结构力学课件4教学ppt课件

第四章结构位移计算与虚功 §4-1应用虚力原理求刚体体系的位移1、推导位移计算一般公式的基本思路第一步：由刚体体系的虚位移原理（理论力学）得出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。第二步：讨论静定结构由于局部变形引起的位移。由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。第三步：讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式，再应用叠加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。 2、结构位移计算概述（1）、结构位移的种类绝对位移：线位移和角位移——杆件结构中某一截面位置或方向的改变。相对位移：相对线位移和相对角位移——两个截面位移的差值或和。广义位移：绝对位移和相对位移的统称。 FPC’DD’ABC⊿CH⊿CVφCφCD⊿DV⊿CD （2）、引起位移的原因*荷载作用；*温度变化和材料涨缩；*支座沉陷和制造误差。（3）、位移计算的目的*检验结构的刚度：位移是否超过允许的位移限制。*为超静定结构计算打基础。*其它：如施工措施、建筑起拱、预应力等。 （4）、体系（结构）的物理特性线性变形体系（线弹性体）：*应力、应变满足虎克定律；*变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用位置不变，位移计算可用叠加原理；*体系几何不变，约束为理想约束。非线性体系：*物理非线性；*几何非线性（大变形）。 （5）、变形体位移计算方法及应满足的条件方法：用虚功原理推导出位移计算公式。计算时应满足的条件：*静力平衡；*变形协调条件；*物理条件。 3、虚功原理的一种应用形式——虚力原理（虚设力系，求位移）（1）虚功的概念功的两个要素——力和位移W=FP×⊿功=力×相应位移FPFP相应位移⊿W=2FP×(r×φ)=M×φ力与位移相互对应。FPFPABA’OB’φr 虚功使力作功的位移不是由该力本身引起的，则：作功的力与相应于力的位移彼此独立无关。虚功=力×相应于力的位移独立无关 FP1FP2M1FR1FR2FR3力状态⊿2⊿1φ1c1c2c3位移状态（2）两种状态 两种状态既然力与位移彼此独立无关，故可将力与位移视为两种独立的状态。力状态；位移状态。外力虚功可表示为：W=FP1×△1+FP2×△2+M1×φ1+FR1×c1+FR2×c1+FR3×c3=∑FP×⊿FP：包括力状态中的所有力（力偶）及支座反力，称为广义力。△：包括位移状态中的与广义力相应的广义位移。 （3）、刚体体系虚功原理（虚位移原理、虚力原理）对于具有理想约束的刚体体系，其虚功原理为：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移，则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。即：W=0理想约束——约束力在可能位移上所作的功恒等于零的约束，如：光滑铰链、刚性链杆等。刚体——具有理想约束的质点系。刚体内力在刚体的可能位移上所作的功恒为零。 虚功原理（又称虚位移原理、虚力原理）用于讨论静力学问题非常方便，是分析力学的基础。因为虚功原理中平衡力系与可能位移无关，所以既可把位移视为虚设的，也可把力系视为虚设的。根据虚设的对象不同，虚功原理有两种应用形式，解决两类不同的问题。虚功原理的两种不同应用，不但适用于刚体体系，也适用于变形体体系。 （4）、虚设（拟）力状态——求位移例1：图示简支梁，支座A向上移动一已知距离c1,现在拟求B点的竖向线位移ΔB。解：已给位移状态;虚设力状态，在拟求位移ΔB方向上加一单位荷载FP=1，形成平衡力系。c1△BFP=1FR1=-b/a 虚功方程：△B·1+c1·FR1=0由平衡方程求出：FR1=-b/a△B=FP·c1=b/a·c1注：a、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若设FP=1，称为虚单位荷载法。b、虚功方程在此实质上是几何方程。即利用静力平衡求解几何问题。