固结，此时保持q不变而p增加，应力路径为。两种应力路径，初始和最终应力状态相同，而相应的轴向应变是不同的，如图5-23（b）所示，因B点接近破坏线，必然产生较大的轴向应变，反之虚线远离破坏线，其轴向应变较小。此即应力路径对土体变形影响的概念。图5-23应力路径对变形影响的概念图5-24地基沉降过程中的应力变化图5-24所示地基土在沉降过程中的应力变化，图中A点落在K0线上，表示施工前现场地基土中某点的自重应力状态（K0为土的静止侧压力系数）。土中自重应力状态就是处在侧向有效应力与竖向有效应力的K0比例关系。当现场大面积填土施工后，地基中某点仍然是自重应力状态，因为当竖向有效应力增量为时，侧向有效应力增量为。显示图中AE的应力路径，所产生的应变只有竖向的，如同在固结仪中土样受力后没有侧向应变。当该点受到来自建筑物或土工建筑物的附加应力和作用时，大主应力增量为、小主应力增量为0（近似假定主应力方向与自重应力状态相同），则莫尔应力圆必然与K0线相割，其顶点在K0线的上方。显示图中AC的应力路径，竖向产生压缩应变，侧向产生膨胀应变。总应力路径为AC；有效应力路径为，水平线BC段为超孔隙水压力的大小，随着超孔隙水压力的消散，有效应力的增长，最后也达到C点。因此，初始沉降和固结沉降分别是路径AB和BC的函数。总沉降应为ABC有效应力路径所引起的总应变乘上土层的厚度。可见，有效应力路径是连续的。然而在单向压缩（一维固结）中，受到超孔隙水压力的大小仅为，随着超孔隙水压力的消散，有效应力增长的路径沿着K0线从A至E，不发生初始沉降，而固结沉降为路径AE的函数。如果考虑三维固结对一维固结沉降进行修正，（见5.2.3节），则初始沉降为路径AB的函数，而固结沉降为路径DE的函数。由此可见，在这种修正中，有效应力路径是不连续的。应力路径法计算地基沉降，其步骤如下：（1）在现场荷载作用下估计地基中某些有代表性土体单元（例如每一土层的中点处）的有效应力路径； （2）现场钻孔取样，在试验室内做这些单元的三轴压缩试验（见第6章），复制现场有效应力路径，并测定各阶段的竖向应变；（3）将各阶段的竖向应变乘上各土层厚度，即可求得各阶段沉降包括初始和最终沉降。五、地基沉降与时间的关系一）地基固结过程中任意时刻的沉降量1.土的固结（压密）度土的固结度是指地基土在某一压力作用下，经历时间t所产生的固结变形（沉降）量与最终固结变形（沉降）量之比，亦称固结（压密）百分数，或土层中超孔隙水压力的消散程度，即：（5-44a）或（5-44b）式中——地基在某一时刻t的固结沉降；——地基最终的固结沉降，简化取分层总和法单向压缩基本公式计算的最终沉降量；——初始孔隙水压力（应力）——t时刻的孔隙水压力（应力）土层中某点的固结度对于解决实际工程问题并不重要，为此，引入土层的平均固结度的概念是必要的。对于竖向排水情况，由于固结沉降与有效应力成正比，所以某一时刻有效应力图面积和最终有效应力图面积之比值，称为竖向排水的平均固结度：（5-45）式中——深度z处某一时刻t的超孔隙水压力；——深度z处的竖向附加应力（即t=0时刻的起始超孔隙水压力），在连续均布荷载作用下，将§4.4中的式（4-26）代入上式得：（5-46） 或上式中括号内的级数收敛很快，当U＞30%时可近似地取第一项如下：（5-47）式中m——正奇数（1、3、5…）；exp——指数函数；——竖向固结时间因数，，其中为竖向固结函数，t为时间，H为压缩土层最远的排水距离，当土层为单向（上面或下面）排水时，H取土层厚度；双面排水时，由土层中心分别向上下两方向排水，H应取土层厚度之半。图5-25平均固结度与时间因数的关系曲线为了便于应用，按公式（5-43）绘制出如图5-25所示的关系曲线（1）。对于图5-26（a）中所示的三种双面排水情况，均可利用图5-25中的曲线（1）计算，此时，只须将土层的厚度改为2H，即H取土层厚度之半。另外，对于图5-26（b）中单面排水的两种三角形分布起始孔隙水压力图，则用对应于图5-25中的关系曲线（2）和（3）计算（的表达式从略）。有了关系曲线（1）、（2）、（3），还可求得梯形分布起始孔隙水压力图的解答。对于图5-27（a）中所示双面排水情况，仍可利用图5-25中曲线（1）计算，H应取压缩土层厚度之半；对于图5-27（b）中所示单面排水情况，可运用叠加原理求解如下：设梯形分布起始孔隙水压力在排水面处和不排水面处分别为和，当＜时，可利用曲线（1）和（2）求解，按式（2-72）和式（5-41）列出某时间t的沉降量为（5-48）令（5-49） 和（5-50）则（5-51）所以（5-52）当＞时，可利用曲线（1）和（3）求解，同理得出（5-53）式（5-49）和式（5-50）中、和可根据相同的时间因数从图5-25中分别用曲线（1）、（2）、（3）求取。图5-26一维固结的三种起始孔隙水压力分布图图5-27两种孔隙水压力的梯形分布图(a)双面排水(b)单面排水(a)双面排水(b)单面排水2.地基固结过程中任意时刻的沉降量根据土的固结度的定义[式（5-41）]，可得地基固结过程中任意时刻的沉降量的计算表达式为：（5-54）式中符号意义同式（5-41）。其计算步骤如下：（1）计算地基附加应力沿深度的分布；（2）计算地基固结沉降量；（3）计算土层的竖向固结系数和时间因数；（4）求解地基固结过程中某一时刻t的沉降量。【例题5-3】某饱和粘土层的厚度为10m，在大面积荷载作用下，设该土层的初始孔隙比，压缩系数，压缩模量，渗透系数 。对粘土层在单面排水或双面排水条件下分别求（1）加荷一年时的沉降量（2）沉降量达156mm所需的时间。