结构力学课件-矩阵位移法

第10章矩阵位移法结构力学Structuralmechanics1 矩阵代数复习1、矩阵定义一组元素按行、列次序排列成的矩形阵列称为矩阵。若矩阵的元素排列为m行和n列，称为mn阶矩阵。A=aaaaaaaaannmmmn111212122212LLMOMLéëêêêêêùûúúúúú2、方阵一个具有相同的行数和列数的矩阵，即m=n时，称为n阶方阵。3、行矩阵和列矩阵一个单独的行组成的矩阵称为行矩阵，如：A=[]aaaan1112131···由单列组成的矩阵称为列矩阵，如：A=aaam11211┇éëêêêêêêùûúúúúúú2 4、纯量仅由一个单独的元素所组成的11阶矩阵称为纯量。5、矩阵乘法两个规则：（1）两个矩阵仅当他们是共形时才能相乘，即ABCplmplnmn´´´==当时才能相乘AB=aaaabb111221221121éëêùûúéëêùûú共形2×22×1BA=bbaaaa112111122122éëêùûúéëêùûú非共形2×12×2（2）不具有交换律，即AB¹BA3 6、转置矩阵将一个阶矩阵的行和列依次互换，所得的阶矩阵称之为原矩阵的转置矩阵，如：A=aaaaaa111221223132éëêêêùûúúú其转置矩阵为AT=éëêùûúaaaaaa112131122232当连乘矩阵的乘积被转置时，等于倒转了顺序的各矩阵的转置矩阵之乘积。若A=BCD则AT=DTCTBT7、零矩阵元素全部为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。若AB=0，但不一定A=0或B=0。4 任意矩阵与单位矩阵相乘仍等于原矩阵，即AI=AIA=A5 10、逆矩阵在矩阵运算中，没有矩阵的直接除法，除法运算由矩阵求逆来完成。例如，若AB=C则B=A-1C此处A-1称为矩阵A的逆矩阵。一个矩阵的逆矩阵由以下关系式定义：AA-1=A-1A=I矩阵求逆时必须满足两个条件：（1）矩阵是一个方阵。（2）矩阵的行列式不为零，即矩阵是非奇异矩阵（行列式为零的矩阵称为奇异矩阵）。11、正交矩阵若一方阵A每一行（列）的各个元素平方之和等于1，而所有的两个不同行（列）的对应元素乘积之和均为零，则称该矩阵为正交矩阵，则A=cossinsincosaaaa-éëêùûú正交矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即A-1=AT6 §10-1概述矩阵位移法的理论基础是传统的位移法，只是它的表达形式采用矩阵代数，而这种数学算法便于编制计算机程序，实现计算过程的程序化。一、矩阵位移法的基本思路矩阵位移法又可以称为杆件结构的有限元法；矩阵位移法的两个基本步骤是（1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析，任务意义单元分析建立杆端力与杆端位移间的刚度方程，形成单元刚度矩阵用矩阵形式表示杆件的转角位移方程整体分析由变形条件和平衡条件建立结点力与结点位移间的刚度方程，形成整体刚度矩阵用矩阵形式表示位移法基本方程7 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元，杆件两端各有三个位移分量，这是平面结构杆件单元的一般情况。符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的座标与杆轴重合；12eEAIl(a)图(b)表示的杆端位移均为正方向。单元编号杆端编号局部座标12(b)杆端位移编号12杆端力编号(c)二、杆端位移、杆端力的正负号规定一般单元：8 1212（1）单元杆端位移向量（2）单元杆端力向量凡是符号上面带了一横杠的就表示是基于局部座标系而言的。9 现在讨论单元刚度方程。单元刚度方程是指由单元杆端位移求单元杆端力时的一组方程，可以用“”表示，由位移求力称为正问题。在单元两端加上人为控制的附加约束，使基本杆单元的两端产生任意指定的六个位移，然后根据这六个杆端位移来推导相应的六个杆端力。e12eeeeee我们忽略轴向受力状态和弯曲受力状态之间的相互影响，分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。§10-2单元刚度矩阵(局部座标系)进行单元分析，推导单元刚度方程和单元刚度矩阵。一、一般单元10 eeeeeee分别推导轴向变形和弯曲变形的刚度方程。首先，由两个杆端轴向位移可推算出相应的杆端轴向力eeeee12其次，由杆端横向位移可以用角变位移方程推导出相应的杆端横向力eeee11 eee将上面六个方程合并，写成矩阵形式：12 EAl6EIl26EIl2EAl12EIl312EIl34EIl2EIl上面的式子可以用矩阵符号记为eeee这就是局部座标系中的单元刚度方程。