c、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位荷载，利用力系平衡求出与c1相应的R1,即利用平衡方程求解几何问题。上述方法也可称为“单位荷载法”c1△BFP=1FR1=-b/a d、通过上例可推出静定结构支座移动时，位移计算的一般公式。注：因为静定结构在支座移动作用下，不产生反力、内力，也不引起应变；所以属于刚体体系的位移问题，可用刚体虚功原理求解。 4、支座移动时静定结构的位移计算当支座有给定位移ck时（可能不止一个），（a）沿拟求位移⊿方向虚设相应单位荷载，并求出单位荷载作用下的支座反力FRK。（b）令虚拟力系在实际位移上作虚功，写虚功方程：（c）由虚功方程，解出所求位移： 例:图示三铰刚架，支座B下沉c1，向右移动c2。求铰C的竖向位移⊿CV和铰左右截面的相对角位移φC。l/2l/2lc1c2⊿CVφC l/2l/2lc1c2⊿CVφC实际状态FP=11/21/21/41/4虚拟状态⊿CV=-∑FRKcK=-[-1/2×c1–1/4×c2]=c1/2+c2/4(↓) l/2l/2lc1c2⊿CVφC实际状态φC=-∑FRKcK=-[-1/l×c2]=c2/l()FP=11/l1/l §4-2结构位移计算的一般公式结构属于变形体，在一般情况下，结构内部产生应变。结构的位移计算问题，属于变形体体系的位移计算问题。采用方法仍以虚功法最为普遍。推导位移计算一般公式有几种途径：1、根据变形体体系的虚功方程，导出位移计算的一般公式。2、应用刚体体系的虚功原理，导出局部变形的位移公式；然后应用叠加原理，导出变形体体系的位移计算公式。 一、局部变形时静定结构的位移计算举例设静定结构中的某个微段出现局部变形，微段两端相邻截面出现相对位移。而结构的其他部分没有变形，仍然是刚体。因此，当某个微段有局部变形时，静定结构的位移计算问题可以归结为当该处相邻截面有相对位移时刚体体系的位移计算问题。举例说明。 例4-1：悬臂梁在截面B有相对转角θ，求A点竖向位移ΔAV（θ是由于制造误差或其他原因造成的）。ΔABCaaθA1ΔABCθA1ABCM1解：①、在B处加铰（将实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态）。②、A点加单位荷载FP=1，在铰B处虚设一对弯矩M（为保持平衡）M=1•a（4-5）③、虚功方程：1×ΔAV-M×θ=0ΔAV=Mθ=aθ(↑) 例4-2：悬臂梁在截面B有相对剪切位移η，求A点与杆轴成α角的斜向位移分量Δ（η是由于制造误差或其他原因造成的）。ABCaaηA1B1αΔABC解：①、在B截面处加机构如图（将实际位移状态明确地表示为刚体体系的位移状态）。ηA1B1αΔ②、A点加单位荷载FP=1，在铰B处虚设一对剪力FQ（为保持平衡）FQ=sinaABC1FQ③、虚功方程：1×Δ-FQ×η=0Δ=FQη 二、局部变形时的位移公式基本思路：把局部变形时的位移计算问题转化为刚体体系的位移计算问题。如图所示，已知只有B点附近的微段ds有局部变形，结构其他部分没有变形。求A点沿α方向的位移分量d⊿d⊿局部变形有三部分：轴向伸长应变ε平均剪切应变γ0轴线曲率κ（κ=1/R，R为杆件轴向变形后的曲率半径） 位移状态（实际）力状态（虚拟）（1）两端截面的三种相对位移相应内力相对轴向位移dλ=εds相对剪切位移dη=γ0ds相对转角dθ=ds/R=κds轴力FN剪力FQ弯矩M相对位移dλ、dη、dθ是描述微段总变形的三个基本参数。 基本思路：dηABCABCsdsA1αdΔdθdλdsdλBCdηdθRFNFNFQFQMM1αFNFQM （2）ds趋近于0，三种相对位移还存在。相当于整个结构除B截面发生集中变形（dλ，dη，dθ）外，其他部分都是刚体，没有任何变形。属刚体体系的位移问题。（3）应用刚体体系虚功原理，根据截面B的相对位移可分别求出点A的位移d⊿，局部变形位移公式：（4-8） 三、结构位移计算的一般公式由叠加原理：总位移⊿=叠加每个微段变形在该点(A)处引起的微小位移d⊿即：若结构有多个杆件，则：（4-9）单位荷载虚功=所求位移 考虑支座有给定位移，则可得出结构位移计算的一般公式：其中包含：弯曲变形对位移的影响（4-11）轴向变形对位移的影响（4-12）剪切变形对位移的影响（4-13）支座移动对位移的影响（4-10）（4-14） 讨论：（1）、式（4-10）根据刚体体系虚功原理和叠加原理导出，适用于小变形情况。