八年级数学下册第二十一章一次函数21.4一次函数的应用水库蓄水与排放素材新版冀教版

水库蓄水与排放最近几年由于经济的突飞猛进的发展，而部分行业对环境保护不太重视，出现了城市的缺水、北京的沙尘暴、长江的水质灾等。党和国家最近花了大力气彻底治理大江大河，并建了大型水利设施，在这些水库中经常会涉及进水、放水的问题。下面我们就水库的进水、出水问题以及油罐的进油、出油问题作一些探讨。例1一个水库有进水闸、放水闸各一个，单独进水4小时可以装满一库水，单独放水6小时可以放完一库水。当水库中的水占满水库水的时，同时开进水闸和放水闸，设两闸开放的时间用x（小时）表示，水库中的水占满库水的几分之几用y（库）表示。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）在直角坐标系内画出（1）题中的函数图像（要求用描点法画图，不写作法）；（3）求当水库中从有水到有半库水时，两闸开放的时间。解：（1）因为单独进水每小时可装满库水的，单独放水每小时可放去满库水的，所以同时开放两闸x小时，水库中增加的水量为（库），由题意，得函数关系式又由题意，得所以自变量x的取值范围是（2）取，得；取，得描出点和点，然后连线线段AB，线段AB就是的图像。（3）由题意，得，解得.4 故当水库从有水到有半库水时两闸开放的时间为3小时（或利用图像求出）。例2某油库有一大型油罐，在开始的8分钟内，只开进油管，不开出油管，油罐的油进至24吨（原油罐没储油）后，将进油管和出油管同时打开16分钟，油罐内的油从24吨增至40吨，随后又关闭过油管，只开出油管，直到将油罐内的油放完。假设在单位时间进油管与出油管的流量分别保持不变。（1）试分别写出这三段时间内油罐的储油量Q（吨）与进出油的时间t（分）的函数关系式。（2）在同一坐标系中，画出这三个函数的图像。（1997年湖北省孝感市中考题）解：（l）（Ⅰ）当时，Q＝3t；（Ⅱ）当时，设由于t＝8时，Q＝24；t＝24时，Q＝40。将它们分别代入，求得k＝1，b＝16。。（Ⅲ）当t＞24时，储油罐内只放油，不过油，在第9分钟时，油罐内是边进油，边放油；如果只进油，不放油，则由（Ⅰ）可知，油罐内应有3×9＝27吨油。事实上，由（Ⅱ）知当t＝9时，Q＝25吨。这说明若打开出油管，每分钟出油2吨。因此，再经过20分钟，可将40吨油全部放完。∴t的取值范围是。∴Q＝－2＋88（）。注意，第三段的函数关系式不能写成：Q＝－2t＋40∵我们可以设其函数解析式为Q＝－2t＋m，∴当t＝44时，Q＝0代入表达式可设0＝－2×44＋m4 （2）画函数的图像，在坐标系中依次描出点O（0，0）A（8，24）、B（24，40）、C（44，0），过这些点画线段，这三条线段即为所求。如果您去过农村或生活在农村，我想您对拖拉机一定不生疏，拖拉机如今早已替换了以前老黄牛，是而今的最重要的耕地、运输的工具之一，下面我们这一道题是与拖拉机燃油有关的一个问题。例3拖拉机耕地时，每小时耗油量一般来说是个基本不变的常量。已知拖拉机耕地2小时，油箱余油28升；耕地3小时，油箱中余油22升。（1）写出油箱中余油量Q（升）与工作时间t（小时）之间的函数关系式。（2）这台拖拉机工作了3小时后，油箱中的油还可以供拖拉机统续耕地几小时？（注：本题是安徽省1997年中考题）分析：由题意假设了拖拉机每小时的耗油量是个常数，故我们可以知道余油量和工作时间它们应该呈一次函数关系。故可设Q＝kt＋b。然后采用待定系数法求解之。解：（1）设Q＝kt＋b，由题意知当t＝2小时，Q＝24升，当t＝3小时，Q＝22升，又（2）在Q＝－t＋40中，令Q＝0的－6t＋40＝0（小时）（小时）4 即还可继续工作3小时。例4令一个附有进水、出水管的容器，每单位时间内进出的水量都是一定的，设从某时刻开始的4分钟内只进水，不出水，在随后的8分钟内既进水，又出水，得到时间x（分）与水量y（升）之间的关系如图所示。（1）每分钟进水多少？（2）4≤x≤12时，x与y有何关系？（3）若12分钟以后只放水，不进水，求y的表达式。分析：首先要正确认识图像（折线），从中挖掘变量与不变量、变量与变量间有怎样的联系，进而建立适合题意的一次函数关系式，将问题转化为研究我们所熟悉的一次函数性质。解：（1）由图可知，前4分钟进水20升，故每分钟过水5升。（2）当4＜x＜12时，y的图像是线段，通过点（4，20）、（12，30）把坐标代入y＝kx＋b，可以求得x与y的关系是：，（3）当时，，从到，y增加，故每分钟出水（升），因此到第13分钟时，容器内的水量是，即时直线通过点（12，30）、（13，），代入，可以解得，说明：以上例子的基本解题方法是根据实际问题中的数量关系，结合有关公式、定理，列出该题的函数解析式，再根据图像及性质求解。4