【解】（1）求t=1年时的沉降量粘土层中附加应力沿深度是均布的，；粘土层的最终沉降量；粘土层的竖向固结系数对于单面排水条件下：竖向固结时间因数由图5-25中的曲线（1）查得相应的固结度；则得t=1年时的沉降量在双面排水条件下（仍用曲线（1），但压缩土层厚度取半数）：时间因数；由图5-25中的曲线（1）查得固结度；t=1年时的沉降量。（2）求沉降量达150mm所需的时间平均固结度为；由图5-25中的曲线（1）查得固结度；在单向排水条件下：；在双向排水条件下：。二）利用沉降观测资料推算后期沉降量对于大多数工程问题，次固结沉降与主固结沉降相比是不重要的。因此，地基的最终沉降量通常仅取瞬时沉降量与固结沉降量之和，即，相应地，施工期T以后（t＞T）的沉降量为： （5-55a）或（5-55b）上式中的沉降量如按一维固结理论计算，其结果往往与实测成果不相符合，因为地基沉降多属于三维课题而实际情况又很复杂，因此，利用沉降观测资料推算后期沉降（包括最终沉降量），有其重要的现实意义。下面介绍常用的两种经验方法——对数曲线法（三点法）和双曲线法（二点法）。1.对数曲线法不同条件的固结度的计算公式，可用一个普遍表达式来概括：（5-56）式中A和B是两个参数，如将上式与一维固结理论的公式（5-47）比较可见在理论上参数A是个常数值，B则与时间因数中的固结系数、排水距离有关。如果A和B作为实测的沉降与时间关系曲线中的参数，则其值是待定的。图5-28沉降与时间关系实测曲线图5-29双曲线法推算后期沉降量将式（5-56）代入式（5-55b），得：（5-57）再将代入上式，并以推算的最终沉降量代替，则得：（5-58）如果和也是未知数，加上A和B，则上式包含四个未知数。从实测的早期s-t曲线（图5-28）选择荷载停止施加以后的三个时间t1、t2、和t3，其中t3应尽可能与曲线末端对应，时间差（t1-t2）和（t3-t2）必须相等且尽量大些。将所选时间分别代入上式，得： (5-59)附加条件（5-60）联解式（5-59）和式（5-60）可得：（5-61）和（5-62）将时间与、、实测值算得的B和一起代入式（5-59），即可求得的计算表达式如下：（5-63）式中参数A一般采用一维固结理论近似值，然后可按式（5-58）推算任一时刻的后期沉降量。以上各式中的时间t均由修正后零点算起，如施工期荷载等速增长，则点在加荷期的中点（图5-28）。2.双曲线法建筑物的沉降观测资料表明其沉降与时间的关系曲线，s-t曲线，接近于双曲线（施工期间除外），双曲线经验公式如下：（5-64a）（5-64b）式中——推算最终沉降量，理论上所需时间；、——经历时间和出现的沉降量，时间应从施工期一半起算（假设为一级等速加荷）；——曲线常数，待定。在式（5-64）中两组、和、为实测已知值，就可求解和如下： （5-65）和（5-66）为了消除观测资料可能有的误差，包括仪器设备的系统误差，粗心大意的人为误差以及随机误差，一般将后段的观测点和都要加以利用，然后计算各值，点在～直角坐标图上，其后段应为一直线（个别误差较大的点则剔除），如图5-29所示。从测定的直线段上任选两个代表性点、和、即可代入式（5-65）和式（5-66）确定最终沉降量和常数；此两值又代入式（5-64）确定后期任意时刻的沉降量。思考题与习题5.1在计算地基最终沉降量以及确定地基沉降量计算深度时，为什么自重应力要用有效重度进行计算？5.2有一个基础埋设在透水的可压缩性的土层上，当地下水位上下发生变化时，对地基的沉降有什么影响？当基础底面下的土层为不透水的可压缩性的土层时，地下水位上下发生变化时，对地基的沉降又有什么影响？5.3两个基础，底面的附加应力相同，面积相同；但埋置深度不同，若压缩层内土的性质相同，试问哪一个基础的沉降大？若基础的面积不同，但埋置深度相同，哪一个基础的沉降大？为什么？5.4某矩形基础的底面积为4m×2.5m，天然地面下基础埋深为1m，设计地面高出天然地面0.4m计算资料见图5-31（压缩曲线用习题4-1的）。试绘出土中的应力分布图（计算精度：重度（Kn/m3）和应力（kPa）均至一为小数），并按分层总和法单向压缩公式和规范修正公式计算基础底面中点沉降量（已知）。5.5由于建筑物传来的荷载，地基中的某一饱和粘土层产生梯形分布的竖向附加应力，该层顶面和底面的附加应力分别为和，顶底面透水（图5-32），土的平均，，，。求该土层的最终沉降量；当达到最终沉降量之半所需的时间；当达到120mm沉降所需的时间；如果该饱和粘土层下卧不透水层，则达到120mm沉降所需的时间。答案：所需时间）第六章土的抗剪强度【基本内容】土的抗剪强度——土体抵抗剪切破坏的极限能力。注意：土体受荷作用后，土中各点同时产生法向应力和剪应力，其中法向应力作用将使土体发生压密，这是有利的因素；而剪应力作用可使土体发生剪切，这是不利的因素。因此，土的强度破坏通常是指剪切破坏，所谓土的强度往往指抗剪强度。 一、库仑定律库仑（Coulomb）根据砂土的剪切试验，得到抗剪强度的表达式粘性土的抗剪强度表达式式中tf――土的抗剪强度，kPa；s――剪切面上的法向应力，kPa；j――土的内摩擦角，o；c――土的粘聚力，kPa。c和j称为土的抗剪强度指标以上两式为著名的抗剪强度定律，即库仑定律，如下图：【讨论】：土的抗剪强度不是一个定值，而是剪切面上的法向总应力s的线性函数；对于无粘性土，其抗剪强度仅仅由粒间的摩擦力（stanj）构成；对于粘性土，其抗剪强度由摩擦力（stanj）和粘聚力（c）两部分构成。二、土的抗剪强度影响因素摩擦力影响因素粘聚力影响因素 【注意】：c和j是决定土的抗剪强度的两个重要指标，对某一土体来说，c和j并不是常数，c和j的大小随试验方法、固结程度、土样的排水条件等不同而有较大的差异。