e可求单元杆端力ee=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EIl206EIl20-EAl-6EIl2-6EIl2EAl-12EIl312EIl32EIl4EIl000000-6EIl206EIl20只与杆件本身性质有关而与外荷载无关通过这个式子由单元杆端位移局部座标系的单元刚度矩阵13 二、单元刚度矩阵的性质（1）单元刚度系数的意义e—代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。例如代表单元杆端第2个位移分量时所引起的第5个杆端力分量的数值。（2）单元刚度矩阵是对称矩阵，e即。（3）一般单元的刚度矩阵是奇异矩阵；e从数学上可以证明一般单元的刚度矩阵e的行列式e=0因此它的逆矩阵不存在从力学上的理解是，根据单元刚度方程eeeeeee由有一组力的解答(唯一的)，即正问题。由如果e不是一组平衡力系则无解；若是一组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。14 三、特殊单元若单元六个杆端位移中有某一个或几个已知为零，则该单元称为特殊单元，其刚度方程是一般单元刚度方程的特例。e以连续梁为例：12eeee15 12eeeeeeeee为了程序的标准化和通用性，不采用特殊单元，只用一般单元，如果结构有特殊单元，可以通过程序由一般单元来形成。16 §10-3单元刚度矩阵(整体座标系)exyX1Y1X2Y2eeeeeeeeeeeeeeeeeeeee座标转换矩阵单元杆端力的转换式、单刚的转换式一、单元座标转换矩阵17 正交矩阵[T]-1=[T]T或[T][T]T=[T]T[T]=[I]于是可以有同理可以有eeeeeeⓔⓔ18 （解决与[k]的关系）ee在局部座标系中杆端力与杆端位移的关系式表达为：eee在整体座标系中杆端力与杆端位移的关系式可以表达为：(a)eee{F}=[k]{}(b)e{F}=[T]T[T]{}ee(d)k[T]{F}=e[T]{}(c)eke[k]=[T]Tke[T]e(e)[k]e的性质与ek一样。二、整体座标系中的单元刚度矩阵（a）式可转换为：两边前乘[T]T比较式(b)和(d)可得：19 例1.试求图示刚架中各单元在整体座标系中的刚度矩阵[k]。设和杆的杆长和截面尺寸相同。1l=5ml=5m2xyl=5m，bh=0.5m1m,A=0.5m2,I=m4,124解:(1)局部座标系中的单元刚度矩阵(2)整体座标系中的单元刚度矩阵e[k]ke单元1：=0，[T]=[I]k1=1[k]单元2：=90，单元座标转换矩阵为12k=k20 1l=5ml=5m2xy单元2：=90，单元座标转换矩阵为[k]=[T]Tk[T]21 §10-4连续梁的整体刚度矩阵按传统的位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每个结点位移对{F}的单独贡献F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2123={F}=[K]{}根据每个结点位移对附加约束上的约束力{F}的贡献大小进行叠加而计算所得。传统位移法22 一、单元集成法的力学模型和基本概念分别考虑每个单元对{F}的单独贡献，整体刚度矩阵由单元直接集成i1i212123F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31令i2=0，则F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000单元1的贡献矩阵单元1对结点力{F}的贡献略去其它单元的贡献。23 i1i212123F12F22F32[k]=4i22i24i22i22F12F22F32=4i22i24i22i2000001232[K]{}{F}=2设i1=0，则F12=0[K]=24i22i24i22i200000单元的贡献矩阵F3{F}2=[F12F222]T单元对结点力{F}的贡献略去单元的贡献。24 1[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i1000002[K]{}{F}=2[K]=24i22i24i22i200000i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}12{F}=[K]{}整体刚度矩阵为：单元集成法求整体刚度矩阵步骤：根据单元和单元分别对结点力{F}的贡献，可得整体刚度方程：25 [k][K][K]ee12[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i226 二、按照单元定位向量由[k]求e[K]e(1)在整体分析中按结构的结点位移统一编码，称为总码。(2)在单元分析中按单元两端结点位移单独编码，称为局部码。