（2）、式(4-10)实质上是几何方程，给出已知变形（内部变形κ、ε、γ0和支座位移ck），与拟求位移⊿之间的关系。 （3）、式（4-10）是普遍公式。（因为在推导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质）可考虑任何情况：①、变形类型：弯曲、轴向、剪切变形。②、产生变形的因素：荷载、温度改变、支座移动等。③、结构类型：梁、刚架、拱、桁架等静定、超静定。④、材料性质：弹性、非弹性。 （4）、变形体虚功原理：将式（4-10）改写为：（4-15）外力虚功W=内虚功Wi（4-16）可视为变形体虚功原理的一种表达形式。 四、结构位移计算的一般步骤已知结构杆件各微段的应变κ、ε、γ0（根据引起变形的原因而定），支座移动ck。求结构某点沿某方向的位移⊿。1、沿欲求⊿方向设FP=1。2、根据平衡条件求出FP=1作用下的M、FN、FQ、FR。3、根据公式（4-10）可求出⊿。注意正负号：②、公式（4-10）中各乘积表示，力与变形方向一致，乘积为正，反之为负。①、求得⊿为正，表明位移⊿的实际方向与所设单位荷载方向一致。 五、广义位移计算广义位移：某截面沿某方向的线位移；某截面的角位移；某两个截面的相对位移；等。在利用（4-10）求广义位移时，必须根据广义位移的性质虚设广义单位荷载。ABqθAθBΔABMA=1MB=1如：右图所示简支梁，求AB两截面的相对角位移。求解过程：可先求θA和θB，再叠加。也可直接求出θAB=θA+θB 广义位移和广义虚单位荷载示例广义位移广义虚单位荷载（外力）虚功BAΔAΔBBAFP=1FP=11·⊿A+1·⊿B=⊿A+⊿B=⊿ABABlABBAθABΔAΔBlAB1lAB11/lAB·⊿A+1/lAB·⊿B=(⊿A+⊿B)/lAB=θAB 广义位移和广义虚单位荷载示例广义位移广义虚单位荷载（外力）虚功ABBACClilj1li1li1lj1lj1/li·⊿Ai+1/li·⊿Bi+1/lj·⊿Aj+1/lj·⊿Aj=(⊿Ai+⊿Bi)/li+(⊿Bj+⊿Cj)/lj=θi+θj=θijCABCAB111·θCL+1·θCR=θCL+θCR=θC §4-3荷载作用下的位移计算1、荷载作用下的结构位移计算公式根据公式（4-9）本节讨论中，设材料是线弹性的。在此，微段应变κ、ε、γ0是由荷载引起的（实际位移状态），由荷载—内力—应力—应变顺序求出。 由材料力学公式可知：荷载作用下相应的弯曲、拉伸、剪切应变可表示为：弯曲应变：κ=MP/EI轴向应变：ε=FNP/EA(4-18)剪切应变：γ0=kFQP/GA 式中：①、FNP，FQP，MP是荷载作用下，结构各截面上的轴力，剪力，弯矩。注意这是在实际状态下的内力。②、E，G材料的弹性模量和剪切弹性模量。③、A，I杆件截面的面积和惯性矩。④、EA，GA，EI杆件截面的抗拉，抗剪，抗弯刚度。⑤、k是与截面形状有关的系数（剪应力分布不均匀系数）计算公式（4-8） 将（4-18）代入（4-9）可得荷载作用下平面杆件结构弹性位移计算的一般公式：（4-19）将位移计算问题转化为两种状态下的内力计算问题。正负号规定：FN、FNP拉力为正；FQ、FQP同材料力学M、MP使杆件同侧纤维受拉时，乘积为正。 2、各类结构的位移计算公式（1）、梁和刚架：位移主要由弯曲变形引起。（2）、桁架：各杆只有轴力，且各杆截面和各杆轴力沿杆长一般为常数。 （3）、组合结构：一些杆件主要受弯，一些杆件只有轴力。（4）、拱：①扁平拱及拱的合理轴线与拱轴相近时：②通常情况： 例:简支梁的位移计算。求图示简支梁中点C的竖向位移⊿CV和截面B的转角φB。解：求C点的竖向位移。虚拟状态如图；FP=11/2实际状态虚拟状态MP=q(lx-x2)/2M=x/2FQP=q(l-2x)/2FQ=1/2因对称性，只计算一半。§4-4荷载作用下的位移计算举例 讨论剪切变形和弯曲变形对位移的影响：设简支梁为矩形截面，k=1.2,I/A=h2/12,横向变形系数μ=1/3,E/G=2(1+μ)=8/3。