结构力学课件

StructureMechanics(讲义)执教:陈新元第一章：绪论1.1.概述1.1.1.结构力学（以下简称结力）的研究对象及任务一.结力的研究对象1.研究对象:结力以杆件结构为主要研就对象,根据力学原理研究在外力和其他外界因素用下结构的内力和变形,结构的强度.刚度.稳定性和动力反应,以及结构的组成规律;2.研究目的:(1).进行强度和稳定性计算的目的:在于保证结构滿足安全和经济要求;(2).进行刚度验算的目的:在于保证结构的实际位移在容许的范围内;(3).进行的结构的组成规律的研究目的:在于保证结构保持几何不变状态;(4).进行的结构的合理形式的研究目的:在于有效地节约材料.使其性能充分地发挥作用. 二.名词与术语1.结构:建筑物中支承荷载且起骨架作用的工程部件.例如:房屋建筑物中的屋架.梁.板.柱.基础…;交通工程中的桥梁.隧道.车辆.船舶.飞机…;水力发电工程中的拦水大坝.船闸.码头等.可见范围是非常广泛的.2.结构力学:研究由杆件组成的杆系结构的计算理论.亦称:结构理论.3.计算简图:用一个经简化了的理想模型来代实际结构的简图.1.1.2.预备知识一.结构力学的计算模型(一).结构体系的简化1.杆件的简化:(1).杆件:杆件用其轴线进行简化,(2).连接区:杆件的连接区用〝结点(或节点)〞表示,可分为铰结点和刚结 (3).杆長:用结点间的距离表示;(4).荷载作用点:转移到杆件的轴线上.2.结构与基础间连接的简化(1).滚轴支座:被支承的部分可平移和转动,不能竖向移动;(2).固定铰支座:被被支承的部分仅可转动,不能有任何方向的线位移;(3).可动铰支座:被支承的部分仅可一个方向(x方向)的线位移;(4).固定支座:被支承的部分在任何方向均不能有位移(无论是线位移还是角位移);(二).平面杆系结构的分类1.依空间观点分:(1).空间结构(三维):如空间薄壳结构.空间网架结构等;(2).平面结构(二维):即组成结构的所有杆件的轴线及荷侢的作用线共面. 2.依几何观点分:(1).杆系结构:指由长度远大于其横截面尺度的杆件所组成;(2).薄壁结构:指其厚度远小于其他两个尺度的结构,如:平面板;曲面薄壁等;(3)褶板结构:指由若干块薄板所囲成的空间体系;(4).实体结构:指在三个方向的尺度均同为同一数量级的结构,如挡土墙等.3.平面杆系结构的类型(1).梁:其中轴线为直线者称为直梁;轴线为曲线者称曲梁;(2).刚架:指甴梁和柱整体联结成具有刚性节点的结构;(3).拱:其轴线为曲线,在竖向力作用下,除有竖向反力外还存在有水平反力.且拱横截面上的内力一般有:N.Q.M;但是拱通常以承受压力为主. (4).桁架:指由杆件并通过铰联结而成的结构,其特点:(a).荷载均作用在节点上;(b).直杆仅承受轴力作用.(5).组合结构:指由轴力杆和受弯杆件组合而成的结构;4.依计算方法的特点分(1).静定结构:指所有的未知力(反力.内力)均可由独立的静力平衡方程求解的结构;(2).超静定结构:指所有的未知力(反力.内力)不可由独立的静力平衡方程求解的结构;二.荷载的分类1.根据荷载的作用時间的长短分(1).恒载:长期作用于结构上的不变荷载,如自重等;载.(2).活载:荷载的作用随時间而改变,如雪荷载.吊车荷载.人群荷载等; 2.根据荷载的作用位置分(2).固定荷载:荷载的作用点位置不变,如楼面板自重.梁.柱自重等;(3).移动荷载:荷载的作用点位置变化,如汽车轮对桥面的压力.吊车梁受到的吊车轮的压力等.3.根据荷载的分布情况分(1).集中荷载:指荷载分布面积远小于结构的尺寸的荷载,有集中力和集中力偶两种;(2).