天大结构力学课件03

第三章　静定梁、静定平面刚架和三铰拱的计算§3-1概述内力、位移计算几何组成分析超静定结构静定结构 一、静定结构类型静定梁 静定刚架 三铰拱 静定桁架 静定组合结构 静定结构内力计算是超静定结构内力计算和结构位移计算的基础。二、静定结构分析方法选取隔离体约束反力和内力 §3-2静定梁的受力分析受力分析计算约束力计算内力(M、Q和N)绘制内力图杆件之间的作用力杆件—基础之间的作用力 简支梁外伸梁悬臂梁一、单跨静定梁1．单跨静定梁的几种形式 2．梁反力和内力的计算方法1)梁反力：以整个梁为隔离体，利用静力平衡条件求出支座反力。 2)梁内力：截面法（即将梁沿拟求内力截面切开，取截面任一侧的部分为隔离体，隔离体在外力（荷载和支座反力）和切割面内力（M、Q、N对隔离体而言，已转化为外力）的作用下，处于平衡状态，利用静力方程可求得三个内力。） 3）内力的符号规定轴力(N)：以拉力为正。剪力(Q)：使计算截面所在的隔离体有顺时针转动的趋势为正。弯矩(M)：当为水平杆时，使杆下部受拉的弯矩为正。 例3-1计算外伸梁的反力及C截面处的轴力、剪力和弯矩。10kND2kN/mA2m4m2m2m2mCBE10kN 解：1)计算支座反力以整个梁为隔离体，利用三个平衡条件。10kND2kN/mA2m4m2m2m2mCBE10kN 10kND2kN/mA2m4m2m2m2mCBE10kN 10kND2kN/mA2m4m2m2m2mCBE10kN 10kND2kN/mA2m4m2m2m2mCBE10kN 利用进行校核8.84+16.23-10-2×4-10sin45°=0反力计算正确10kND2kN/mA2m4m2m2m2mCBE10kN 2)计算轴力、剪力为了计算截面的轴力、剪力和弯矩，利用截面法。在C处用截面把梁分成两部分，取截面右边或左边部分为隔离体，算出切割面内力。由于截面两侧的某些内力分量会发生突变，为了使内力符号不致出现混淆，内力符号用两个下标表示。 NCA=NCBQCA=QCBMCA≠MCB NCB=-10cos45°=-7.07kNQCB=10sin45°VB=7.07-8.84=-1.77kN 3)计算弯矩10sin45°×4VB×2+MCB=0MCB=10.60 根据结点C平衡MCB=MCA+4MCA=10.64=14.6 3．荷载和内力之间的微分关系 q(x)在dx微段上可视为常数 根据平衡方程，可得出如下公式：M、Q和q三者之间的微分关系， 由微分关系可以看出：(1)梁上无荷载(q=0)的区段，Q图为一水平线，弯矩为一斜直线。(2)梁上有均布荷载(q为常数)区段，Q图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 (3)集中力作用点两侧，剪力有突变，其差值等于该集中力。在集中力作用点处弯矩图是连续的，但因两侧斜率不同，故在弯矩图上形成尖点。 (4)集中力偶作用处，剪力无变化，但在集中力偶两侧弯矩有突变，其差值即为该力偶矩，在弯矩图中形成台阶，又因集中力偶作用面两侧的剪力值相同，所以作用面两侧弯矩图的切线应互相平行。 4．用“拟简支梁区段叠加法”绘弯矩图绘制弯矩图1）求支座反力2）求出各控制截面的M值集中力作用处、均布荷载起点和终点处，这些均为控制截面 3）用竖标按比例标出各控制截面的弯矩4）绘出控制截面间的弯矩内力和荷载之间的微分关系拟简支梁区段叠加法 AB段的隔离体 与AB段同长的简支梁，此梁承受荷载q，两端作用有力偶MAB和MBA。通过对比，QAB=VAQBA=VB 简支梁在MAB和MBA作用下的弯矩图 简支梁在均布荷载q作用下的弯矩图 即为原AB段的弯矩图 这种方法即为“拟简支梁区段叠加法”作图步骤：将区段两端力偶作用下画出的弯矩竖标连以虚直线，以此虚直线为基线，叠加以简支梁在荷载作用下的弯矩图，所得的图线与原水平基线之间所包含的图形，即为原梁该区段的弯矩图。（另加图） 例3-3试绘出图示结构的弯矩和剪力图。 