三、土中某点的应力状态现以平面课题为例分析土中某点的应力状态设作用在单元体上的大、小主应力分别为s1和s3，在单元体上任取一截面mn，mn平面与大主应力s1作用面成a角，其上作用有剪应力t和法向应力s。根据楔体abc静力平衡条件可得这就是莫尔应力圆：圆心O――[1/2(s1＋s3),0]半径——1/2(s1－s3)【讨论】：土中某点的应力状态可用莫尔应力圆描述即莫尔应力圆上每一点都代表一个斜平面，该面与大主应力作用面的夹角为a。四、土的极限平衡条件把莫尔应力圆与库仑抗剪强度包线绘于同一坐标系中（如下图），按其相对位置判别某点所处的应力状态。1．应力圆Ⅰ与强度包线相离，即τ<τf，该点处于弹性平衡状态。 2．应力圆Ⅱ与强度包线在A点相切，即τ=τf，该点处于极限平衡状态；应力圆Ⅱ称为极限应力圆。此时，该点处于濒临破坏的极限状态。3．应力圆Ⅲ与强度包线相割，即τ>τf，该点处于破坏状态。实际不能绘出。莫尔-库仑破坏准则：把莫尔应力圆与库仑强度包线相切的应力状态作为土的破坏准则，即莫尔-库仑破坏准则。根据土体莫尔-库仑破坏准则，建立某点大、小主应力与抗剪强度指标间的关系。【讨论】：上两公式是等价的。上两公式即为土的极限平衡条件式。对于无粘性土，c=0，有依图可分析出：土处于极限平衡状态时，破坏面与大主应力作用面的夹角为af为：【讨论】：剪破面并不产生于最大剪应力面，而与大主应力作用面成45°+j/2的夹角。【例题先自习后讲解】【例】地基中某一单元土体上的大主应力为430kPa，小主应力为200kPa。通过试验测得土的抗剪强度指标c=15kPa，j=20o。试问①该单元土体处于何种状态？②单元土体最大剪应力出现在哪个面上，是否会沿剪应力最大的面发生剪破？【解题思路】①利用极限平衡条件式判别。比较s1f～s1，如果s1>s1f→土体破坏，如果s10，可得距墙顶深度为Z处的主动土压力强度为：（）（6—6）由上式可见，墙后填土为粘性土时，其主动土压力由土的重度和凝聚力C引起的两个部分组成，且由凝聚力引起的部分为负值，起减小主动土压力的作用。由土的重度所产生的土压力强度与深度Z成正比，故沿墙高为三角形分布。由凝聚力引起的土压力强度只与土的抗剪强度指标C、有关，对同种土，沿墙高呈矩形分布，如图6—11。将两部分压力分布图形叠加，在距墙顶深度为Z处的土压力强度为零。可由式（6—6），令=0求得，即（6—7）由（图6—11）可见，在范围内土压力为负值，即墙背面与填土间为拉应力，但实际上墙与土之间不能承受拉应力，只能起着抵消主动土压力的作用。则作用于墙背范围内的总主动土压力为：（6—8）的作用点在距墙底处，方向水平。例题【6—1】如图6— 12所示，挡土墙高10m，墙背铅直光滑，填土面水平。填土的重度,凝聚力，内摩擦力。试求主动土压力及其作用点，并绘制主动土压力分布图。【解】1。求主动土压力系数=0.492．求墙底面Z=H时主动土压力强度3．绘制主动土压力分布图4．求处距墙顶的深度：5．求总主动土压力及其作用点作用点距墙底为：四、被动土压力计算由被动土压力条件可知，被动土压力相当于半无限土体发生水平压缩达到极限平衡状态时的水平应力，即大主应力，而墙后填土的自重应力（=）则为小主应力，参看图6—6、图6—7（c）、图6—8中的圆Ⅲ及图6—13。（一）无粘性土由第五章的极限平衡关系式得：可知等于距墙顶深度为Z处的被动土压力强度，等于墙后填土的自重应力（=）。因此，对无粘性土：（）（6—9）式中：——称为被动土压力系数，。由上式可知，土压力强度与深度Z成正比，沿墙高呈三角形分布，如图6— 13。作用在墙背上的总被动土压力为：（）（6—10）作用点在距墙底处，方向水平。（一）粘性土墙后填土为粘性土时，由粘性土的极限平衡条件+，得距墙顶深度为Z处的被动土压力强度为：（6—11）由上式可知，墙后填土为粘性土时，其被动土压力由重度和凝聚力所产生的两个部分组成，叠加后呈梯形分布，如图6—14所示。作用在墙背上的总被动土压力为：（）（6—12）的作用点在压力分布图的形心处，方向为水平。 第四节库伦土压力理论一、原理与假设库伦土压力理论是根据墙后填土达到极限平衡状态时，通过墙踵产生一破裂面BC，如图6—15所示，土体ABC沿破裂面BC及墙背AB随墙的位移有向下或向上滑动的趋势，称为滑动楔体。由滑动楔体上的静力平衡条件，直接导出作用于墙背上的总土压力。当墙身向前（离开填土方向）发生位移，滑动楔体则有向下滑动的趋势，以致达到主动极限平衡状态，这时，墙背上所受的土压力为主动土压力。当墙身向后（填土方向）发生位移，滑动楔体受到挤压，则有向上滑动的趋势，以致达到被动极限平衡状态，这时滑动土体作用在墙背上的阻力即为被动土压力。在分析过程中，假设滑动面为一平面，滑动楔体处于极限平衡状态，视滑动体为刚体，墙体是刚性的，填土为无粘性土。二、主动土压力取达到主动极限平衡状态的滑动楔体ABC为脱离体，作用在脱离体上的力有[图6—16（a）：（1）滑动楔体ABC的自重W，大小为ABC面积乘单位厚度乘土的重度，方向铅直向下。（2）滑动面BC上的反力R，作用方向与BC法线方向成角，向上（为土的内摩擦角）。（3）墙背对土楔体的反力P，作用方向与墙背法线方向成角，向上（为墙背面与土体之间的摩擦角，称外摩擦角）。滑动土体ABC在上述三个力作用下处于平衡状态，P、W、R三个力构成封闭力矢三角形（图6—16（b））。按正弦定理得：(6—13)其中。角由上式可见，若假定不同的滑动面BC，即改变角，则有不同的W值，亦即P为 角的函数。