分布荷载:有线性分布.△分布.或梯形分布之分.4.根据荷载的作用性质分(1).静荷载:指a≈0的荷载;(2).动荷载:指a≠0的荷载;如跳水板所受到的跳水运动员的压力等. 1.2:学习结构力学的三必须一.必须听课且要记好笔记;二.必须做作业;三.必须联系工程实际;第二章.结构的几何构造分析(几何组成分析.机动分析)2.1.概述2.1.1.名词与术语一.几何不变体系:指在任意力系作用下,不计弹性变形,能保持固定的几何形状而不发生相对运动的体系;二.几何可变体系:指在任意力系作用下,不计弹性变形,不能保持固定的几何形状而不发生相对运动的体系; 三.自由度(n)1.定义:指体系运动時,可以独立变化的参数;2.结论:(a).欲确定空间上的一个点的位置,须用三个独立的参数;(b).欲确定平面上的一个的位置点,须用二个独立的参数;(c).欲确定平面上一个物体的位置,须用三个独立的参数;(d).欲确定平面上k个物体的位置,须用3k个独立的参数;四.联系1.定义:为了减少自由度(N),在物体间加入的某些約束性的装置,称这些装置为联系2.类型:(1).链杆联系(約束):(a).N＝2;(b).结论.一个链杆联系(約束)可减少一个自由度;(2).铰链约束:(a).N＝1;(b).结论.一个铰链杆联系(約束)可减少二个自由度,且与两个链杆联系(約束)对物体的作用完全相同; (3).单.复铰:(a).单铰:指用一个铰链连接两个物体,单铰可减少二个自由度;(b).复铰:ⅰ定义:指用一个铰链连接三个及其以上物体.ⅱ;如果用一个铰链连接三个及其以上物体(即k≥3)時,则k个物体共有3k个自由度;联接前:∵毎一个物体有三个自由度(Ni=3),而后面的物体只有一个自由度.联接后:第一个物体有三个自由度(N1=3),∴总的自由度为:…Nz＝N1+(k－1)＝3+(k－1)＝k+2…………(2.1)故自由度的减少量为:Nj＝3k－(k+2)＝2(k－1)…………(2.2)又∵一个单铰可减少二个自由度,∴从(2.1)式知:从减少自由度的作用上看,－个复铰相当于(k－1)个单铰(单铰数用h表示). 2.1.2.自由度N的计算公式一.公式设k为研究对象内的物体个数,单铰数为h,Co为链杆数,∵一个单铰可减少二个自由度,一个链杆联系(約束)可减少一个自由度,所以,自由度N的计算公式如下:N＝3k－2h－Co…………………………………(2.3)二.注意事项(1).如果研究对象内有复铰时,则应用一个复铰等于(k－1)个单铰折算计入;(2).如果研究对象是桁架(铰接体系),(2.3)式仍可适用,But式中的(3k＝2y)应为节点数;(2h＝C)为杆件数,Co为支座链杆数,所以(2.3)式可改写成:N＝2y－C－Co…………………………………(2.4)三.应用举例Eg.2.1.试计算下图示结构的自由度(N):(见板书)Eg.2.2.试计算下图示结构的自由度(N):(见板书)Eg.2.3.试计算下图示结构的自由度(N):(见板书)Eg.2.4.试计算下图示结构的自由度(N):(见板书) 2.2.几何不变体系的组成规律2.2.1.必要条件(N≤0)一.条件(一).N＞0:表示所研究对象缺少足够的联系(約束),因此所研究对象为几何可变体系;(二).N＝0:表示所研究对象具有成为几何不变体系所需要的最少约束数目;(三).N＜0:表示所研究对象具有多余约束(增加一个约束,对体系的自由度无影响),∴知:N≤0是研究对象成为几何不变体系的必要条件.二.应用举例Eg.2.5.试对下图示结构进行几何不变体系的必要条件分析(见板书)Eg.2.6.试对下图示结构进行几何不变体系的必要条件分析(见板书)Eg.2.7.