⊿γ/⊿κ=(kql2/8GA)/(5ql4/384EI)=9.6/l2·k·E/G·I/A=2.56(h/l)2 当h/l=1/10时,则：⊿γ/⊿κ=2.56﹪对一般梁来说，可略去剪切变形对位移的影响。但当梁h/l＞1/5时,则：⊿γ/⊿κ=10.2﹪对于深梁，剪切变形对位移的影响不可忽略。 求截面B的转角φB。虚拟状态如图所示。M=11/l实际状态虚拟状态MP=q(lx-x2)/2M=-x/l计算结果为负，说明实际位移与虚拟力方向相反。 例:图示一屋架，屋架的上弦杆和其他压杆采用钢筋混凝土杆，下弦杆和其他拉杆采用钢杆。试求顶点C的竖向位移。解：（1）求FNP先将均布荷载q化为结点荷载FP=ql/4。求结点荷载作用下的FNP。 0.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l1111/21/2FNP3.002.02.0-4.74-4.42-0.951.504.500.278l0.263l0.263l0.088l0.278l0.444l10.50.5FN（2）求 §4-5、图乘法一、图乘法的适用条件计算弯曲变形引起的位移时，要求下列积分：符合下列条件时，积分运算可转化为图乘运算，比较简便。适用条件为：（1）、杆轴为直线；（2）、杆段EI=常数；（3）、M和MP中至少有一个是直线图形。 二、图乘公式图示为AB杆的两个弯矩图。M为直线图形，MP为任意图形。该杆截面抗弯刚度EI=常数。OO’MP图αM图由M图可知：M=y=xtanαdxdA=MPdxyxCxCyCAB ⊿=xCtana=yC⊿=∫(MMP/EI)ds=由此可见，当满足上述三个条件时，积分式的值⊿就等于MP图的面积A乘其形心所对应M图上的竖标yC，再除以EI。正负号规定：A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。AxCtana1EI·A·yC1EI 三、应用图乘法计算位移时的几点注意1、应用条件：杆段必须是分段等截面；EI不能是x的函数；两图形中必有一个是直线图形，yC取自直线图形中。2、正负号规定：A与yC同侧，乘积AyC取正；A与yC不同侧，则乘积AyC取负。3、几种常用图形的面积和形心位置：见书P.72。曲线图形要注意图形顶点位置。 4、如果两个图形均为直线图形，则标距yC可取自任何一个图形。5、当yC所属图形是由几段直线组成的折线图形，则图乘应分段进行。在折点处分段图乘，然后叠加。（为什么？）A1y1A2y2A3y3当杆件为阶段变化杆件时（各段EI=常数），应在突变处分段图乘，然后叠加。（为什么？） 6、把复杂图形分为简单图形（使其易于计算面积和判断形心位置）取作面积的图形有时是不规则图形，面积的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠加。 （1）、如两图形均为梯形，不必求梯形形心，可将其分解为两个标准三角形进行计算。ABCDabMPlcdMC1yC1C2yC2ACDMP’C1aADBbMP’’C2MP=MP’+MP’’⊿=(1/EI)∫MMPds=(1/EI)∫M(MP’+MP’’)ds⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2)yC2]⊿=l6EI(2ac+2bd+ab+bc) (2)、左图也可分为两个标准三角形，进行图乘运算。ABCDabMPcdMlC1yC1yC2C2C1abC2MP’MP’’⊿=(1/EI)[(al/2)yC1+(bl/2)yC2]其中:yC1=2c/3-d/3yC2=2d/3-c/3⊿=l6EI(2ac+2bd-ab-bc) （3）、一般情况右图所示为某一段杆(AB)的MP图。可将此图分解为三个图形，均为标准图形，然后与M图图乘，图乘后叠加。 四、示例例1、求悬臂梁中点C的挠度⊿CV，EI=常数。解：（1）、设虚拟力状态如图，作M和MP。由于均为直线图形，故AP可任取。FPl/2l/2⊿CVFPMPFPl1l/2MA5FPl/6M:A=1/2×l/2×l/2=l2/8MP:yC=5/6×FPl⊿CV=A·yC/EI=(l2/8×5/6×FPl)/EI=5FPl3/48EI(↓) (2)、讨论若：AP=1/2×FPl×l=Pl2/2yC=1/3×l/2=l/6⊿CV=AP·yC/EI=(FPl2/2×l/6)/EI=FPl3/12EI(↓)对否？