以连续梁为例121231(1)(2)2(1)(2)位移统一编码，总码单元12对应关系局部码总码单元定位向量e(1)1(2)21=(1)2(2)32=确定中的元素在中的位置。为此建立两种编码：[k]e[K]e位移单独编码局部码由单元的结点位移总码组成的向量27 （3）单刚[k]e[K]e和单元贡献中元素的对应关系单元单元[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=[K]=11230000000004i12i12i14i1123[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=[K]=20000000004i22i24i22i2123123单元定位向量描述了单元两种编码（总码、局部码）之间的对应关系。单元定位向量定义了整体坐标系下的单元刚度矩阵中的元素在整体刚度矩阵中的具体位置，故也称为“单元换码向量”。单元贡献矩阵是单元刚度矩阵利用“单元定位向量”进行“换码重排位”。28 三、单元集成法的实施（定位累加）[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）将[K]置零，得[K]=[0]；（2）将[k]的元素在[K]中按{}定位并进行累加，得[K]=[K]；（3）将[k]的元素在[K]中按{}定位并进行累加，得[K]=[K]+[K]；按此作法对所有单元循环一遍，最后即得整体刚度矩阵[K]。29 12i1i2i3312301230=0（1）结点位移分量总码（2）单元定位向量1=2=3=（3）单元集成过程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i330330[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例.求连续梁的整体刚度矩阵。30 四、整体刚度矩阵[K]的性质（1）整体刚度系数的意义:Kij－当j=1(其余=0)时产生的第i结点力Fi（2）[K]是对称矩阵（3）对几何不变体系，[K]是可逆矩阵，如连续梁i1i2123F1F2F3{F}=[K]{}{}=[K]-1{F}（4）[K]是稀疏矩阵和带状矩阵，如连续梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+10000000000000000000000000000000000004i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in31 §10-5刚架的整体刚度矩阵思路要点：（1）设各单元已形成了整体座标系下的单元刚度矩阵；e[k]（2）各经由e{}进行累加集成[K]。与连续梁相比：(1)各单元考虑轴向变形；(2)每个刚结点有三个位移；(3)要采用整体座标；(4)要处理非刚结点的特殊情况。一、结点位移分量的统一编码——总码ABCxy123004000结点位移总码{}=[1234]T规定：对于已知为零的结点位移分量，其总码均编为零。=[uAvAAC]T整体结构的结点位移向量为：相应地结点力向量为：=[XAYAMAMC]T{F}=[F1F2F3F4]T①②32 x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)单元结点位移分量局部码二、单元定位向量单元单元局部码总码局部码总码（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）4（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）0三、单元集成过程①②ABCxy12300400结点位移总码②①0(4)(1)(4)33 1ABC2xy123004000121234[K]=123400000000000000001[k]=000000000000000000000000000000000000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566123004123004111213212223313233616263661626361112132122233132332[k]123000123000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566=34 四、铰结点的处理[K]求单元常数{}[T]单元刚度矩阵程序设计框图（局部：集成整体刚度矩阵）1122刚结点：变形连续，截面1和截面2具有相同的结点位移。铰结点：部分变形连续，截面1和截面2具有相同的结点线位移；而其角位移不相等。