试对下图示结构进行几何不变体系的必要条件分析(见板书) 结语:N＝0的结果仅表明结构具备几何不变体系的必要条件,But并不意味结构肯定是几何不变体系.例如在Eg.2.7.中的(b)就是一个几何可变体系.2.2.2.充分条件一.规则一:(三刚片规则)1.规则:三个物体(三刚片)用三个鉸连接而成的△体系是几何不变体系,且无多余约束;2.推论(1):在一个己知的几何不变体系上加上不在一直线上的二根杆件,其间用铰链连接后,该体系亦成为几何不变体系,并且无多余约束;工程中的桁架.屋架等均采用此种几何不变体系,就是这个道理.3.规则二:(二刚片规则)二个刚片(平面内)用三根不相交于一点的链杆相连结,则组成为几何不变体系,并且无多余约束; 证:(图见板书)(1):当Ⅰ.Ⅱ仅用A.B.C铰连接時,Ⅰ仅能绕A点发生转动;(2):But当在d点加上连杆d.e時(不通过A点),则d.e的任何微小位移必⊥于d.e,从而限制了Ⅰ绕A点的转动,故Ⅰ.Ⅱ组成了一个几何不变体系.4.推论(2):二个构件用三根彼此∥或直接相交于一点的链杆相连结,为几何可变体系,且此种可变(运动)呈连续发生,∴工程中称之为:〝常变体系〞.如下图所示:(见板书)5.推论(3):三个构件用三个铰连接,当三个铰的中心共线时,该体系是:〝瞬变体系〞,属危害性很大的一种体系.证明:(见板书)结论:瞬变体系可导致结构内产生很大的内力,∴这种瞬变体系的结构在工程中是绝对不能采用的.6.推论(4):在一个己知的几何不变体系上再加上一些联系,对这些另再加上的联系,称之为:多余联系(约束). 7.应用举例Eg.2.8.试对下图示结构进行几何构造分析(见板书)Eg.2.9.试对下图示结构进行几何构造分析(见板书)2.3.几何不变体系的组成规律的应用Eg.2.10.试对下图示结构进行几何不变体系的组成规律分析(见板书)Eg.2.11.试对下图示结构进行几何不变体系的组成规律分析(见板书)Eg.2.12.试对下图示结构进行几何不变体系的组成规律分析(见板书)Eg.2.13.试对下图示结构进行几何不变体系的组成规律分析(见板书)Eg.2.14.试对下图示结构进行几何不变体系的组成规律分析(见板书)Eg.2.15.试对下图示结构进行几何不变体系的组成规律分析(见板书) 第三章.静定梁与静定刚架3.1.静定梁內力图的絵制3.1.1.q(x).Q(x).M(x)之间微积分关系一.微积分关系Q(x)2＝Q(x)1＋∫q(x)dx;M(x)2＝M(x)1＋∫Q(x)dx…(3.1)二.几何上的意义1.当梁段上q(x)=0:剪力图为一条∥于X轴的水平线;弯矩图为一条斜直线;2.当梁段上q(x)＜0:剪力图为一条自左向右斜向下方的直线(↘);弯矩图为一条凹向上方的一条二次曲线;且｜Mmax︱发生在Q(x)＝0处3.当梁段上q(x)＞0:剪力图为一条自左向右斜向上方的直线(↗);弯矩图为一条凹向下方的一条二次曲线;且｜Mmax︱发生在Q(x)＝0处;4.在集中力P作用处:剪力图发生｜P︱的突变值,弯矩图在集中力P作用处发生转折;5.在集中力偶m作用处:剪力图无影响,弯矩图发生｜m︱的突变值 6.符号与坐标:剪力图:向上为正,向下为负;坐标从左向右;弯矩图:向下为正,向上为负;坐标从左向右;3.1.2.q(x).Q(x).M(x)之间微积分关系的具体应用Eg.3.1.试对下图示结构进行內力图的绘制(见板书)Eg.3.2.试对下图示结构进行內力图的绘制(见板书)Eg.3.3试对下图示结构进行內力图的绘制(见板书)Eg.3.4.试对下图示结构进行內力图的绘制(见板书)Eg.3.5.