1)计算支座反力HA=0 利用进行校核 2)计算区段两端点的弯矩值和剪力值（求出控制截面的M和Q值）（另加图）AC段 （下边受拉）QCA=VA=53.33kN （另加图）AD段 （下边受拉） （另加图）GE段 （下边受拉） （另加图）BE段 （上边受拉） （另加PowerPoint图） 3)用拟简支梁区段叠加法绘制区段中的M图CD段：将根据MCD与MDC值建立的竖标连以虚直线，以此为基线，叠加以简支梁受均布荷载的M图，并计算出中点弯矩值。 NCA=NCBQCA=QCBMCA≠MCB NCB=-10cos45°=-7.07kNQCB=10sin45°VB=7.07-8.84=-1.77kN 3)计算弯矩10sin45°×4VB×2+MCB=0MCB=10.60 结点CMCB=MCA+4MCA=10.64=14.6 3．荷载和内力之间的微分关系 q(x)在dx微段上可视为常数 根据平衡方程，可得出如下公式：M、Q和q三者之间的微分关系 由微分关系可以看出：(1)梁上无荷载(q=0)的区段，剪力图为一水平线，弯矩图为一斜直线。(2)梁上有均布荷载(q为常数)区段，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 (3)集中力作用点两侧，剪力有突变，其差值等于该集中力。在集中力作用点处弯矩图是连续的，但因两侧斜率不同，故在弯矩图上形成尖点。 (4)集中力偶作用处，剪力无变化，但在集中力偶两侧弯矩有突变，其差值即为该力偶矩。在弯矩图中形成台阶，又因集中力偶作用面两侧的剪力值相同，所以作用面两侧弯矩图的切线应互相平行。 4．用“拟简支梁区段叠加法”绘弯矩图 AB段隔离体 与AB段同长的简支梁，此梁承受荷载q，两端作用有力偶MAB和MBA。通过对比，QAB=VAQBA=VB 简支梁在MAB和MBA作用下的弯矩图 简支梁在均布荷载q作用下的弯矩图 该图为上面两个图叠加（纵坐标的叠加），即为原AB段的弯矩图。该方法称为“拟简支梁区段叠加法”。 “拟简支梁区段叠加法”作图步骤：将区段两端力偶作用下画出的弯矩竖标连以虚直线，以此虚直线为基线，叠加简支梁在荷载作用下的弯矩图，所得的图线与原水平基线之间所包含的图形，即为原梁该区段的弯矩图。 绘制弯矩图1）求支座反力2）求出各控制截面的M值集中力作用处、均布荷载起点和终点处，这些均为控制截面 3）用竖标按比例标出各控制截面的弯矩4）绘出控制截面间的弯矩内力和荷载之间的微分关系拟简支梁区段叠加法 例3-3试绘出图示结构的弯矩图和剪力图。 1)计算支座反力HA=0 2)计算区段两端点的弯矩值和剪力值（求出控制截面的M和Q值） （下边受拉）QCA=VA=53.33kNAC段 AD段（下边受拉） AD段 GE段（下边受拉） GE段 BE段（上边受拉） BE段 3)用拟简支梁区段叠加法绘制区段中的M图CD段：将根据MCD与MDC值建立的竖标连以虚直线，以此为基线，叠加简支梁受均布荷载的M图，并计算出中点弯矩值。 106.66159.98173.32CFD 2060EB ()20 5、斜梁的内力图斜梁：杆轴是倾斜的梁。(1)斜梁的荷载荷载q用沿水平线每单位长度内作用的力表示。 ds荷载q’表示沿斜梁轴线每单位长度内荷载的量值。（楼梯自重的集度） 为便于计算，根据在同一微分段范围内合力相等的原则，将q’折算成沿水平方向度量的集度。 ds (2)斜梁的内力计算 1)支座反力计算 斜梁与水平简支梁的反力完全相同的。 2)弯矩计算 斜梁与水平简支梁的跨中弯矩均为。推算：在HA=0前提下,斜梁与水平简支梁在x值相同的各个截面的弯矩值相同。 3)剪力和轴力的计算斜梁的剪力垂直于杆轴，而轴力顺沿杆轴。 斜梁在竖向荷载作用下，弯矩分布与等跨且同荷载的水平简支梁相同，但剪力不同且存在轴力。若斜梁的荷载有水平荷载，则上面的关系不成立，应用截面法具体分析。 (3)绘制斜梁内力图应注意问题：1)M图画在杆件受拉一侧。2)计算内力时，截面应垂直杆轴，内力先假设为正方向。3)内力图的竖标应垂直于杆轴。 作业：例3-2，习题3.1(b)，例3-4 6.曲梁的内力计算角表示曲梁各个点拱轴切线与水平线之间的夹角。角正负号规定：角在左半跨为正，在右半跨为负。 简支曲梁与简支斜梁相比，斜梁的倾角为一常数，而曲梁每个截面的倾角随截面位置而变化。 例3-5绘出曲梁的内力图，设曲梁的轴线方程为。 1)计算支座反力根据对称性 P36图3-13a)第二个图 曲梁与同跨度、同荷载的水平简支梁相比支座反力相同。 2)弯矩计算 曲梁与同跨度、同荷载的水平简支梁相比相应截面弯矩相同。 3)各截面倾角计算4)剪力、轴力计算 P36图3-13b)利用斜梁的剪力和轴力公式 P36图3-13c) 若荷载有水平荷载，则上面的关系不成立，应用截面法具体分析。 6.曲梁的内力计算角表示曲梁各个点拱轴切线与水平线之间的夹角。角正负号规定：角在左半跨为正，在右半跨为负。 简支曲梁与简支斜梁相比，斜梁的倾角为一常数，而曲梁每个截面的倾角随截面位置而变化。 例3-5绘出曲梁的内力图，设曲梁的轴线方程为。 1)计算支座反力根据对称性 曲梁与同跨度、同荷载的水平简支梁相比:支座反力相同。 2)弯矩计算 曲梁与同跨度、同荷载的水平简支梁相比:相应截面弯矩相同。 3)各截面倾角计算 4)剪力、轴力计算 若荷载有水平荷载，则上面的关系式不成立，需用截面法具体分析。 二、多跨静定梁1．几何组成AB部分不依赖于相邻部分BD的存在，独立地与基础组成一个几何不变体系，该部分称之为基本部分。 BD部分需依靠基本部分AB才能保持其几何不变性，该部分称之为附属部分。 对于多跨静定梁的几何组成而言，它的各部分可区分为基本部分和附属部分。 多跨静定梁几何组成基本部分特征：若撤除附属部分，基本部分仍然是几何不变的。附属部分特征：若基本部分被撤掉或破坏，附属部分随之丧失几何不变性。 2．支承关系：基本部分相当于附属部分的基础，前者为后者提供支承。3．组成次序：先固定基本部分，后固定附属部分。 4．计算原则：先计算附属部分，后计算基本部分。求出基本部分给予附属部分的约束反力后，与其等值反向的力即是加于基本部分的荷载。 例3-7计算多跨静定梁的反力，并绘内力图。 解：基本部分：AC附属部分：CE 计算附属部分的约束反力： 基本部分： （下边受拉） 例3-8绘出多跨静定梁的内力图 解：几何组成分析：GH是支承于组合基本部分AG之上的附属部分。 CD与DG两杆是几何不变互相依赖，且以基本部分AC为依托的。 组成次序GHCDEFGAC 1)计算反力：(1)计算附属部分GH根据对称性 (2)计算CDEFG部分①计算DG还有、、三个未知力。 ②计算CD根据对称性 ③计算DG ②计算CD根据对称性 (3)计算AC 2．绘制内力图 习题3.5作业：例3-6 3-3静定平面刚架的内力计算一、刚架的组成1.刚架的定义：刚架是由若干直杆，部分或全部用刚结点联结而成的一种结构。当荷载、反力和杆的轴线同在一个平面之内时，称为平面刚架。 2.特点：1)从变形角度来看，在刚结点处各杆不能发生相对移动和转动，因而各杆间的夹角始终保持不变。 2)从受力角度来看，刚结点可以承受和传递弯矩，因而在刚架中弯矩是主要内力。（不传递弯矩）（可传递弯矩，将梁上弯矩传递到柱上） 3)从使用角度来看，刚架具有较大净空，便于使用。 3.静定刚架的基本形式凡是反力与内力可全部由静力平衡条件确定的刚架为静定刚架。简支刚架悬臂刚架三铰刚架 二、静定刚架的内力分析除悬臂刚架外，在对静定刚架进行内力分析之前，一般先需求出支座反力。 1.三铰刚架支座反力的计算方法： 在荷载作用下，三铰刚架共有四个支座反力：和。以刚架整体为隔离体时，只能提供三个平衡方程，还必须利用顶铰处Mc=0的性质。 利用的性质在隔离体上作用着原有荷载和支座反力以及顶铰处的约束力，以C为矩心，列力矩平衡式，可再补充一个方程。 2．多跨静定刚架ⅢⅠⅡⅣⅠⅡⅢⅣ 3．多层静定刚架顶层　　　中间层　　　底层 对于多跨静定刚架和多层静定刚架应通过几何组成分析，区分基本部分和附属部分，明确各部分间的支承关系。计算次序应逆几何组成的次序。 例3-9绘出刚架的内力图 悬臂刚架，计算内力时可不必先计算支座反力。先求出控制点处截面内力，然后利用荷载与内力的微分关系绘出控制点之间的内力图。 1）作弯矩图（上边受拉）EC段： C EB段：（上边受拉）（上边受拉） DF段：（上边受拉） FB段：（上边受拉）（上边受拉） BA段：因为荷载对称，所以相互抵消。 在均布荷载作用的区段，采用拟简支梁区段叠加法进行M图的绘制。M图应画在杆件受拉一侧。由于结构及荷载均对称，故弯矩图的图形也是对称的。