35 123ABDxy000123456C1C2457000123结点位移分量总码结点C1[456]结点C2[457]单元定位向量1[k]=1234562[k]=12300012300012345636 00000000000000000000000000000000000000000000000001231[k]=1234561234562[k]=1230001230003[k]=457000457000[K]=1234567123456737 §10-6等效结点荷载{F}=[K]{}………………(1)结构体系刚度方程：一、位移法基本方程k111+k122+··········+k1nn+F1P=0k211+k222+··········+k2nn+F2P=0··································kn11+kn22+··········+knnn+FnP=0[K]{}+{FP}={0}…………...………(2){F}+{FP}={0}…………..………(3)将(1)式代入(2)式：表示结点位移{}和结点力{F}之间的关系，反映了结构的刚度性质，而不涉及原结构上作用的实际荷载，并不是原结构的位移法基本方程。基本体系在荷载单独作用下产生的结点约束力。基本体系在结点位移单独作用下产生的结点约束力。38 二、等效结点荷载的概念结点结束力——{FP}结点结束力——{FP}等效结点荷载{P}原荷载显然{P}=–{FP}………解决了计算等效结点荷载的问题等效原则是两种荷载在基本体系中产生相同的结点约束力[K]{}={F}{FP}+=39 三、按单元集成法求整体结构的等效结点荷载{P}(1)局部座标单元的等效结点荷载{P}exee{P}ee(2)整体座标单元的等效结点荷载{P}eee(3)结构的等效结点荷载{P}xy40 1112xy12348kN4.8kN/mABC5m2.5m2.5m单元1:单元2:121210-10+4+0-51222241 [K]求单元常数{}[T]{P}原始数据、局部码、总码解方程[K]{}={P}求出结点位移{}开始单元刚度矩阵ke单元固端力e结束§10-7计算步骤和算例[K]{}={F}{FP}+=程序设计框图求杆端力eeee42 例.求图示刚架的内力。设各杆为矩形截面，横梁b2×h2=0.5m×1.26m，立柱b1×h1=0.5m×1m。（1）原始数据、局部码、总码（设E=1）12m6mABCDq=1kN/mABCD123xy134526{0}{0}柱梁43 ee44 （2）形成局部座标系中的单元刚度矩阵ke单元1和3=10-3×=10-3×单元2（3）计算整体座标系中的单元刚度矩阵e[k][k]=[T]Tke[T]e2[k]–1[k]=–3[k]–45 单元1和3的座标转换矩阵（=900）1[k]==10-3×[k]=[T]Tk1[T]3单元2（=0°）2[k]k2==10-3×46 (4)用单元集成法形成整体刚度矩阵[K]ABCD123xy134526{0}{0}21347 （5）求等效结点荷载{P}12m6mABCDq=1kN/mABCD123xy134526{0}{0}1单元固端约束力单元1（=90°）111按单元定位向量148 （6）解基本方程求得结点位移:（7）求各单元杆端力eeeee111111单元1：先求{F}然后求①①49 1111=10-3×1123同样可得出：50 （8）绘制内力图12312eABCD8.492.093.044.38M图(kN·m)4.761.240.431.24Q图(kN)N图(kN)0.430.431.2451 k3k2k1§10-8忽略轴向变形时矩形刚架的整体分析123ABDxy000102103C1C2104000123单元定位向量12345612345610210310210312345612345612345612345610200010200010400010400052 1234[K]=12340000000000000000k3k2k112345612345610210310210312345612345612345612345610200010200010400010400053 §10-9桁架及组合结构的整体分析一、桁架eee12exyX1Y1X2Y2eeee54 llPEA=c12345ABCDxy12345678例：试用后处理法计算图示桁架各杆内力，设各杆EA为常数。（1）单元和结点编码，准备基本数据。（2）建立结点位移向量和结点力向量：{}={12345678}T{P}={F1F2F3F40P00}T（3）建立整体座标系单刚e[k]对称对称12565678对称567812563478347855 12345ABCD12345678（3）建立整体座标系单刚e[k]对称12565678对称56781256对称34783478对称3456345612781278对称56 4.形成原始总矩阵位移法方程5.引进支座位边界条件1=2=3=4=0划去1→4行(列)对称12345678123456786.解矩阵位移法方程对称57