试对下图示结构进行內力图的绘制(见板书)Eg.3.6.试对下图示结构进行內力图的绘制(见板书) 3.2.多跨静定梁3.2.1.概述多跨静定梁是由〝基本部分〞＋〝附加部分〞所组成.其中,基本部分必须是几何不变体系.而附加部分必须依靠基本部分才能保持其几何不变性.3.2.2.多跨静定梁的计算Eg.3.7.试对下图示结构进行內力图的绘制(见板书)Eg.3.8.试对下图示结构进行內力图的绘制(见板书)3.3.静定平面刚架3.3.1.概述一.刚架的特点:是由杆件组成的且有刚性结点的结构;二.刚架的节点:汇交于节点上诸杆之间的夹角在结构变形前后保持不变,且可承受和传递弯矩; 三.刚架的类型:(见板书)3.3.2.刚架的内力计算一.规定1.弯矩:一律绘在杆件的受拉一侧;2.剪力:相对于所在截面而言,顺時针转者为正,逆時针转者为负;3.轴力:拉正.压负.二.应用示例Eg.3.9.试对下图示结构进行內力图的绘制(见板书)Eg.3.10.试对下图示结构进行內力图的绘制(见板书)Eg.3.11.试对下图示结构进行內力图的绘制(见板书)Eg.3.12.试对下图示结构进行內力图的绘制(见板书)3.4.三铰拱3.4.1.三铰拱的用途 一.拱式结构是一种重要的结构形式,除广泛应用于桥梁,水工建筑外,在房屋建筑中也常常采用,它与刚架.桁架一样,是为了代替梁跨越更大的空间而产生的一种结构.在展览馆.体育绾.飞机庫等跨度较大的建筑中采用.二.工程实例(见板书)3.4.2.三铰拱的算法因为简支梁的内力计算我们巳非常熟悉,∴三铰拱的算法是将其与相应的简支梁的内力计算公式在形式上统一起来,于是三铰拱的内力计算就可转化为与相应的简支梁的内力计算,从而使问题得以简化处理.3.4.3.名词术语.拱的分类一.拱式结构(推力结构):指杆轴线为曲线,而且在竖向苛载作用下,除有竖向反力外还存在有水平反力.且拱横截面上的内力一般有:N.Q.M;但是拱通常以承受压力为主. 二.模型(见板书)图中:f为矢高,亦称为拱矢:f／h=1～1／109(矢跨比).※与梁的区别:有无水平推力:有者为拱;无者为梁;三.分类:1无铰拱(属超静定结构);2.两铰拱(属超静定结构);3.三铰拱(属静定结构,其內力不受温度和支座位移的影响.∴在工程中得以广泛的应用);四.三铰拱的常见型式(见板书)3.4.4.三铰拱的内力计算一.支座反力的计算如果从整体上看,三铰拱共有四个反力,∴求解时需要四个方程方能求解,实际求解時,要利用物系平衡的原理和方法进行分析和求解.1.模型:(见板书)2.列写平衡方程: (1).整体平衡:∑Mb=0;∑Ma=0;∑X=0(2).取AC为对象:∑Mc=0二.内力计算(规定:上图中的φk在左半拱为正,右半拱为负)1.取k截面以左为对象,如图(C)所示2.列写内力方程:(1).弯矩:(2);剪力:(3):轴力:三.例题示范(一).解题步骤1.求支座反力:先整体平衡建立三个平衡方程，然后取半拱为脫离体，用∑Mc=0建立补充方程,即可求岀全部的支座反力.2.将拱沿跨度(或拱轴)方向分为若干等分,将各等分点处的截面作为控制截面;3.利用公式:(弯矩.剪力.轴力计算公式)计算各截面内力值,并作岀相应的内力图.(二).例题 Eg.3.12.试对下图示结构(见板书)进行內力图的绘制,已知拱轴线为二次抛物线，当坐标原点选在支座A处时,拱轴线方程为:y=(4f／L×L)(L-X)X,拱矢f=4m.(见板书)Eg.3.13.试对下图示结构(三鉸拱)进行內力图的绘制综述:(1).一个二次抛物线三鉸拱(不论跨度.拱矢是多少)如果全跨承受的是均布荷载,则拱內仅存在N,而Q.M均为零.这是使用拱的最理想情况.(2).∵砖.石.混凝土等材料的工作性能是抗压能力→强,而抗拉.弯能力→弱,∴这就是为何砖.石.混凝土这类材料的拱均采用二次抛物线拱的道理.3.4.5.三铰拱合理拱轴线一.定义:在某种荷载作用下,使拱处于无弯矩状态的相应拱轴线,称之为在此种荷载作用下的三铰拱合理拱轴线.简言之拱的合理拱轴线是使所有截面的弯矩等于零时选岀的拱的拱轴线. 二.确定合理拱轴线的方法建立求任意截面的弯矩方程通式,然后令其等于零.从而解岀拱轴线方程即为所求.例如:∵Mk=Mk0－Hyk;令Mk=Mk0－Hyk=0;∴yk;=(Mk0)／H从这个方程可知:在竖向荷载作用下,三铰拱合理拱轴线是拱轴上所有各点上的纵座标yk与对应简支梁弯矩成正比.三.证明:(见板书)第四章.静定桁架与组合结构4.1.概述4.1.1.概念一.梁和刚架的受力:主要的內力是弯矩,如图示矩形截面梁(见板书),截面中间的材料没有充分利用;二.桁架是由杆和铰所组成,各杆均是二力杆,即仅受轴力作用,所以受力合理.且桁架适用于大跨度结构,例如:屋架.桥梁等. 4.1.2.桁架的概念一.定义:是指由杆和铰所组成的受力结构.二.假设:(1).联结杆件的各结点,都是无摩擦的理想铰;(2).各杆的轴线绝对平直,且均在同一平面内(平面桁架),并通过铰的中心;(3).荷载和支座反力都作用在结点上,并与平面桁架共面;(4).桁架中的各杆均是二力杆,即仅受轴力作用.三.桁架的分类1.简单桁架:是以一个铰结△为基础,依次増加二元体而组成的几何不变且无多余约束的静定结构;例如:(见板书)2.联合桁架:是由几个简单桁架按一定规则组成的几何不变且无多余约束的静定结构,例如:(见板书);3.复杂桁架:是指凡不属于上述两种情况的另类型的静定桁 5.2.桁架內力分析的数解法5.2.1.结点法一.方法:取结点为研究对象,建立平衡方程并解之即可;二.与特殊结点相连的杆的内力值的判定(结论):(见板书)(1)“零杆”:(2).“独杆”:(3).互为等力杆:(4).(5).(6).三.应用举例(结点法)Eg.4.1.试对下图示桁架进行内力计算(见板书)Eg.4.2.试对下图示桁架进行内力计算(见板书)Eg4.3.试对下图示桁架进行内力计算(见板书)Eg.4.4.试对下图示桁架进行内力计算(见板书)5.2.2.截面法一.方法:用一假想的截面沿所需求内力的截面截开桁架,任取其一为对象,建立平衡方程并解之即可; 二.注意:∵是平面力系,∴每次截取的对象仅能求解三个未知力,即每次截取的截面上的内力未知的杆件数目≤3.且此三根杆不能相交于一点.(为何?课堂提问)三.应用举例(截面法)Eg.4.5.试对下图示桁架进行内力计算(见板书)Eg.4.6.试对下图示桁架进行内力计算(见板书)Eg4.7.试对下图示桁架进行内力计算(见板书)Eg.4.8.试对下图示桁架进行内力计算(见板书)5.3.组合结构及其计算5.3.1.概念一.组合结构:指结构中一部分杆件是铰结杆只承受轴力,而另一部分杆件是梁式杆,它既受轴力,又承受剪力和弯矩的结构.称之为组合结构.如图所示(见板书): 二.组合结构的解法(截面法)1.if截断的杆是二力杆,则此杆仅受轴力;2.if截断的杆是梁式杆,则此杆不仅受轴力,还可能有剪力和弯矩;5.3.2.应用举例(截面法)Eg.4.9.试对下图示桁架进行内力计算(见板书)Eg.4.10.试对下图示桁架进行内力计算(见板书)Eg4.11.试对下图示桁架进行内力计算(见板书)Eg.4.12.试对下图示桁架进行内力计算(见板书)5.4.小结(静定结构的特性)一.解答的唯一性:静定结构的全部反力和内力都可以由静力平衡方程求解,在已知的支座情况和荷载条件下,得到的答案只有唯一的确定值; 二.内力的对应性:在静定结构中,除荷载外,其他任何原因(例如:温度.支座位移.…)均不产生內力;(1).结构的反力和内力＝f(结构的几何形状.尺寸.荷载);(2).结构的反力和内力≠f(结构的材料.G.E.I.及截面面积A);三.等效荷载(荷载等效)变换的影响1.等效荷载:指具有同一合力的其他不同形式的荷载;2.等效荷载的变换:指将一种荷载变換成另一种相互等效的荷载;例如:最简单的等效荷载变换:某一力系的作用可用该力系的合力来代替.3.局部效应:指对于作用于静定结构的某一几何不变部分上的荷载作等效荷载的变换時,则:只是该部分的內力发生变化,而结构其余部分中的內力不发生变化.四.应用举例Eg.4.13.试对下图示进行内力分析计算(见板书)Eg.4.14.试对下图示进行内力分析计算(见板书) 第五章.结构的位移计算5.1.结构的位移计算概述一.概念与目的1.位移=f(线位移△X.△y.角位移);2.引起位移的厡因-f(外力.温度.支座沉陷.制造误差.材料的收缩…);3.位移计算的目的:(1).满足结构的刚度条件:例如:厂房中的某吊车大梁其﹝Y﹞≤(1/500～1/750)L;for有天花板的房屋大梁:其Ymax≤1/300.(2).设计.施工.制造过程中的需要;(3).为求解超静定结构提供工具和条件.二.计算结构位移理论和方法1.方法:能量法2.理论根据:功能原理 5.2.功.广义力.广义位移(恩格斯:“功”是从量的方面去看的运动形态的变化)5.2.1.名词概念一.功:(定义)T＝力×力在其本身作用线上的距离＝P×△………………(5.1)二.广义力.广义位移:1.广义力:指各种形态的力的集合(集中力.集中力偶.均布力…);2.广义位移:指线位移.角位移的集合,But:此位移并不一定是非由广义力引起的.例如:Eg.5.1.试对下图示结构进行位移分析计算(见板书)Eg.5.2.试对下图示进行位移分析计算(见板书)注意:上述二例中的力(P.M)均属常力所作的功. 5.2.2..实功与虚功:1.外力实功:(见板书)2.外力虚功:(1).定义:外力虚功系指力在其它因素引起的位移上所作的功.(2).例如:(见板书)3.内力虚功:(见板书推证)4.注意事项:(1).当P=C时,T=P×△;当P从0→P时,T=P×(1/2)△;(2).实功永为正,而虚功可正可负.其原因是:虚位移并非一定是与力P的方向一致.(3).实功系指力在自身作用线上的位移上所作的功,而虚功系指力在其它因素引起的位移上所作的功.还应该明确:∵作虚功时,P=C.∴无1/2的系数.5.3.变形体虚功原理 5.3.1虚功原理:∵在虚位移的变形过程中,內力要作虚功,外力同样也要作虚功,在不计其他能量(光.声.热能…)的情况下,由能量守恒定律:外力所作之虚功Tw是以内能(抵抗变形.恢复变形的能力)的形式储存于结构内的.即:內力虚功在数值上等于外力虚功,二者等值反向.亦即:Tw＝－TnorTw＋Tn＝0………(5.2)5.2.3.应用举例Eg.5.1.图示结构,在结点C上受一集中P作用(见板书),由于温度升高,使AC.BC二杆各伸长了1com,试求该结构系统的Tw和Tn,并騐算(5.2)式的正确性.解:(见板书)5.3.3.变形体虚功原理的应用 一.Method(一):单位力法1.公式推导(1).以简支梁A.B为例,受外力作用如图示,现需求k截面在y方向上的位移△kp.相应地在dx段上要发生实位移:d.dv.Du.注:第一脚标表示是k截面上发生的位移;第二脚标表示△kp是由广义力P引起的;(2).