错在哪里？FPl/2l/2⊿CVFPMPFPlAP1l/2Ml/6 FPl/2l/2⊿CVFPAP1l/23、正确的作法AP1=1/2×FPl×l/2=FPl2/4y1=l/3AP2=1/2×FPl/2×l/2=FPl2/8y2=l/6AP3=1/2×FPl/2×l/2=FPl2/8y3=0FPl⊿CV=∑AP·yC/EI=(FPl2/4×l/3+FPl2/8×l/6+FPl2/8×0)/EI=5FPl3/48EI(↓) 60kN12kN例:图示刚架，用图乘法求B端转角θB;CB杆中点D的竖向线位移⊿DV。各杆EI=常数。EI=常数解:1、作荷载作用下结构的弯矩图。72kN72kN12kN 2524590MP图(kN•m)2、作虚拟力状态下的图M。M=11M3、求θB。图乘时注意图形分块。C1C2y1y2C3C4y3y4 2524590MP图(kN•m)14、作虚拟力状态下的图M。5、求⊿CV，图乘时注意图形分块。3M(m)81C1C2C3C4C5y1y2y3y4y545/4 例：q=16kN/m64kN•m64kN•m16kN•m16kN•m求铰C左右截面相对转角θC。各杆EI=5×104kN·m2。解：作荷载作用下的弯矩图；虚拟力作用下的弯矩图。（注意：①斜杆弯矩图的做法；②各弯矩图的单位。） 3232θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1)-(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EIkN·mmkN/m2=0.005867（弧度）方向与虚拟力方向一致。 §4-6、静定结构温度变化时的位移计算平面杆件结构位移计算的一般公式在此：ε，γ，κ由温度作用引起。注意静定结构特征：①组成：无多余约束的几何不变体系；②静力：温度作用下静定结构无反力、内力；杆件有变形，结构有位移。温度作用时由于材料热胀冷缩，使结构产生变形和位移。 1、温度变化时静定结构的特点：（1）、有变形（热胀冷缩）均匀温度改变（轴向变形）；不均匀温度改变（弯曲、轴向变形）；无剪切变形。（2）、无反力、内力。 2、微段由于温度改变产生的变形计算设温度沿截面厚度直线变化。（1）轴向伸长（缩短）变形：设杆件上边缘温度升高t10，下边缘升高t20。形心处轴线温度：t0=(h1t2+h2t1)/h（截面不对称于形心）t0=(t2+t1)/2（截面对称于形心）du=εds=α·t0dsα——材料线膨胀系数。ds形心轴+t1+t2t0hh1h2αt1dsαt2dsdudφ (2)、由上下边缘温差产生的弯曲变形：上下边缘温差⊿t=t2–t1dφ=κds=α(t2-t1)ds/h=α⊿tds/h（3）温度作用不产生剪切变形γds=0 3、温度作用时位移计算公式如t0，⊿t和h沿每杆杆长为常数，则：①正负号：比较虚拟状态的变形与实际状态中由于温度变化引起的变形，若两者变形方向相同，则取正号，反之，则取负号。②刚架（梁）中由温度变化引起的轴向变形不可忽略。 例：图示刚架，施工时温度为200C，试求冬季当外侧温度为-100C，内侧温度为00C时，点A的竖向位移⊿AV，已知α=10-5，h=40cm（矩形截面）。l=4ml=4mA00C-100C外侧温度改变：t1=-10–20=-300内侧温度改变：t2=0–20=-200-300C-200C l=4ml=4mA-300C-200CFP=1FNFN=0FN=-1FP=1lMt0=(t1+t2)/2=（-30–20）/2=-250⊿t=t2-t1=-20-（-30）=100⊿AV=α×(-25)×(-1)×l+(-)α×10/h×(1/2×l×l+l×l)=-0.5cm(↑) 提问：（1）、若当结构某些杆件发生尺寸制造误差，要求结构的位移，应如何处理？应根据位移计算的一般公式进行讨论。特点：除有初应变（制造误差）的杆件外，其余杆件不产生任何应变。在有初应变的杆件中找κ、ε、γ即可。 （2）、静定结构由荷载、温度改变、支座移动、尺寸误差、材料涨缩等因素共同作用下，产生的位移应如何计算？