由图6—16可知，当时，即BC与AB重合，W=0，P=0。又当时，R与W方向相反，P=0。故式（6—13）中P随改变，P只有一个最大值；与此最大值方向相反，大小相等，作用在墙背上的力即为所求的总主动土压力。由式（6—13）对P关于求一次导数，并令其等于零，即,求得值，再代回式（6—13）得：（）（6—14）式中：——库伦主动土压力系数，为、、、的函数，由表6—1查用。从式（6—14）可知，为墙高H的二次函数，若对关于深度Z求一次导数，即得深度Z处的土压力强度：（）（6—15）由上式可知，沿深度成三角形分布，如图6—17（b）所示。的作用点距墙底处，方向与水平面成（）角。例题【6—2】图6—18所示挡土墙高5m，填土面倾斜角，填土重度，，，外摩擦角。试求主动土压力及作用点，并绘出土压力分布图。【解】由，，，查表6—1得主动土压力系数=0.535.墙底处土压力强度。总土压力。土压力作用点距墙底，作用方向与水平面成（）角，即。土压力分布示于图6—18中。 三、被动土压力墙身受到外力作用向填土方向发生位移，使填土受到挤压作用而达到被动极限平衡状态时，滑动土楔体将沿某一滑动面及墙背面向上滑动，如图6—19（a）所示。此时滑动楔体ABC上作用的力有：（1）滑动楔体的自重W，方向竖直向下；（2）滑动面BC上的反力R，与BC法线方向成角；（3）墙背面上的反力R，与墙背法线方向成角向下。土楔体在上述三个力作用下处于平衡，其封闭力矢三角形如图6—19（b）。若假定不同的滑动面（即改变角），则有不同的值，其中最小的值为被动土压力值。原因是当填土受到挤压，必然沿着产生最小P值的滑动面滑动，此滑动面称为最危险滑动面。与求主动土压力的原理相同，由力矢三角形可得：式中。令，求得代回上式得：（6—16）式中：——称为被动土压力系数，为、、的函数。请查阅有关资料。与主动土压力相似，土压力强度沿墙高呈三角形分布，方向与墙背法线成角向上，总被动土压力作用点在距墙底H/3处。 第五节常见情况下主动土压力的近似计算1．墙后填土水平表面上有连续均布荷载时当墙后填土面作用有连续均布荷载时，则均布荷载通过土体对墙背产生附加的土压力，如图6—20所示。由于连续均布荷载的作用，在土体中任一点均增加一个竖向应力分量，则在深度为Z处的竖向应力为：（6—17）作用于距墙顶深度为Z处的主动土压力强度为：（6—18）墙顶面Z=0处主动土压力强度为：（6—19）作用在墙背上的主动土压力为梯形分布，总主动土压力为：（6—20）的作用点在梯形分布图的形心处，可由力矩原理求得，方向水平。2．墙后填土内有地下水位时当墙后填土内有地下水位时，将是水位以下土的重度减小为浮重度，抗剪强度有所降低，但对墙背施加了静水压力，总效果是使墙背所受的侧压力增大。在这种情况下，作用在墙背上的侧压力有土压力和静水压力两部分，计算土压力时，一般假设地下水位上下土的内摩擦角不变。图6—21中，地下水位以上深度内为湿重度，水位以下深度内为浮重度。地下水面处的主动土压力强度为： （6—21）墙底面处土压力强度为：（6—22）总土压力为折线压力分布图形的面积。在深度内的静水压力为：（6—23）1．墙后为成层土时当墙后为成层土时（图6—22）。各层土的重度及强度指标各不相同，应分别确定各层土作用于墙背的土压力，然后叠加而得总土压力。具体计算步骤如下：（1）计算各土层交界处的垂直压力（6—24）（2）计算各土层分界面处上、下土层的土压力强度（6—25）（6—26）式中：、——分别为第I分界面上层土的主动土压力系数及凝聚力；、——分别为第I分界面下层土的主动土压力系数及凝聚力。（3）绘出土压力分布图。（4）计算总土压力，土压力分布图的面积即为总土压力2．填土表面有局部均布荷载时当墙后填土表面上的荷载是距离墙背某一距离开始的连续均布荷载q，如图6—23所示，主动土压力可近似地按下述方法求得。 从均布荷载的起点m做一与水平线成角的直线交墙于A点，假定A点以上墙背完全不受表面荷载的影响。从m点另作一条与水平线成角度的直线交墙背于B点，并假设B点以下墙背表面完全受到连续均布荷载的影响。墙背AB段的主动土压力强度用直线连接。则墙背所受总土压力为：由土的重度及均布荷载q所产生的土压力两部分叠加，即图6—23中压力分布图形的面积。当墙后填土表面距墙背某一距离开始有局部均布荷载q作用时，如图6—24所示，主动土压力可近似地按下述方法求得。从局部均布荷载的两个端点m、n分别做与水平线成角的两条直线交墙背于B、C两点，并近似地认为墙背在BC范围内受荷载q的影响，即产生附加主动土压力，其强度为：墙背所受总土压力为：由土的重度所产生的土压力与局部均布荷载q所产生的土压力两部分叠加，即图6—24中压力分布图形的面积。1．墙背倾斜、填土表面水平时如图6—25所示挡土墙，墙背面倾斜为，可用库伦理论计算主动土压力，但在工程设计中，常用计算简便的朗肯理论，用朗肯理论计算作用在墙背上的主动土压力，其计算方法为：从墙踵B点做铅直线交填土面于点，假设为光滑面，符合朗肯理论的边界条件，则作用于面上的主动土压力为（以无粘性填土为例）：作用点在距墙踵H/3处，方向为水平。设图中A 的土重W，方向向下，作用点在H/3处，，则与W的合力即为作用在墙背上的主动土压力。1．L形墙的主动土压力计算为了保证与提高挡土墙的稳定性，工程中常采用悬臂式钢筋混凝土挡土墙，如图6—26所示，即L形墙。因为在墙底板上的填土自重压力作用下，底板与基土之间的摩擦阻力增大，很有利于墙身的稳定。对于L形挡土墙，可采用上述第五种情况计算，W要计算底板以上的填土重，之后计算W与的合力的大小与方向，其合力为挡土墙所受的主动土压力。第六节减小主动土压力的措施由朗肯土压力公式及库伦土压力公式可知，主动土压力的大小，均与填后填料的重度、内摩擦角及墙身高有关。为了减小主动土压力，可从以下几个方面进行考虑。一、墙后填料的选择由主动土压力公式可知，填料的重度越小，则主动土压力就越小。为此，应尽量选择轻质填料。如用煤渣，矿渣等作为填料，其重度比较小，可以取到良好的效果。另外选用内摩擦角大的填料，如粗砂、砾、卵石、碎石等，也能使主动土压力显著降低。二、设置排水设施当墙后填土浸水后，填土的重度虽然减小了，但增加了静水压力特别是当填料为粘性土料，因粘土有吸水膨胀和冻胀性，从而产生侧向膨胀压力，对挡土墙更为不利。为此应做好排水措施如图6—27。三、挡土墙结构设计从挡土墙的结构上考虑，可采用L形墙来增加墙身的稳定性；可以采取折线墙背以减小土压力，增加稳定性（如图6—28）。如需要更多地减小主动土压力时，可采用特殊结构型式的挡土墙。如图6—29所示的在墙背中部加做减压平台。平台以上所受主动土压力可按前述方法计算。而在平台底以下的墙背所受主动土压力，只与此段的填土重量有关，从而使土压力大为减小。因此，平台伸得远些，减压作用大些。当然平台超出滑动面就作用不大了。 复习思考题1、土压力有哪几种？影响土压力的各种因素中最主要的因素是什么？2、试阐述主动土压力、静止土压力和被动土压力的定义和产生的条件并比较三者数值的大小，说明原因和适用条件。3、比较朗肯土压力理论和库仑土压力理论的基本假定、计算方法和适用条件。4、填土中有地下水时，作用在挡土墙上的力有何变化？5、减小主动土压力的主要措施有哪些？6、为什么一般挡土墙按主动土压力设计？哪些情况的挡土墙应按静止或被动土压力设计？被动土压力在设计时为什么只能考虑一部分？7习题1、挡土墙高10m，墙背垂直，填土表面为水平。填土的，，c=0。试用朗肯公式求主动土压力大小、作用点和力的方向。2、挡土墙的高度、形状及填土情况同1题，且墙摩擦角，试用库伦公式求主动土压力的大小，并确定作用点和力的方向。3、如图1所示挡土墙，墙背直立光滑，填土面水平，填土由两层土组成，上层为无粘性土，下层为粘性土。土的性质指标于图中。试用朗肯理论求总主动土压力。4某挡土墙高10m，墙背直立光滑，填土面水平，填土的，，c=0。试分别求出静止、主动、被动土压力，并加以比较。5、一直立挡土墙，高度H=5m，填土面水平，，，c=0。试分别按朗肯理论和库伦理论（墙摩擦角），计算总的主动土压力和总的被动土压力。6、某挡土墙高H=10m，墙背垂直、光滑，墙后填土水平，填土上作用均布荷载。墙后填土上层为中砂，，，厚3m。下层为粗砂，，，地下水位在离墙顶6m位置，水下粗砂的饱和重度。计算作用在挡土墙上的总主动土压力和水压力。7 、如图2所示挡土墙，墙背垂直且光滑，墙高10m，墙后填土面水平，其上作用着连续均布的超载，填土由二层无粘性土组成，土的性质指标和地下水位见图所示，试求：（1）绘主动土压力和水压力分布图。（2）总压力（土压力和水压力之和）的大小。（3）总压力的作用点。1用朗肯公式计算如图3所示挡土墙的主动土压力和被动土压力，并绘制压力分布图第八章土坡稳定分析第一节无粘性土坡的稳定分析【基本内容】天然土坡：由于地质作用而自然形成的土坡。人工土坡：人们在修建各种工程时，在天然土体中开挖或填筑而成的土坡。滑坡：土坡丧失其原有稳定性，一部分土体相对另一部分土体滑动的现象。分析土坡稳定性的目的：验算土坡的断面是否稳定合理，或根据土坡预定高度、土的性质等已知条件，设计出合理的土坡断面。简单土坡：土坡的坡顶和底面都是水平面，并伸至无穷远，土坡由均质土组成。一、一般情况下的无粘性土土坡条件：均质的无粘性土土坡，干燥或完全浸水，土粒间无粘结力分析方法：只要位于坡面上的土单元体能够保持稳定，则整个坡面就是稳定的滑动力：T=Wsinβ垂直于坡面上的分力：N=Wcosβ最大静摩擦力：T¢=Ntanj=Wcosβtanj抗滑力与滑动力的比值称为稳定安全系数K，71K= 当β=j时，K=1，土坡处于极限平衡状态。砂土的内摩擦角也称为自然休止角。当β＜φ，即K＞1，土坡就是稳定的。可取K=1.1~1.5。【讨论】无粘性土土坡的稳定性与坡高无关，仅取决于坡角β。二、有渗流作用时的无粘性土土坡分析方法：若渗流为顺坡出流，则渗流方向与坡面平行，此时使土体下滑的剪切力为稳定安全系数为对单位土体，土体自重W=g¢，渗透力J=gwi，水力坡降i=sinb，于是【讨论】当坡面有顺坡渗流作用时，无粘性土土坡的稳定安全系数将近乎降低一半。【例题先自习后讲解】【例8-1】有一均质无粘性土土坡，其饱和重度gsat=20.0kN/m3,内摩擦角j=30°,若要求该土坡的稳定安全系数为1.20，试问在干坡或完全浸水情况下以及坡面有顺坡渗流时其坡角应为多少度？【讨论】有渗流作用的土坡稳定比无渗流作用的土坡稳定，坡角要小得多。第二节粘性土土坡的稳定分析【基本内容】一、瑞典圆弧法条件与假定：均质粘性土土坡，假定滑动面为圆柱面，截面为圆弧，将滑动面以上土体看作刚体，并以它为脱离体，分析在极限平衡条件下其上各种作用力。安全系数Fs定义为滑动面上的最大抗滑力矩与滑动力矩之比，则式中：Mf――滑动面上的最大抗滑力矩；M――滑动力矩；――滑狐长度；d――土体重 心离滑狐圆心的水平距离。对于饱和粘土来说，在不排水剪条件下，ju等于零，τf就等于cu。上式可写成这时，滑动面上的抗剪强度为常数，利用式（8-3）可直接进行安全系数计算。这种稳定分析方法通常称为ju等于零分析法。上述方法首先由瑞典彼得森（Petterson）1915年首先提出，故称瑞典圆弧法。最危险滑动面圆心的经验计算方法：对于均质粘性土土坡，其最危险滑动面通过坡脚；当j等于零时，其圆心位置可由图中AO与BO两线的交点确定，图中b1及b2的值可根据坡脚b由表查出；当j大于零时，其圆心位置可能在图中EO的延长线上，自O点向外取圆心O1、O2……，分别作滑狐，并求出相应的抗滑安全系数Fs1、Fs2……，然后找出最小值Fsmin。(a)j=0(b)j>0对于非均质土坡，或坡面形状及荷载情况都比较复杂，尚需自Om作OE线的垂直线，在其上再取若干点作为圆心进行计算比较，找出最危险滑动面圆心和土坡稳定安全系数。二、条分法适用范围：外形比较复杂，j>0的粘性土土坡，特别是土由多层土组成。条分法：将滑动土体分为若干垂直土条，求各土条对滑弧圆心的抗滑力矩和滑动力矩，然后求该土坡的稳定安全系数。具体计算步骤如下：1．按比例绘出土坡剖面[图(a)]； (a)土坡剖面(b)作用在i土条上的力2．任选一圆心O，以为半径作圆弧，AC为滑动面，将滑动面以上土体分成几个等宽（不等宽亦可）土条；3．计算每个土条的力（以第i土条为例进行分析）；第i条上作用力有（纵向取1m）:自重Wi；法向反力Ni和剪切力TI；土条侧面ac和bd上的法向力Pi、Pi+1和剪力Xi、Xi+1。为简化计算，设Pi、Xi的合力与Pi+1、Xi+1的合力相平衡。根据土条静力平衡条件列出滑动面上应力分别为4．滑动面AB上的总滑动力矩（对滑动圆心）为5．滑动面AB上的总抗滑力矩（对滑动圆心）为：6．确定安全系数K。总抗滑力矩与总滑动力矩的比值称为稳定安全系数K注意：地下水位以下用有效重度；土的粘聚力c和内摩擦角j应按滑弧所通过的土层采取不同的指标。【例题先自习后讲解】 【例8-2】某土坡如图8-8所示。已知土坡高度H=6m，坡角b=55°，土的重度g=18.6kN/m3，内摩擦角j=12°，粘聚力c=16.7kPa。试用条分法验算土坡的稳定安全系数。【解题思路】①按比例绘出土坡，选择滑弧圆心，作出相应的滑动圆弧。②将滑动土体分成若干土条（本例题将该滑弧分成7个土条）并对土条编号；③量出各土条中心高度hi、宽度bi，并列表计算sinbi、cosbi以及土条重Wi等值，计算该圆心和半径下的安全系数④对圆心O选不同半径，得到O对应的最小安全系数；⑤在可能滑动范围内，选取其它圆心O1，O2，O3，…，重复上列计算，从而求出最小的安全系数，即为该土坡的稳定安全系数。三、泰勒图表法影响土坡的稳定性指标稳定数：将三个参数c、g和H合并为一个新的无量纲参数Ns，称为稳定数。式中：Hcr――土坡的临界高度或极限高度。按不同的j绘出b与Ns的关系曲线。采用泰勒图表法可以解决简单土坡稳定分析中的下述问题：1．已知坡角b及土的性质指标c、j、g，求稳定的坡高H；2．已知坡高H及土的性质指标c、j、g，求稳定的坡角b；3．已知坡角b、坡高H及土的性质指标c、j、g，求稳定安全系数K。土坡稳定安全系数K的表达形式如下：泰勒图表法应用范围：均质的、坡高在10m以内的土坡，也可用于较复杂情况的初步估算。【例题先自习后讲解】【例8-3】一简单土坡的j=15°,c=12.0kPa,g=17.8kN/m3，若坡高为5m,试确定安全系数为1.2时的稳定坡角。若坡角为60°，试确定安全系数为1.5时的最大坡高。【解题思路】①求稳定坡角时的临界高度Hcr，稳定数Ns，由j，Ns查得稳定坡角b。75②由b，j查得泰勒稳定数Ns③相应与稳定安全系数为1.5时的最大坡高Hmax 第三节土坡稳定性分析中的一些问题＊【基本内容】一、挖方边坡与天然边坡人工挖出和天然存在的土坡是在天然地层中形成的。天然地层的土质与构造都比较复杂，与人工填筑土坡相比，性质上有其独特之处。对于正常固结及超固结粘土土坡，按上述的稳定分析方法，对它们求得的安全系数，比较符合实测结果。对于超固结裂隙粘土土坡，采用与上述相同的强度试验方法与稳定分析方法，会得出不正确的结果，即算出的安全系数大大超过1.0，而实际上土体已经破坏。二、关于圆弧滑动条分法的讨论费伦纽斯条分法假定土坡稳定问题是个平面问题，滑裂面是个圆柱面，计算中不考虑土条之间的作用力，土坡稳定的安全系数是用滑裂面上全部抗滑力矩与滑动力矩之比来定义的。毕肖普（Bishop）考虑了分条间的水平推力，目前在工程中应用较广泛，可参阅有关书籍。对于某些特殊条件下的非均质土，例边坡中存在明显的软弱夹层、或裂隙比较发育的岩土体，其滑动面将与圆柱面相差甚远，圆弧滑动条分法不再适用。要考虑非圆弧法进行计算。三、土的抗剪强度指标值的选用对任一种给定的土来说，强度指标变化幅度之大远超过不同静力计算方法之间的差别。应尽可能结合边坡的实际加荷情况，填料的性质和排水条件等，合理的选用土的抗剪强度指标。重要的工程应采用有效强度指标进行核算。对于控制土坡稳定的各个时期，应分别采用不同试验方法的强度指标。在设计土坡时，如附近有已经滑动的土坡，可用反分析法确定土的抗剪强度。四、安全系数的选用一般来说，工程等级愈高，所需要的安全系数愈大。目前，对于土坡稳定的安全系数，各个部门有不同的规定。同一边坡稳定分析，选用不同的试验方法、不同的稳定分析方法，会得到不同的安全系数。五、查表法确定土质边坡的坡度边坡的坡度允许值，应根据当地经验，参照同类土层的稳定坡度进行确定，一些规范和手册根据大量设计和运行经验规定了土坡坡度的允许值，可通过查表法确定土质边坡的坡76度。【提问答疑】【本次课小结】1．无粘性土土坡的稳定性与坡高无关，仅取决于坡角β；2．当坡面有顺坡渗流作用时，无粘性土土坡的稳定安全系数将近乎降低一半。3．瑞典圆弧法和泰勒图表法计算相对简单，用于分析均质粘性土土坡，亦可用于较复杂情况的初步估算；4．条分法用于分析外形比较复杂的粘性土土坡，特别是多层土土坡，计算工作量大，一般由计算机完成。【复习思考】1．对无粘性土，有渗流作用的土坡稳定与无渗流作用的土坡稳定相比有何变化？ 2．砂性土土坡的稳定性只要坡角不超过其内摩擦角，坡高H可不受限制，而粘性土土坡的稳定性还同坡高有关，试分析其原因；3．粘性土土坡稳定分析有哪些方法？各种分析方法的适用条件是什么？4．土坡稳定分析圆弧法的最危险滑弧如何确定？【课外作业】工程软件计算分析实例演示※工程软件计算分析边坡稳定实例演示【提问答疑】第九章地基承载力第一节概述【基本内容】进行地基基础设计时，地基必须满足持力层剪切破坏的形式 地基发生整体剪切破坏的过程和特征可从静载荷试验的P～S曲线分析得出。P～S曲线中：oa段——线性变形阶段，a点对应荷载——Pcr，地基处在弹性平衡状态；ab段——弹塑性变形阶段，b点对应荷载——Pu，基础边沿首先达到极限平衡状态，随着基底压力P的增大，塑性区（剪切破坏区）的范围逐渐扩大；当P达到Pu时，地基土塑性区连成一片，基础急速下沉，侧边地基土向上隆起。bc段——整体剪切破坏阶段确定地基承载力的方法第二节按极限平衡区发展范围确定地基承载力一、极限平衡区的发展按塑性区开展深度确定地基容许承载力的方法就是将地基中的剪切破坏区限制在某一范围时，视地基土能承受多大的基底压力，该压力即为要求的容许承载力。理论基础 上图为一条形基础承受中心荷载，基底压力为p。按弹性理论可以导出地基内任一点M处的大小主应力的计算公式为＝假设原有自重应力sz＝sx＝gz。地基中M点除上述由荷载产生的地基附加应力外，还收到自重应力g（d＋z）的作用。则＝当M点处在极限平衡状态时，求得其塑性区最大开展深度二、临塑荷载及其确定方法当zmax＝0时，表示地基中即将出现塑性区，相应的荷载即为临塑荷载Pcr,即【讨论】以临塑荷载Pcr作为地基承载力的保守性。——除软弱地基外，一般地基即使让极限平衡区发展到某一深度，也并不影响建筑物的安全和正常使用。因此，对于中心荷载作用下的基础，取塑性区的最大开展深度zmax等于基础宽度b的1/4时所对应的荷载P1/4（即界限荷载）作为地基承载力。令zmax＝b，并将埋深范围内的土的重度的加权平均值用g0表示。可得：【讨论】上述公式是针对条形基础推导出来的，对于矩形和圆形基础其结果偏于安全。【例题4－1】套公式即可解答第三节按极限荷载确定地基极限承载力一、普朗德尔公式普朗德尔根据塑性理论，在研究刚性物体压入均匀、各向同性、较软的无重量介质时，导出了当介质达到破坏时的滑动面形状及其相应的极限承载力公式： 其中【讨论】上式是条形基础普朗德尔极限承载力理论解，滑动面较符合实际，但因不考虑基础底面以下土的自重（g＝0），故而是不合理的。二、太沙基公式【适用范围】太沙基公式是世界各国常用的极限荷载计算公式，适用于基底粗糙的条形基础；并推广应用于方形基础与圆形基础。太沙基假定地基中滑动面的形状如图所示。滑动土体共分三区：Ⅰ区——弹性核。Ⅱ区——过渡区。滑动面按对数螺旋线变化。Ⅲ区——朗肯被动区，即处于被动极限平衡状态。太沙基公式不考虑基底以上基础两侧土体抗剪强度的影响，以均布超载q＝g0d来代替埋置深度内的土体自重。根据弹性核的静力平衡条件，可求得太沙基极限承载力，各项系数可依公式计算或查图表确定。上式适用于条形基础整体剪切破坏的情况，对于局部剪切破坏，太沙基建议将c和tanj值均降低1/3。此外对于方形基础、圆形基础、软基太沙基另有建议公式。地基承载力：【例题先自习后讲解】【例4－1】某办公楼采用转混结构条形基础。设计基础底宽b＝1.50m，基础埋深d＝1.40m。地基为粉土，天然重度g＝18.0kN/m3,内摩擦角j＝300，粘聚力c＝10kPa。地下水位深7.8m。计算此地基的极限荷载和地基承载力。【解题思路】①地基的极限荷载——应用太沙基条形基础极限荷载公式Pu＝1060.1kPa。②地基承载力——采用安全系数K＝3.0f＝353.4kPa。三、汉森公式1．适用条件 2．极限荷载公式Ng，Nc，Nq——承载力系数，根据地基土的内摩擦角j值查表确定；Sg，Sc，Sq——基础形状系数，根据有关公式计算确定；dc，dq——基础埋深系数，根据有关公式计算确定；ig，ic，iq——倾斜系数，与作用荷载倾斜角d有关，根据d与j查表确定。当基础中心受压时，ig＝ic＝iq＝1。【例题先自习后讲解】【例4－2】某工程设计采用天然地基，浅埋矩形基础。基础底面尺寸：l＝3.00m，宽度b＝1.50m，基础埋深d＝1.20m。地基为粉质粘土，土的天然重度g＝18.5kN/m3,内摩擦角j＝300，粘聚力c＝8kPa。地下水位深8.9m。荷载倾斜角（1）d0＝5042/；（2）d0＝16042/。计算地基极限荷载。【解】荷载倾斜角（1）d0＝5042/情况：Puv＝945kPa；荷载倾斜角（2）d0＝16042/情况：Puv＝550kPa；【讨论】：由【例4－1】和【例4－2】可知，基础尺寸、埋深与地基土性质相似，荷载倾斜角d0不大，地基极限荷载与无倾斜荷载时相差不大。但当荷载倾斜角d0由d0＝5042/变为d0＝16042/时，地基极限荷载降低为58％，不可忽视。【工程应用】①安全系数——应用汉森公式设计时，地基强度安全系数K≥2.0②应用效果——汉森公式在西欧应用很广。我国上海、天津等地区用汉森公式进行工程校核，其结果较满意。【总结】影响极限荷载的因素【提问答疑】【本次课小结】1．临塑荷载及其确定方法2．各理论公式的适用情况3．影响极限荷载和地基承载力的因素【复习思考】1．什么是临塑荷载？什么是极限荷载？2．如何确定P1/4？【课后作业】第四节按原位测试成果确定地基承载力【基本内容】按载荷试验和静力触探试验确定地基承载力的优点—— 避免了钻探取样以及由此引起的对土样扰动的影响。一、载荷试验法现场载荷试验——在建造建筑物的场地上先挖一试坑，再在试坑的底板放一荷载板，并在其上安装加荷及量测设备等。然后逐级加荷并测读相应的沉降量，绘出P～S曲线。最后从P～S曲线中得到极限荷载Pu。根据《建筑地基基础设计规范》的规定，通过荷载试验得出P～S曲线后，可按下述方法确定地基承载力基本值：①当P～S曲线有明确的比例界限时，取该比例极限所对应的荷载值P0作为地基承载力特征值fak；②当极限荷载能Pu小于对应比例界限荷载P0值的2倍时，取极限荷载值Pu的一半作为地基承载力fak；③不能按上述两点确定时，可按限制沉降量取值。当承压板面积为0.25～0.50m2，可采用[S]＝0.01b～0.015b所对应的荷载值作为地基承载力特征值fak，但其值不应大于最大加载量的一半。规范规定，同一土层参加统计的试验点不应少于三点，基本值的极差（最大值与最小值之间的差值）不得超过平均值的30％，当符合以上规定时取其平均值作为该土层地基承载力特征值fak。二、静力触探试验法——就是用静压力将装有探头的触探器压入土中，通过压力传感器及电阻应变仪测出土层对探头的贯入阻力。探头贯入阻力的大小直接反映了土的强度的大小，因而通常把贯入阻力与荷载试验所得到的地基容许承载力建立相应的关系，从而即可按照实测的贯入阻力确定地基的容许承载力值。三、标准贯入试验法标准贯入试验的主要设备为标准贯入器。它是由外径为51mm、内径为35mm的对口取土管组成的。试验时，先行钻孔，再把上端接有钻杆的标准贯入器放至孔底，然后用质量为63.5kg的锤，以76cm的高度自由下落将贯入器先击入土中15cm，然后测记续打30cm的锤击数N、，该击数N、称为标准贯入击数。第五节按地基规范确定地基承载力建筑地基基础设计规范（GB5007－2002）一、按载荷试验等原位试验确定地基承载力式中fa——修正后的地基承载力特征值，kPa；fak——地基承载力特征值；hb、hd——基础宽度和埋深的地基承载力修正系数，按基底下土的类别查表；g——基础底面以下土的重度，kN/m3，地下水位以下取有效重度；b——基础底面宽度，m，当宽度小于3m按3m计，大于6m按6m计；g0——基础底面以上土的加权平均重度，kN/m3，地下水位以下取有效重度；d——基础埋置深度，m。 【讨论】基础埋置深度d一般自室外地面标高算起。在填方整平地区，可自填土地面标高算起，但填土在上部结构施工后完成时，应从天然地面标高算起。对于地下室，如采用箱形基础或筏基时，基础埋置深度自室外地面标高算起；当采用独立基础或条形基础时，应从室内地下室地面标高算起。二、按地基土体强度指标计算1．计算指标的确定根据土的抗剪强度指标计算地基承载力特征值采用的是抗剪强度指标的标准值。采用的内摩擦角标准值jk、粘聚力标准值ck，可按下列规定计算：（1）根据室内n组三轴压缩试验的结果，按下式公式计算某一土性指标的变异系数、试验平均值和标准值：83式中d——变异系数m——试验平均值s——标准差（2）按下列公式计算内摩擦角和粘聚力的统计修正系数cj、cc：cj＝cc＝式中cj——内摩擦角的统计修正系数；cc——粘聚力的统计修正系数；dj——内摩擦角的变异系数；dc——粘聚力的变异系数。（3）内摩擦角标准值jk＝cjjm式中jm——内摩擦角的试验平均值。粘聚力标准值ck＝cccm2．计算公式及应用条件当荷载偏心距e小于或等于0.033倍基础底面宽度（即e≤0.033b，b是弯距作用平面内的基础底面尺寸）时，根据由试验和统计得到的土的抗剪强度指标标准值，可按下列计算地基承载力特征值 式中fa——由土的抗剪强度指标确定的地基承载力特征值，kPa；Mb、Md、Mc、——承载力系数，按表7－9确定；b——基础底面宽度，m，b>6m时按6m计，对于砂土b<3m按3m计；关于上述公式的几点说明：（1）该公式仅适用于e≤0.033b的情况，这是因为用该公式确定承载力相应的理论模式是基底压力呈均匀分布。（2）该公式中的承载力系数Mb、Md、Mc是以界限塑性荷载P1/4理论公式中的相应系数为基础确定的。考虑到内摩擦角大时理论值Mb偏小的实际情况，所以对一部分系数按试验结果作了调整。（3）按该公式确定地基承载力时，只保证地基强度有足够的安全度，未能保证满足变形要求，故还应进行地基变形验算。【补充例题】某粉质粘土的试验数据如下表所示，g0＝15kN/m3，g＝17kN/m3，基底尺寸2.6×1.6m，d＝2.5m，计算其地基承载力。测试项目数据样本数（n）平均值内摩擦角j200，220，250，190，260，210622.20粘聚力c（kPa）3，5，2，6，10，4651．计算内摩擦角标准值：jk⑴计算标准差84dj＝＝2.448⑵计算变异系数：⑶计算修正系数：cj＝⑷计算标准值：jk＝cjjm＝0.91×22.202．计算粘聚力标准值ck⑴计算标准差：d＝2.828⑵计算变异系数：dc＝＝⑶计算修正系数：cj＝＝0.91⑷计算标准值：ck＝cccm＝0.533×5＝2.665kPa3．计算承载力。依jk＝20.20查表得：Mb＝0.51，Md＝3.06，Mc＝5.66所以：＝0.51×17×1.6＋3.06×15×2.5＋5.66×2.665＝143.7kPa 【提问答疑】【本次课小结】1．原位试验原理、重视各系数的计算及查表2．如何利用规范法计算地基承载力【复习思考】1．原位试验有何优点？2．试分别就理论方法和规范方法分析研究影响地基承载力的因素有哪些？其影响结果分别怎样？【课后作业】