现虚拟一状态,且在k截面上作用有Pk,在Pk的作用下,dx段上引起虚內力:M(x)＃;Q(x)＃;N(x)＃(3).虚內力在实位移上要作虚功:Tn＝∑∫M(x)＃d＋∑∫Q(x)dv＃＋∑∫N(x)du同理,广义力Pk(虚外力)在实位移上要作虚功△kp,即:Tw=Pk×△kp由变形体虚功原理(5.2)式可得到:△kp＝1/EI(∑∫M(x)＃Mpdx)＋1/GA(∑∫Q(x)＃Qpdx)＋1/EA(∑∫N(x)Npdx) (5.3)式中:(1).for曲杆:令dx=ds;(2).for桁架:△kp＝1/EA(∑∫N(x)Npdx);(3).一般地:if不计梁的剪力和轴力时:△kp＝1/EI(∑∫M(x)＃Mpdx);(4).式中:凡带＃者均为虚外力Pk所引起的虚内力,而带脚标p者均为实际情况下该结构的内力.且Pk应作广义虚力理解.(5).应用(5.3)式计算岀的结果为正时,说明△kp与Pk同向,反之亦然.2.应用举例:Eg.5.1.试求下图示结构在B处的y方向的线位移和角位移(见板书)Eg.5.2.试求下图示结构在A处的X.y方向的线位移(不计Q(x).N(x)的影响)(见板书)Eg.5.3.试求下图示结构在C处的y方向的线位移;设梁为矩形截面:b×h.G=0.4E.k=1.2.h=L/10,EI=C(不计Q(x).的影响)(见板书) Eg.5.4.试求下图示结构在B处的X方向的线位移(不计Q(x).N(x)的影响,EI=C)(见板书)Eg.5.5..试求下图示桁架在D处的y方向的线位移.桁架中各杆的长度及横截面面积均列入表(见板书)之中;Eg.5.6.试求下图示刚架上截面A.B的相对角位移:△kp(A.B)(见板书)二.Method(二):图乘法(几何法)1.公式推导考察公式：△kp＝1/EI(∑∫M(x)＃Mpdx)（1）.∵M(x)＃是单位力Pk引起的,∴M(x)＃一定是一次函数;(2).基于上述情况,A.H维列沙金提出了一个简单的图形相乘的方法,为计算△kp提供了一条简捷的途径.(见板书)∵M(x)＃＝Xtg代入上式并积分后:∫MpM(x)＃dx＝MpXtgdx＝tg∫xMpdx＝tg∫xd＝.＝(类似合力矩定理) (3).结论:计算由弯矩引起的位移时,可用荷载弯矩图Mp的面积(指对应于M(x)＃图中的同一段),乘以其形心所对应的M(x)＃图中弯矩值Yo,再除以抗弯刚度EI.2.注意事项(1).正负号规定:ifM(x)＃与Mp同号,即二者均在基线的同一侧,乘积为正,反之为负.(2).图乘法应用时必须满足的条件:(a).EI＝Constant,即材料相同的等截面直杆;(b).M(x)＃与Mp图中至少有一个为直线,if两者均为直线,则Yo可任取其一;(c).ifM(x)＃是由n段直线诅成时,应分段图乘然后相加(取代数和);(d).ifM(x)＃与Mp均为梯形:(见板书)(e).ifM(x)＃与Mp均有正.负两部分,则可将Mp看作是两个△的迭加,三角形A.B.C 在基线上边時为正,高度为a,同理,当三角形A.B.C在基线下边時为负,高度为b,然后将二个△面积(注意正负)各乘以相应的M(x)＃的纵座标再迭加.(见板书)(f).ifMp为非标准抛物线图形时,可将A.D段的弯矩图化为一个梯形和一个标准抛物线图形进行迭加.即:(a)=(b)+(c)然后再与相应的M(x)＃进行图乘相加即为所求的△kp.(h).六种图形的面积及相应的形心位置可查工程手册或查教材P…;3.应用举例:Eg.5.7.试求下图示结构在c处的y方向的线位移△kpy(见板书)Eg.5.8.试求下图刚架在D处的水平.y方向的线位移和角位移,EI≠C.(见板书)