可先分开计算，在进行叠加 §4-11线性变形体系的互等定理状态Ⅰ状态Ⅱ一、功的互等定理贝蒂（E.Betti意1823—1892）定理FP1FP1FR1FP2⊿21⊿12⊿12dsds令状态Ⅰ上的力系在状态Ⅱ的位移上作虚功 令状态Ⅱ上的力系在状态Ⅰ的位移上作虚功比较（a）、（b）两式，知：W12=W21（6-66）∑FP1⊿12=∑FP2⊿21或写为： 功的互等定理。在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上作的虚功W12，等于第二状态上的外力在第一状态上作的虚功W21。 应用时注意：广义力广义位移对应由：W12=FP1·⊿12，W21=FP2·⊿21有：W12=W21，FP1·⊿12=FP2·⊿12FP1122M2M21⊿21⊿12 功的互等定理应用条件：（1）材料弹性，应力与应变成正比。（2）小变形，不影响力的作用。即为线性弹性体系。思考：功的互等定理必须应用于线性弹性体系，为什么？功的互等定理应用条件与虚功原理有何不同？ 二、位移互等定理（位移影响系数互等）位移互等定理（Maxwell定理）功的互等定理的一个特殊情况。位移互等定理：在任一线性弹性体系中，由荷载FP1所引起的与荷载FP2相应的位移影响系数δ21，等于由荷载FP2所引起的与FP1相应的位移影响系数δ12。 两种状态如图示δij—单位力FPj=1在i方向上引起的与FPi相应的位移，也称位移系数。⊿ij=δij×FPj由功的互等定理W12=W21FP1·δ12=FP2·δ21∵FP1=FP2=1∴δ12=δ21(6-67)注：数值相同，量纲相同。FP1=1FP2=1δ21δ12 广义位移系数量纲（单位）δij=位移单位（实际）引起位移的广义力单位（实际） 例：如图所示，根据位移互等定理，可求得：θA=FPl2/16EIfC=Ml2/16EI现FP=M=1,故:θA=fC=l2/16EI(1/kN=1/力）θA：单位力引起的角位移；fC：单位力偶引起的线位移。位移含义不同，但数值相同，量纲相同。FP=1l/2l/2CM=1δ21=θAδ12=fC 三、反力互等定理反力互等定理（瑞利Regleigh定理）功的互等定理的一种特殊情况。用以说明在超静定结构中，假设两个支座分别发生单位位移，两种状态中反力的相互关系。 同一线性变形体系中的两种变形状态rij—支座j发生单位位移⊿j=1时，在支座i处产生的反力，也称反力影响系数。rij=Rij/⊿j⊿1=1r11⊿2=1r22r21r12 由功的互等定理：W12=W21∵⊿1=⊿2=1r12·⊿1=r21·⊿2∴r12=r21即为反力互等定理。 反力互等定理在任一线性变形体系中，由支座位移⊿1所引起的，与支座位移⊿2相应的反力影响系数r21，等于由支座位移⊿2所引起的与位移⊿1相应的反力影响系数r12。注：数值相等，量纲相等。广义反力系数量纲（单位）：r12=反力R的单位（实际力的单位）位移⊿的单位（实际力的单位） 定理对任何两种支座都适用，注意反力和位移之间的相互对应关系。如图：Δ1=φ1=1Δ2=1Δ3=1r12r21r31r13r23r32r12=r21r13=r31r23=r32 思考：反力互等定理应用于静定结构，情况将如何？如以简支梁为例：⊿1=1⊿2=1r12r21=0=0 四、反力与位移互等定理功的互等定理的又一特殊情况。说明一种状态的反力与另一状态中的位移具有数值上的互等关系。 习题课Ⅰ：静定结构位移计算重点：荷载作用下梁和刚架的位移计算。其他因素作用下位移计算的一般原则。要求：广义虚拟力状态选择。明确虚功原理的使用范围，互等定理的使用范围。明确图乘法的适用条件，能够熟练应用。 复习：位移计算的一般公式：提问：此公式的理论依据是什么？（1）式中包括哪两套物理量？位移，应变（⊿cεγ0κ）给定的外力，内力（FPRFNFQM）虚拟的（2）应用范围？（3）位移计算公式在各种具体情况下的简化公式： 荷载作用：支座移动：温度变化： （4）、图乘公式：注意其适用条件，正负号，图形分段、分块。熟练其计算方法。（5）、互等定理：功的互等定理：W12=W21位移互等定理：δ12=δ21反力互等定理：r12=r21注意其适用条件，应用范围，加深理解。 思考题:判断下列图乘是否正确?图乘结果: 思考题:判断下列图乘是否正确?图乘结果: