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建筑力学 绪论 一、建筑力学的任务建筑力学是一门重要的专业基础课，掌握基本的力学知识和计算方法可为建筑工程领域的结构设计和建筑施工等提供基本保障，也为进一步学习相关的专业课程打下必要的基础。第一节建筑力学的任务和内容 荷载：建筑物各部分的自重、人和设备的重力、风力等等，这些直接主动作用在建筑物上的外力在工程上统称为荷载。结构、构件：在建筑物中承受和传递荷载而起骨架作用的部分或体系称为结构。组成结构的每一个部件称为构件。 结构分类1按组成结构的形状及几何尺寸分类：杆件结构（即长度远大于截面尺寸的构件）如梁柱等杆件结构依照空间特征分类：平面杆件结构：凡组成结构的所有杆件的轴线在一平面内空间杆件结构薄壁结构（长度和宽度远大于厚度的构件）如薄板薄壳实体结构(长宽高接近的结构）如挡土墙堤坝等 如图0–1是一个单层工业厂房承重骨架的示意图，它由屋面板、屋架、吊车梁、柱子及基础等构件组成,每一个构件都起承受和传递荷载的作用。如屋面板承受着屋面上的荷载并通过屋架传给柱子，吊车荷载通过吊车梁传给柱子，柱子将其受到的各种荷载传给基础，最后传给地基。图0-1 赵州桥 纽约世贸中心 上海世界环球金融中心 悉尼歌剧院 斜拉桥 三峡大坝 平衡状态无论是工业厂房或是民用建筑、公共建筑，它们的结构及组成结构的各构件都相对于地面保持着静止状态，这种状态在工程上称为平衡状态。保证构件的正常工作必须同时满足三个要求：（1）在荷载作用下构件不发生破坏，即应具有足够的强度；（2）在荷载作用下构件所产生的变形在工程允许的范围内，即应具有足够的刚度；（3）承受荷载作用时，构件在其原有形状下的平衡应保持稳定的平衡，即应具有足够的稳定性。 构件的强度、刚度和稳定性统称为构件的承载能力。其高低与构件的材料性质、截面的几何形状及尺寸、受力性质、工作条件及构造情况等因素有关。在结构设计中，如果把构件截面设计得过小，构件会因刚度不足导致变形过大而影响正常使用，或因强度不足而迅速破坏；如果构件截面设计得过大，其能承受的荷载过分大于所受的荷载，则又会不经济，造成人力、物力上的浪费。因此，结构和构件的安全性与经济性是矛盾的。建筑力学的任务就在于力求合理地解决这种矛盾。即：研究和分析作用在结构（或构件）上力与平衡的关系，结构（或构件）的内力、应力、变形的计算方法以及构件的强度、刚度和稳定条件，为保证结构（或构件）既安全可靠又经济合理提供计算理论依据。 二、建筑力学的研究内容要处理好构件所受的荷载与构件本身的承载能力之间的这个基本矛盾，就必须保证设计的构件有足够的强度、刚度和稳定性。建筑力学就是研究多种类型构件(或构件系统)的强度、刚度和稳定性问题的科学。各种不同的受力方式会产生不同的内力，相应就有不同承载能力的计算方法，这些方法的研究构成了建筑力学的研究内容。 第二节学习建筑力学的目的建筑力学是研究建筑结构的力学计算理论和方法的一门科学，它是建筑结构、建筑施工技术、地基与基础等课程的基础，它将为读者打开进入结构设计和解决施工现场许多受力问题的大门。显然作为结构设计人员必须掌握建筑力学知识，才能正确的对结构进行受力分析和力学计算，保证所设计的结构既安全可靠又经济合理。作为施工技术及施工管理人员，也要求必须掌握建筑力学知识。知道结构和构件的受力情况，什么位置是危险截面，各种力的传递途径以及结构和构件在这些力的作用下会发生怎样的破坏等等，才能很好地理解图纸设计的意图及要求，科学地组织施工，制定出合理的安全和质量保证措施；在施工过程中，要将设计图纸变成实际建筑物，往往要搭设一些临时设施和机具，确定施工方案、施工方法和施工技术组织措施。如对一些重要的梁板结构施工，为了保证梁板的形状、尺寸和位置的正确性，对安装的模板及其支架系统必须要进行设计或验算；进行深基坑（槽）开挖时，如采用土壁支撑的施工方法防止土壁坍落，对支撑特别是大型支撑和特殊的支撑必须进行设计和计算，这些工作都是由施工技术人员来完成的。因此，只有懂得力学知识才能很好地完成设计及施工任务，避免发生质量和安全事故，确保建筑施工正常进行。 第一章静力学基础第一节基本概念一、力1.力的定义力是物体之间相互的机械作用。由于力的作用，物体的机械运动状态将发生改变，同时还引起物体产生变形。前者称为力的运动效应（或外效应）；后者称为力的变形效应（或内效应）。在本课程中，主要讨论力对物体的变形效应。 2.力的三要素力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点，这三个因素称为力的三要素。实际物体在相互作用时，力总是分布在一定的面积或体积范围内，是分布力。如果力作用的范围很小，可看成是作用在一个点上，该点就是力的作用点，建筑上称这种力为集中力。 （1）力是矢量。力是一个既有大小又有方向的量，力的合成与分解需要运用矢量的运算法则，因此它是矢量（或称向量）。（2）力的矢量表示。矢量可用一具有方向的线段来表示，如图1-2所示。用线段的长度（按一定的比例尺）表示力的大小，用线段的方位和箭头指向表示力的方向，用线段的起点或终点表示力的作用点。通过力的作用点沿力的方向的直线称为力的作用线。本教材中以黑体的字母，如、等来表示矢量，白体的字母则代表该矢量的模（大小）。（3）力的单位。在国际单位制中，力的单位是牛顿，用字母N表示。另外，有时还用到比牛顿大的单位，千牛顿（）。图1-1图1-2 二、力系1．力系。作用在物体上的若干个力的总称为力系，以表示，如图1-3a。力系中各个力的作用线如果不在同一平面内，则该力系称为空间力系；如果在同一平面内，则称为平面力系。2．等效力系。如果作用于物体上的一个力系可用另一个力系来代替，而不改变原力系对物体作用的外效应，则这两个力系称为等效力系或互等力系，以表示,如图1-3b。 （b）（c）图1-3 3．合力。如果一个力与一个力系等效，则力称为此力系的合力，而力系中的各力则称为合力的分力，如图1-3c.4．物体的平衡及平衡力系所谓物体的平衡，建筑工程上一般是指物体相对于地面保持静止状态或作匀速直线运动状态。要使物体处于平衡状态，作用于物体上的力系必需满足一定的条件，这些条件称为力系的平衡条件。作用于物体上正好使之保持平衡的力系则称为平衡力系。静力学研究物体的平衡问题，实际上就是研究作用于物体上的力系的平衡条件，并利用这些条件解决具体问题。 三、荷载工程中的各类建筑物，如房屋、桥梁以及水塔等，在使用过程中都要受到各种力的作用。如工业厂房，其受到的力有自重、风力、屋顶积雪重量、吊车作用力等。这些直接主动作用于建筑物上的外力称为荷载， 若荷载分布在整个构件内部各点上的，如重力、万有引力等，称为体分布荷载；有的荷载是分布在构件表面上的，如屋面板上雪的压力、水坝上水的压力、挡土墙上土的压力、蒸汽机活塞上汽的压力等，称为面分布荷载。如果荷载是分布在一个狭长的面积或体积上，则可以把它简化为沿长度方向的线分布荷载，例如，梁的自重就可以简化为沿其轴线分布的线荷载。这样用线分布荷载来代替实际的分布荷载，对结构的平衡并无影响，但可使计算简化。线分布荷载的大小用其集度（即荷载沿分布线的密集程度）来表示，其常用单位为N/m或kN/m。线荷载集度为常数的分布荷载称为均布荷载。 在计算简图上，均简化为作用于杆件轴线上的分布线荷载、集中荷载、集中力偶，并且认为这些荷载的大小、方向和作用位置是不随时间变化的，或者虽然有变化但极其缓慢，使结构不至于产生显著的运动（如吊车荷载、风荷载等），这类荷载称为静荷载。如果荷载的大小、方向或作用位置变化剧烈，能引起结构明显的运动或振动（如打桩机的冲击荷载等），这类荷载则称为动力荷载。本课程讨论的主要是静力荷载。 四、刚体所谓刚体，就是指在受力情况下保持其几何形状和尺寸不变的物体，亦即受力后物体内部任意两点之间的距离保持不变的物体。显然，这只是一个理想化了的模型，实际上并不存在这样的物体。这种抽象简化的方法，虽然在研究许多问题时是必要的，而且也是许可的，但它是有条件的。值得庆幸的是，在许多情况下，物体变形都很小，将它们忽略不计，对研究结果无明显影响。实际建筑中构件的变形通常是非常微小的，在许多情况下，可以忽略不计。例如一根梁，当其受力弯曲时，由于变形微小，支点之间距离（跨度）的变化量也很小，从而在求支座约束力时可按跨度不变的情况来考虑。 第二节静力学公理一、作用力与反作用力公理大量实验事实证明，物体间的作用总是相互的。两个物体之间的作用力与反作用力，沿同一条直线，大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上。 二、二力平衡公理作用于刚体上的两个力，使刚体处于平衡状态的必要与充分条件是：这两个力大小相等，指向相反，且作用于同一直线上（即等值、反向、共线）（图1-6）。图1-6 只受两个力作用而处于平衡的物体称为二力体，如图1-7所示。机械及建筑结构中的二力体常常统称为二力构件，它们的受力特点是：两个力的方向必在二力的作用点的连线上。如果二力构件是一根直杆，则称为二力杆，或称为链杆。图1-7 应用二力体的概念，可以很方便地判定结构中某些构件的受力方向。如图图1-8a所示三铰刚架，当不计自重时，其部分只可能通过铰Ｃ和铰Ｅ两点受力，是一个二力构件，故Ｃ、Ｅ两点处的作用力必沿ＣＥ连线的方向，如图图1-8b所示。 三、平衡力系公理在作用于刚体上的已知力系中，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的效应。这是因为平衡力系对刚体作用的总效应等于零，它不会改变刚体的平衡或运动的状态。这个公理常被用来简化某一已知力系。应用这个公理可以导出作用于刚体上的力的如下一个重要性质。图1-9力的可传性原理：作用于刚体上的力，可沿其作用线任意移动而不改变它对刚体的作用外效应。例如，图1-9中在车后点加一水平力推车，如在车前点加一水平力拉车，对于车的运动效应而言，其效果是一样的。图1-9 四、力的平行四边形法则图1-11，作用于物体上同一点上的两个力，其合力也作用在该点上，至于合力的大小和方向则由以这两个力为边所构成的平行四边形的对角线来表示，如图1-11a所示，而原来的两个力称为这个合力的分力。图1-11 第三节约束与约束力 第三节约束与约束力一、约束与约束力的概念1．自由体在空间能向一切方向自由运动的物体，称为自由体。当物体受到其他物体的限制，因而不能沿某些方向运动时，这种物体就成为非自由体。2．约束限制非自由体运动的物体便是该非自由体的约束，如图1-12。3．约束力约束施加于被约束物体上的力称为约束力，如图1-12b。 二、工程中常见的约束及约束力1．柔体约束（柔索）工程上常用的绳索（包括钢丝绳）、胶带和链条等所形成的约束，称为柔体约束2．光滑面约束当两物体接触面上的摩擦力很小时，可以认为接触面是“光滑”的。光滑面的约束力通过接触处，方向沿接触面的公法线并指向被约束的物体（即只能是压力），如图1-13所示。这种约束力也称为法向约束力。 3．光滑铰链约束（1）固定铰链支座（2）活动铰链支座4．固定端约束如房屋的雨篷（图1-24a）牢固地嵌入墙内的一端等，其约束便是固定端约束。 第四节物体的受力分析 第四节物体的受力分析从周围物体的约束中分离出来的研究对象，称为分离体或自由体；同时把画有分离体及其所受外力（包括主动力和约束力）的图称为受力图（或分离体图、自由体图） 一、单个物体的受力分析单个物体受力分析较简单，只将单个物体作为研究对象进行受力分析即可。架的受力图如图1-26b所示。 二、物体系统的受力分析物体系统的受力分析较单个物体受力分析复杂，一般是先将系统中各个部分作为研究对象，分别进行单个物体受力分析，最后再将整个系统作为研究对象进行受力分析。 小结1．静力学是研究物体在力系作用下平衡规律的科学，它主要是解决力系的简化（或力系的合成）问题和力系平衡的问题。2．力是物体之间的相互作用，力对物体作用的效应，决定于力的大小、方向（包括方位和指向）和作用点这三要素。3．直接主动作用于物体上的外力称为荷载，建筑物中支承荷载、传递荷载而起骨架作用的部分称为结构。结构中的每一个基本部分称为构件。4．静力学四公理：作用力与反作用力公理、二力平衡公理、平衡力系公理、力的平行四边形法则。5．在空间能向一切方向自由运动的物体，称为自由体。当物体受到其他物体的限制，因而不能沿某些方向运动时，这种物体就成为非自由体。限制非自由体运动的物体便是该非自由体的约束。约束施加于被约束物体上的力称为约束力。6．工程中常见的约束及约束力：柔体约束（柔索）、光滑面约束、光滑铰链约束、固定端约束四种。7．物体的受力分析：单个物体的受力分析、物体系统的受力分析。 第二章平面汇交力系 学习目标：1.理解力的合成与平衡的几何法和解析法。2.会用力的合成与平衡的几何法和解析法解决实际问题。各力的作用线在同一平面内且相交于一点的力系，称为平面汇交力系，它是一种基本的力系，也是工程结构中常见的较为简单的力系 第一节平面汇交力系合成与平衡的几何法 第一节平面汇交力系合成与平衡的几何法一、合成1．三力情况设刚体上作用有汇交于同一点的三个力F1、F2、F3，如图2-1a所示。显然，连续应用力的平行四边形法则，或力的三角形法则，就可以求出三个力的合力。以力多边形求合力的方法称为平面汇交力系合成的几何法。 2．一般情况上述方法可以推广到包含任意几个力的汇交力系求合力的情况，合力的大小和方向仍由多边形的封闭边来表示，其作用线仍通过各力的汇交点，即合力等于力系中各力的矢量和（或几何和），其表达式为 二、平衡物体在平面汇交力系作用下平衡的必要和充分条件是合力等于零，用矢量式表示为 三、三力平衡汇交定理若刚体受三个力作用而平衡，且其中两个力的作用线相交于一点，则三个力的作用线必汇交于一点，而且共面。 第二节平面汇交力系合成与平衡的解析法 第二节平面汇交力系合成与平衡的解析法求解平面汇交力系合成与平衡问题的解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的。 一、力在坐标轴上的投影如已知力的大小和力分别与轴及轴正向间的夹角、，则由图2-7可知 若已知力在正交坐标轴上的投影为和，则由几何关系可求出力的大小和方向 二、合力投影定理 即合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和（为了表达上的简便，以下各分力在轴或轴上的代数和简记为或），这就是合力投影定理。 小结1．各力的作用线在同一平面内且相交于一点的力系，称为平面汇交力系。研究平面汇交力系重点是讨论平衡问题。研究的方法有：①几何法（矢量法）；②解析法（投影法）。2.平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力为零。3.求解平面汇交力系合成与平衡问题的解析法是以力在坐标轴上的投影为基础的。 第三章平面一般力系 学习目标：1.理解力的平移定理和平面一般力学向一点简化。2.能用力的平移定理和平面一般力学向一点简化解决实际问题。 所谓平面一般力系，是指位于同一平面内的诸力，其力的作用线既不汇交于一点，也不互相平行的情况。工程计算中的很多实际问题都可简化为平面一般力系问题来处理 第一节力的平移定理 第一节力的平移定理 可见，一个力可以分解为一个等值与其平行的力和一个位于平面内的力偶。反之，一个力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用一个位于力偶作用平面内的力来等效替换。力线平移定理不仅是下一节中力系向一点简化的理论依据，而且也可以用来分析力对物体的作用效应。 第二节平面一般力系向作用面内任一点简化 第二节平面一般力系向作用面内任一点简化 综上所述，可得如下结论：平面一般力系向一点简化可得到作用于简化中心的力和一个力偶；这个力的矢量等于力系的主矢，而这个力偶之矩等于力系中各力对简化中心之矩的代数和。 三、平面一般力系的合力矩定理合力矩定理平面一般力系如果有合力，则合力对该力系作用面内任一点之矩等于力系中各分力对该点之矩的代数和。 第三节平面一般力系的平衡方程 第三节平面一般力系的平衡方程 当物体处于平衡时，作用于其上的平面力系中各力在两个任选的坐标轴（两坐标轴不一定正交）中每一轴上投影的代数均等于零，各力对于任一点之矩的代数和也等于零。 二、平衡方程的其他形式平面一般力系平衡的解析条件除了式（4-6）表示的那种基本形式外，还可以写成二矩式、三矩式和平面平行力系平衡条件表达式等形式。 上述三组方程都可以来解决平面一般力系的平衡问题。究竟选哪一组方程须根据具体情况确定，但无论采取哪一组方程，都只能求解三个未知量。解题时，一般来说，力求所写出的每一个平衡方程中只含有一个未知量。 也就是说，平面平行力系平衡的必要条件和充分条件是：力系中各力的代数和以及各力对任一点之矩的代数和都等于零。 小结1.平面一般力系是指位于同一平面内的诸力，其力的作用线既不汇交于一点，也不互相平行的情况。2．力的平移定理：作用在刚体上某点的力，可以平行移动到该刚体上任一点，但必须同时附加一个力偶，其力偶矩等于原来的力对平移点之矩。3．主矢与主矩。4．平面一般力系平衡方程的基本形式和其他形式。5．平面一般力系平衡方程的应用。 第四章材料力学基础 学习目标：1.了解变形固体及其基本假定。2.初步了解杆件的基本变形形式。3.了解内力的含义。4.了解截面法的基本步骤。5.理解杆件、横截面、轴线定义。6.理解应力的定义，领会任意应力分解为正应力与剪应力。 第一节变形固体的性质及其基本假设一、变形固体的概念材料力学所研究的构件，其材料的物质结构和性质虽然千差万别，但却具有一个共同的特性，即它们都由固体材料制成，如钢、木材、混凝土等，而且在荷载作用下会产生变形。因此，这些物体统称为变形固体。 弹性变形变形固体的变形（按变形性质分类）塑性变形 理想弹性体的概念去掉外力后能完全恢复原状的物体称为理想弹性体。实际上，并不存在理想弹性体！但常用的工程材料如金属、木材等当外力不超过某一限度时（称弹性阶段），很接近于理想弹性体，这时可将它们视为理想弹性体。 小变形工程中大多数构件在荷载作用下，其几何尺寸的改变量与构件本身的尺寸相比，常是很微小的，我们称这类变形为“小变形”。在后面的章节中，将研究构件在弹性范围内的小变形。 二、变形固体的基本假设材料力学研究构件的强度、刚度、稳定性时，常根据与问题有关的一些主要因素，省略一些关系不大的次要因素，对变形固体作了如下假设：1．连续性假设2．均匀性假设3．各向同性假设 1．连续性假设连续是指材料内部没有空隙。认为组成固体的物质毫无间隙地充满了固体的几何空间。实际的固体物质，就其结构来说，组成固体的粒子并不连续。但它们之间所存在的空隙与构件的尺寸相比，极其微小，可以忽略不计。 2．均匀性假设均匀是指材料的性质各处都一样。认为在固体的体积内，各处的力学性质完全相同。就金属材料来说，其各个晶粒的力学性质，并不完全相同，但因在构件或构件的某一部分中，包含的晶粒为数极多，而且是无规则地排列的，其力学性质是所有晶粒的性质的统计平均值，所以可以认为构件内各部分的性质是均匀的。 3．各向同性假设认为固体在各个方向上具有相同的力学性质。具备这种属性的材料称为各向同性材料。金属、玻璃、塑胶等，都是各向同性材料。如果材料沿不同方向具有不同的力学性质，则称为各向异性材料，如木材、竹材、纤维品和经过冷拉的钢丝等。我们所研究的，主要限于各向同性材料。 第二节杆件变形的基本形式一、杆件所谓杆件，是指长度远大于其它两个方向尺寸的构件。如房屋中的梁、柱，屋架中的各根杆等。 杆件的形状和尺寸可由杆的横截面和轴线两个主要几何元素来描述。横截面是指与杆长方向垂直的截面，而轴线是各横截面形心的连线。轴线为直线、横截面相同的杆件称为等直杆。材料力学主要研究等直杆。 二、杆件变形的基本形式1．轴向拉伸或压缩2．剪切3．扭转4．弯曲 1．轴向拉伸或压缩在一对方向相反、作用线与杆轴重合的拉力或压力作用下，杆件沿着轴线伸长（图a）或缩短（图b） 2．剪切在一对大小相等、指向相反且相距很近的横向力作用下，杆件在二力间的各横截面产生相对错动。 3．扭转在一对大小相等、转向相反、作用面与杆轴垂直的力偶作用下，杆的任意两横截面发生相对转动。 4．弯曲在一对大小相等、方向相反、位于杆的纵向平面内的力偶作用下，杆件轴线由直线弯成曲线。 工程实际中的杆件，可能同时承受不同形式的荷载而发生复杂的变形，但都可以看做是以上四种基本变形的组合。 第三节内力、截面法及应力的概念一、内力内力是杆件在外力作用下，相连两部分之间的相互作用力。内力是由外力引起的并随着外力的增大而增大。但对构件来说，内力的增大是有限的，当内力超过限度时，构件就会破坏。所以研究构件的承载能力必须先分析其内力。 二、截面法截面法是求内力的基本方法。要确定杆件某一截面上的内力，可以假想地将杆件沿需求内力的截面截开，将杆分为两部分，并取其中一部分作为研究对象。此时，截面上的内力被显示出来，并成为研究对象上的外力，再由静力平衡条件求出此内力。这种求内力的方法，称为截面法。 截面法可归纳为三个步骤：1．截开欲求某一截面上的内力时，沿该截面假想地把杆件分成两部分（图5-3a），任取一部分作为研究对象。2．代替用作用于截面上的内力代替弃去部分对研究部分的作用（图5-3b）或（图5-3c）。3．平衡对研究部分建立平衡方程，从而确定截面上内力的大小和方向。图5-3 三、应力构件的破坏不仅与内力大小有关，还与内力在构件截面上的密集程度（简称集度）有关。通常将内力在一点处的集度称为应力。用式子表示为：P称为E点处应力。 通常应力P与截面既不垂直也不相切。材料力学中总是将它分解为垂直于截面和相切于截面两个分量。垂直于截面的应力分量称为正应力或法向应力，用σ表示；相切于截面的应力分量称为剪应力或切向应力，用τ表示。 单位换算： 本章小结本章讨论了材料力学的一些基本概念。1．材料力学的研究对象是由均匀、连续、各向同性的弹性体材料制成的杆件。2．杆件的四种基本变形形式（1）轴向拉伸或压缩（2）剪切（3）扭转（4）弯曲 3.内力与应力的概念内力是杆件在外力作用下，相连两部分之间的相互作用力。工程上最常见的是计算杆件横截面上的内力。应力是内力在某一点处的集度，杆件中某截面上任一点的应力一般有两个分量：正应力和剪应力。4.求内力的基本方法----截面法步骤：截开；代替；平衡。 第五章扭转 学习目标：1.了解外力偶矩的计算，扭矩的概念和扭矩图的画法。2.理解圆轴扭转时横截面上剪应力分布规律和强度计算。3.掌握圆轴扭转变形时的刚度和变形（相对扭转角）计算。 第六章梁的弯曲 一、弯曲变形和平面弯曲弯曲是构件变形的基本形式之一。当一杆件在两端承受一对等值、反向的外力偶作用，且力偶的作用面与杆件的横截面垂直时，如图8-1（a），杆件的轴线由直线变为曲线，这种变形称为弯曲变形，简称弯曲。图8-1（a）（b）第一节梁的平面弯曲 有时，杆件在一组垂直于杆轴的横向力作用下也发生弯曲变形，如图8-1（b），发生这种弯曲变形时还伴有剪切变形，此称为剪切弯曲或横向弯曲。常见的梁就是以弯曲变形为主的构件。例如房屋建筑中的悬臂梁(图8-2(a)),楼面梁(图8-2(b))等。 (a)(b)图8-2（c）图8-3（d） 实际工程中常见的梁，其横截面通常采用的是对称形状，如矩形、工字形、T字形、圆形等(图8-3(a))，原因是它们都有一个竖直对称轴。对称轴与梁轴线组成的平面叫纵向对称平面。如果作用在梁上的所有外力（荷载、支座反力）的作用线都位于纵向对称平面内，梁变形时其轴线变成位于对称平面内的一条平面曲线(图8-3(b))，这种弯曲称为平面弯曲。平面弯曲是工程中最常见的弯曲形式。 二、单跨静定梁的基本形式为了方便地讨论梁的弯曲，这里简单了解一下梁的基本形式。工程中对于单跨静定梁按其支座情况来分，可分为下列三种形式：1．悬臂梁梁的一端为固定端，另一端为自由端（图8-4(a)）2．简支梁梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座（图8-4(b)） 3．外伸梁梁的一端或两端伸出支座的简支梁（图8-4(c)）（a）（b）（c）图8-4 第七章组合变形的强度计算 学习目标：1．了解组合变形的概念，以及构件受力和变形特点。2．理解截面核心的概念及简单图形截面核心的位置。3．掌握斜弯曲、偏心拉压时构件的应力计算及强度条件。 第一节组合变形的概念一、组合变形的概念由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形，称为组合变形。（a） 解决组合变形的强度问题可用叠加法，其分析步骤为：将杆件的组合变形分解为基本变形；计算杆件在每一种基本变形情况下所产生的应力和变形；将同一点的应力叠加，可得到杆件在组合变形下任一点的应力和变形。 第二节斜弯曲斜弯曲的条件：外力与杆件的轴垂直且通过变形后的梁轴线不在外力作用面内弯曲。以图9-2所示的矩形截面悬臂梁为例来讨论斜弯曲问题的特点和它的强度计算 一、外力分解如图9-2（a），外荷载可沿坐标轴和分解，得其中是梁产生绕轴的平面弯曲，使梁柱产生绕轴的平面弯曲。因此，斜弯曲实际上是两个互相垂直的平面弯曲的组合。二、内力分析斜弯曲梁的强度是由最大正应力来控制的，所以，弯矩的计算是最主要的。 设在距端点为的任意横基面上，引起的截面总弯矩为：两个分力和引起的弯矩值为三、应力计算在该横截面上任意点处（相应坐标）,由和引起的正应力为 由叠加原理，任意点的正应力为：代入总弯矩，可得 四、强度条件1．中性轴位置因中性轴上各点正应力均为零，则由式(9-2)可得当时，，说明中性轴是通过截面形心的直线。 2．危险点的确定斜弯曲时，中性轴将截面分为受拉和受压两个区，横截面上的正应力呈线性分布，距中性轴越远，应力越大。因此一旦中性轴确定就可找出距中性轴最远的危险点。3．强度条件斜弯曲时的强度条件为 也可以表达为：根据这一强度条件，同时可以进行强度校核、截面设计和确定许多荷载。在设计截面尺寸时，因有两个未知量，所以需要假定一个比值，对矩形截面，对槽形截面， 例9-1图9-4所示檀条简支在屋架上，其跨度为,承受屋面传来的均布荷载屋面的倾角，檀条为矩形截面，材料的许用应力，试校核檀条强度。 解：由题中已知条件，檀条在均布荷载的作用下，弯矩图为抛物线，最大弯矩发生在梁的跨中截面，弯矩值为：截面对和轴的抗弯截面系数为： 由强度条件代入数值得：所以檀条强度足够安全。 例9-2试选择图9-5所示梁的截面尺寸。 解：由题中条件知，此梁受竖向荷载和横向荷载的共同作用部分将产生斜弯曲变形，危险截面为固定端截面。 由强度条件：根据已知条件，矩形截面，解得取整 第三节偏心压缩（拉伸）当外荷载作用线与杆轴线平行但不重合时，杆件将产生压缩(拉伸)和弯曲两种基本弯形，这类问题称为偏心压缩（拉伸）。如图9-6所示杆件，如力作用在某一轴线上，则产生压缩（拉伸）和弯曲变形，称为单向偏心压缩(偏心压缩)图9-6（a）。如力作用在轴线外的截面的任意点上，称为双向偏心压缩（拉伸）图9-6（b）。 一、单向偏心压缩(拉伸)时的应力和强度条件1．荷载变化由平面一般力系中力的平移定理，将偏心力向杆线轴线平移，得到一个通过形心的轴向压力和一个力偶矩为的力偶，如图9-7。2．内力计算用截面截取杆件上部，由平衡方程可求得 显然偏心压缩杆件各个横截面的内力均相同，所以截面可以为任意截面。 3．应力计算对于横截面上任一点(图9-8)，其应力是轴向压缩应力和弯曲应力的叠加。 点的总应力为： 由上式计算正应力时，用绝对值代入，式中弯曲正应力可由直观判断来确定。类似地，最大（最小）正应力必将发生在横截面的上、下边缘（）处： 4．强度条件显然，杆件横截面各点均处于单向拉压状态，其强度条件为 例9-3横截面为正方形的短柱承受荷载，若在短柱中开一切槽，其最小截面积为原面积的一半，如图9-9所示。试问切槽后，柱内最大压应力是原来的几倍？ 解：切槽前的压应力切槽后最大压应力应为偏心压缩情况下截面边缘的最大压应力 两者的比值是：例11-4图9-10所示举行截面柱，柱顶有屋架传来的压力；牛腿上承受吊车梁传来的压力；与轴线的偏心距。已知柱宽。求：（1）若，则柱截面中的最大拉应力和最大压应力各是多少？ （2）要使柱界面不产生拉应力，截面高度应为多少？在所选的尺寸下，柱截面中的最大压应力为多少？ 解：（1）求最大拉应力和最大压应力将荷载力向截面形心简化，柱的轴向压力为：截面的弯矩为：所以 （2）求截面高度和最大压应力要使截面不产生拉应力，应满足解得：取整此时产生的最大压应力为： 二、双向偏心压缩(拉伸)时的应力和强度条件图9-11 1．荷载简化如图9-11（a），已知至轴的偏心距为至轴的偏心距为（1）将压力F平移至Z轴，附加力偶矩为（2）再将压力从轴上平移至与杆件轴线重合，附加力偶矩为=（3）如图9-11（b）所示，力F经过两次平移后，得到轴向压力和两个力偶矩， 所以双向偏心压缩实际上就是轴向压缩和两个相互垂直的平面弯曲的组合。2．内力分析截面法任取横截面ABCD，其内力均为3．应力计算横截面上任意一点，坐标为y、z时的应力分别为： （1）由轴力引起点的压应力为（2）由弯矩引起点的应力为（3）由弯矩引起点应力为 所以，点的应力为上式中各个量都可用绝对值代入，式中第二项和第三项前的正负号观察弯曲变形的情况来确定。 4．中性轴位置由公式（9-7）可得==0即设、为中性轴上的点的坐标，则中性轴方程为 即上式也称为零应力线方程，是一直线方程。式中分别称为截面对z、y轴的惯性半径，也是截面的几何量。中性轴的截距为：当时，当时， 从而可以确定中心轴位置。其表明，力作用点坐标越大，截距越小；反之亦然。说明外力作用点越靠近形心，则中性轴越远离形心。式中负号表示中性轴与外力作用点总是位于形心两侧。中性轴将截面划分成两部分，一部分为压应力区，另一部分为拉应力区。由图9-11（b）可以判断，最大拉应力发生在A点，最大压应力发生在B点，其值为 危险点A、C都处于单向应力状态，所以可类似于单向偏心压缩的情况建立相应的强度条件。 5．强度条件 例9-5试求图9-12所示偏心受拉杆的最大正应力。 解：此杆切槽处的截面是危险截面，将力F向切槽截面的轴线简化，得：经判断点为危险点，其应力为拉应力，大小为得： 三、截面核心1．概念当偏心压力作用在截面形心周围的一个区域内时，杆件整个横截面上只产生压应力而不出现拉应力，这个荷载作用的区域就称为截面核心。2．截面核心的确定对于许用拉应力远小于许用压应力的混凝土、砖石等脆性材料，过大的拉应力将会使构件产生裂缝，这种情况必须避免。 为了使偏心压缩杆的截面上不出现拉应力，对于图9-11b所示矩形截面ABCD，应满足:即: 可见，y方向的偏心荷载应该作用在y轴上截面中间的1/3范围内。同理，若荷载在z方向上偏心，则只有作用在z轴上截面中间的1/3范围内，才能保证截面上不出现拉应力。对双向偏心压缩杆，如果将截面上的上述四点顺序连起来得到一菱形(如图9-13a)，则双向偏心荷载只要作用在上述的菱形区域内，截面上就只有压应力，不会出现拉应力。截面上的这个区域称为截面核心。 几种常见图形的截面核心，通常可从有关手册中查出：图9-13 本章小结本章研究了组合变形中斜弯曲和单向、双向偏心压缩的内力、应力和强度条件。1．概念（1）组合变形由两种以上的基本变形组合而成的变形（2）截面核心当偏心压力作用点位于截面形心周围的一个区域内时，横截面上只有压应力而没有拉应力，这个区域就是截面核心。 2．叠加法求解组合变形杆件强度问题的步骤是：（1）对杆件进行受力分析，确定是由哪些基本变形的组合；（2）简化或分解外力，使每一个外力只产生一种基本变形；（3）按基本变形计算内力和应力，用叠加法确定出危险点应力的大小和方向；（4）建立强度条件。 一、梁的弯曲内力——剪力和弯矩为了计算梁的强度和刚度，在求得梁的支座反力后，还必须计算梁的内力。如图8-5(a)所示为一简支梁，荷载和支座反力、是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系。现在在梁上任取一截面，假想截面将梁分为两段，取左段为研究对象，从图8-5(b)可知，因有支座反力作用，为使左段满足，截面上必然有与等值、平行且反向的内力存在，这个内力，称为剪力；同时，因对截面的形心点有一个力矩的作用，为满足，截面上也必然有一个与力矩大小相等且转向相反的内力偶矩存在，这个内力偶矩称为弯矩。由此可见，梁发生弯曲时，横截面上同时存在着两个内力因素，即剪力和弯矩。第二节梁的弯曲内力 图8-5剪力的常用单位为N或kN，弯矩的常用单位为N·m，或kN·m剪力和弯矩的大小，可由左段梁的静力平衡方程求得，即:由得 由得二、剪力和弯矩的正负号规定为了使从左、右两段梁求得同一截面上的剪力和弯矩具有相同的正负号，并考虑到土建工程上的习惯要求，对剪力和弯矩的正负号特作如下规定：(1)剪力的正负号使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正(图8-6a)；反之，为负(图8-6b)。(2)弯矩的正负号使梁段产生下侧受拉的弯矩为正(图8-7a)；反之，为负(图8-7b)。如果取右段梁作为研究对象，同样可求得截面上的和，根据作用与反作用力的关系，它们与从右段梁求出截面上的和大小相等，方向相反，如图8-5(a)所示。 图8-6图8-7 例8-1如图8-8(a)所示简支梁。已知，试求截面1-1上的剪力和弯矩。图8-8解:(1)求支座反力 由得又由得由①、②得(2)求截面1-1上的内力在截面1-1处将梁截开，取左段梁为研究对象，画出其受力图如图8-8（b)，内力和均先假设为正的方向，列平衡方程：由得由得 由①、②得求得和均为正值，表示截面1-1上内力的实际方向与假定的方向相同；按内力的符号规定，剪力、弯矩都是正的。所以，画受力图时一定要先假设内力为正的方向，由平衡方程求得结果的正负号，就能直接代表内力本身的正负。如取1-1截面右段梁为研究对象(图8-8b)，可得出同样的结果。例8-2一悬臂梁，其尺寸及梁上荷载如图8-9所示，求截面1-1上的剪力和弯矩。 图8-9解:对于悬臂梁不需求支座反力，可取右段梁为研究对象，其受力图如图8-9(b)所示。由得由得得 求得为正值，表示的实际方向与假定的方向相同；为负值，表示的实际方向与假定的方向相反。所以，按梁内力的符号规定，1-1截面上的剪力为正，弯矩为负。（二）简易法求内力求梁的内力还可用简便的方法来进行，称为简易法。通过上述例题，可以总结出直接根据外力计算梁内力的规律。1．剪力的规律计算剪力时，对截面左(或右)段梁建立投影方程，经过移项后可得或上两式说明：梁内任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧所有外力在垂直于轴线方向投影的代数和。若外力对所求截面产生顺时针方向转动趋势时，其投影取正号(图8-6a)；反之取负号(图8-6b)，此规律可记为“顺转剪力正”。 2．求弯矩的规律计算弯矩时，对截面左(或右)段梁建立力矩方程，经过移项后可得或上两式说明：梁内任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧所有外力(包括力偶)对该截面形心力矩的代数和。将所求截面固定，若外力矩使所考虑的梁段产生下凸弯曲变形时(即上部受压，下部受拉)，等式右方取正号(图8-7a)；反之取负号(图8-7b)，此规律可记为“下凸弯矩正”。用简易法求内力可以省去画受力图和列平衡方程从而简化计算过程。例8-3用简易法求图8-10所示简支梁1-1截面上的剪力和弯矩。 图8-10解:(1)求支座反力图8-10由梁的整体平衡方程求得(2)计算1-1截面上的内力由1-1截面以左部分的外力来计算内力，根据“顺转剪力正”和“下凸弯矩正”得 第三节梁的内力图为了计算梁的强度和刚度问题，除了要计算指定截面的剪力和弯矩外，还必须知道剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律——内力图，从而直观地找到梁内剪力和弯矩的最大值以及它们所在的截面位置。一、剪力方程和弯矩方程从上节的讨论可以看出，梁内各截面上的剪力和弯矩一般随截面的位置而变化。若横截面的位置用沿梁轴线的坐标来表示，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为坐标的函数，即：以上两个函数式表示梁内剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，分别称为剪力方程和弯矩方程。 为了形象地表示剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律，可以根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。以沿梁轴线的横坐标表示梁横截面的位置，以纵坐标表示相应横截面上的剪力或弯矩。在土建工程中，习惯上把正剪力画在轴上方，负剪力画在轴下方；而把弯矩图画在梁受拉的一侧，即正弯矩画在轴下方，负弯矩画在轴上方，如图8-11所示。图8-11 例8-4如图8-12()所示，一简支梁受均布荷载作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。解:(1)求支座反力由对称关系可得：(2)列剪力方程和弯矩方程取距A点(坐标原点)为处的任意截面，则梁的剪力方程和弯矩方程为：图8-12 (3)画剪力图和弯矩图由式(1)可见，()是的一次函数，即剪力方程为一直线方程，剪力图是一条斜直线，给出两点可得：当时当时根据这两个截面的剪力值，画出剪力图，如图8-12()所示。由式(2)知，()是的二次函数，说明弯矩图是一条二次抛物线，应至少计算三个截面的弯矩值，方可描绘出曲线的大致形状： 当时当时当时图8-13根据上述结果，画出弯矩图，如图8-12()所示。从上面的剪力图和弯矩图中可得出结论：在均布荷载作用的梁段，剪力图为斜直线，弯矩图为二次抛物线；在剪力等于零的截面上弯矩有极值。 例8-5如图8-13(a)，一简支梁受集中荷载作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。解:(1)求支座反力由梁的整体平衡得：(2)列剪力方程和弯矩方程梁在处有集中力作用，故段和段的剪力方程和弯矩方程不相同，要分段列出。段：在距端为的任意截面处将梁假想截开，并考虑左段梁平衡，则剪力方程和弯矩方程为： 段：在距端为的任意截面处假想截开，并考虑左段的平衡，列出剪力方程和弯矩方程为： (3)画剪力图和弯矩图根据剪力方程和弯矩方程画剪力图和弯矩图:图：段剪力方程()为常数，其剪力值为，剪力图是一条平行于轴的直线，且在轴上方。段剪力方程()也为常数，其剪力值为，剪力图也是一条平行于轴的直线，但在轴下方。画出全梁的剪力图，如图8-13(b)所示。图：段弯矩()是的一次函数，弯矩图是一条斜直线，只要计算两个截面的弯矩值，就可以画出弯矩图:当时，当时， 根据上述计算结果，可画出段弯矩图。段弯矩()也是的一次函数，弯矩图仍是一条斜直线。当时，当时，由上面两个弯矩值，画出段弯矩图。整梁的弯矩图如图8-13(c)所示。 从上述剪力图和弯矩图中可得结论：（1）在无荷载作用梁段，剪力图为平行直线，弯矩图为斜直线；（2）在集中力作用处，左右截面上的剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小，突变方向与该集中力的方向一致；而弯矩图出现转折，即出现尖点，尖点方向与该集中力方向一致。例8-6如图8-14(a)所示，一简支梁受集中力偶作用，试画出梁的剪力图和弯矩图。解：(1)求支座反力由梁的整体平衡得： 图8-14(2)列剪力方程和弯矩方程梁在截面处有集中力偶作用，应分两段列出剪力方程和弯矩方程。段：在端为的截面处假想将梁截开，考虑左段梁平衡，则剪力方程和弯矩方程为：(1)(2) 段：在端为的截面处假想将梁截开，考虑左段梁平衡，则列出剪力方程和弯矩方程为：(3)画剪力图和弯矩图图：由式(1)、(3)式可知，梁在段和段剪力都是常数，其值为，故剪力是一条在轴上方且平行于轴的直线，画出剪力图如图8-14(b)所示。(3)(4) 图：由式(2)、(4)式可知，梁在段和段内弯矩都是的一次函数，故弯矩图是两段斜直线。画出弯矩图如图8-14(c)所示。由上述内力图可得出结论：梁在集中力偶作用处，左右截面上的剪力无变化，而弯矩出现突变，其突变值等于该集中力偶矩。 第四节利用微分关系绘制内力图一、剪力、弯矩和荷载集度三者之间的微分关系上一节从直观上总结出剪力图、弯矩图的一些规律和特点，现进一步讨论剪力图、弯矩图与荷载集度三者之间的关系。如图8-15(a)所示，梁上作用有任意的分布荷载()，设()以向上为正。现取分布荷载作用下的一微段作为研究对象，如图8-15（b）所示。图8-15 考虑微段的平衡，由得：整理得：（8-4-1）得结论一：梁上任意一横载面上的剪力对的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是：剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度。再由得：经过整理得：（8-4-2） 结论二：梁上任一横截面上的弯矩对的一阶导数等于该截面上的剪力。这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上剪力。将式(8-4-2)两边求导，可得：（8-4-3）结论三：梁上任一横截面处的弯矩对的二阶导数等于该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是：弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的荷载集度。因此可以由分布荷载集度的正负来确定弯矩图的凹凸方向。二、用微分关系法绘制剪力图和弯矩图利用弯矩、剪力与荷载集度之间的微分关系及其几何意义，可总结出下列一些规律，以用来校核或绘制梁的剪力图和弯矩图。 1．无荷载梁段，即时，弯矩图是一条斜直线。2．均布荷载梁段，即常数时，是的二次函数，即弯矩图为二次抛物线。这时可能出现两种情况：时，抛物线下凹；时，抛物线上凸，如图8-16所示。图8-16利用上述荷载、剪力和弯矩三者之间的微分关系及规律，可更简捷地绘制梁的剪力图和弯矩图，其步骤如下： (1)分段，即根据梁上外力及支座等情况将梁分成若干段；(2)根据各段梁上的荷载情况，判断其剪力图和弯矩图的大致形状；(3)利用计算内力的简便方法，直接求出若干控制截面上的值和值；(4)根据值和值逐段直接绘出梁的剪力图和弯矩图。例8-7一外伸梁，梁上荷载如图8-17(a)所示，已知，利用微分关系绘出梁的剪力图和弯矩图。解：(1)求支座反力图8-17(2)根据梁上的外力情况将梁分为、和三段。 (3)计算控制截面剪力，画剪力图如图8-17（b）所示。(4)计算控制截面弯矩，画弯矩图如图8-17(c)所示。例8-8一简支梁，尺寸及梁上荷载如图8-18(a)所示，利用微分关系绘出此梁的剪力图和弯矩图。解：(1)求支座反力：(2)根据梁上的荷载情况，将梁分为和两段，逐段画出内力图。图8-18(3)计算控制截面剪力，画剪力图如图8-18(b)所示。(4)计算控制截面弯矩，画弯矩图如图8-18(c)所示。 一、叠加原理由于在小变形条件下，梁的内力、支座反力，应力和变形等参数均与荷载呈线性关系，图8-19每一荷载单独作用时引起的某一参数不受其他荷载的影响。所以，当梁在个荷载共同作用下所引起的某一参数(内力、支座反力、应力和变形等)，等于梁在各个荷载单独作用时所引起的同一参数的代数和，这种关系称为叠加原理(图8-19)。第五节叠加法画弯矩图图8-19 二、用叠加法画弯矩图根据叠加原理来绘制梁的内力图的方法称为叠加法。由于剪力图一般比较简单，因此不用叠加法绘制，下面只介绍用叠加法作梁的弯矩图。其方法为：先分别作出梁在每一个荷载单独作用下的弯矩图，然后将各弯矩图中同一截面的弯矩代数相加，即可得到梁在所有荷载共同作用下的弯矩图。例8-9试用叠加法画出图8-20所示简支梁的弯矩图。图8-20 解：(1)先将梁上荷载分为集中力偶和均布荷载两组。(2)分别画出和单独作用时的弯矩图(图8-20b、c)，然后将这两个弯矩图相叠加。叠加时，是将相应截面的纵坐标代数相加。例8-10用叠加法画出图8-21所示简支梁的弯矩图。解：(1)先将梁上荷载分为两组。其中集中力偶和为一组，集中力为一组。(2)分别画出两组荷载单独作用下的弯矩图(图8-21b、c)，然后将这两个弯矩图相叠加。 图8-21 第六节梁的弯曲应力一、梁横截面上的正应力（一）纯弯曲时梁横截面上的正应力1.纯弯曲如图8-22所示为一矩形截面简支梁，在给定荷载作用下，在梁的段上，各截面的弯矩为一常数，剪力为零，此段梁只发生弯曲变形而没有剪切变形。2.非纯弯曲在梁的、段上，各截面不仅有弯矩，还有剪力的作用，产生弯曲变形的同时，伴随有剪切变形。本节将推导纯弯曲情况下梁的正应力计算公式。 1、实验现象图8-22图8-23梁变形后，可看到下列变形现象： (1)驶所有的纵向线都变成为相互平行的曲线，且靠上部的纵向线缩短，靠下部的纵向线伸长。(2)所有的竖直线仍保持为直线，且仍与纵向线正交，只是相对倾斜了一个角度。(3)原来的矩形截面，变形后上部变宽，下部变窄。根据上述实验现象，我们作如下分析：根据现象(2)，梁横截面周边的所有横线仍保持为直线，且与纵向曲线垂直。于是可以推断，变形后，梁的横截面仍为垂直于轴线的平面。此推断称为平面假设，它是建立梁横截面上的正应力计算公式的基础。根据现象(1)，若设想梁是由无数纵向纤维所组成，由于靠上部纤维缩短，靠下部纤维伸长，则由变形的连续性可知，中间必有一层纤维既不伸长也不缩短，我们称此层为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴(图8-24)。根据现象(1)、(3)，中性层下部纵向纤维伸长而截面的宽度减小，上部纵向纤维缩短而截面的宽度增大，这一变形现象表示梁的上部受压，下部受拉。若假设各纵向纤维间无相互挤压，则各纵向纤维只产生单向拉伸或压缩。 图8-242、正应力计算公式根据上面的分析，我们来进一步推导梁的正应力计算公式。（1）几何方面 纵向纤维的线应变为（a）（2）物理方面假设纵向纤维受单向拉伸或压缩，所以，当正应力不超过材料的比例极限时，由虎克定律可得(b) 对于指定的横截面，是常数。所以（b）式表明，正应力与距离成正比，即正应力沿截面高度按直线规律变化(图8-26)。中性轴上各点处的正应力等于零，距中性轴最远的上、下边缘处的正应力最大。图8-26图8-27 （3）静力学方面上面虽已找到了正应力的分布规律，但还不能直接按(b)式计算正应力，这是因为曲率半径以及中性轴的位置均未确定，这可以通过静力学方面来解决。对于图8-27所示梁的一个横截面，其微面积上的法向微内力组成一空间平行力系。因为横截面上没有轴力，只有位于梁对称平面内的弯矩，所以，各微内力沿轴方向的合力为零，即：(c)各微内力对中性轴的矩的和等于截面弯矩，即(d) 将式(b)代入式(c)得因为≠0，所以必有式中为截面形心的坐标。因为截面积≠O，则必有此式说明中性轴必通过截面的形心。这样，中性轴的位置便确定了。将式(b)代入式(d)，得 式中，是与截面形状和尺寸有关的几何量，称为截面对轴的惯性矩。故(e)式(e)可确定中性层的曲率，式中称为梁的抗弯刚度。梁的抗弯刚度愈大，曲率就愈小，即梁的弯曲变形就愈小。将(e)式代入(b)式，得：(8-6-1)这就是梁横截面上的正应力计算公式。 例8-11长为的矩形截面悬臂梁，在自由端处作用一集中力，如图8-28所示。已知，，，，，，求C截面上K点的正应力。解(1)计算截面的弯矩图8-28(2)计算截面对中性轴的惯性矩(3)计算c截面上K点的正应力 二、梁横截面上的剪应力在工程中，大多数梁是在横向力作用下发生剪切弯曲。剪切弯曲时横截面上的内力不仅有弯矩，而且还有剪力，因此横截面上除具有正应力外，还具有剪应力。由于剪应力的存在，就不能保证梁的横截面在变形时保持为平面，也不能保证各纵向纤维间不互相挤压。但试验结果及弹性力学的理论分析表明，剪力的存在对正应力的影响很小，如果把纯弯曲的正应力计算公式（8-6-1）用于剪切弯曲，其所产生的误差非常小，并不影响工程计算的精度要求。因此，梁在剪切弯曲时其正应力仍采用公式：进行计算。 至于梁的剪应力在横截面上的分布情况，要比正应力复杂得多。剪应力公式的推导也是在某种假设前提下进行的，要根据截面的具体形状，对剪应力的分布适当地作出一些假设，才能导出计算公式。本节只简要地介绍几种常见截面形式的剪应力计算公式和剪应力的分布情况，对于计算式将不进行推导。（一）矩形截面梁的剪应力图8-29（）（）（） （8-6-2）式中：——所求应力点的水平线到截面下(或上)边缘间的面积对轴的静矩。将上式及代入式(8-6-3)，得： 表明，剪应力沿截面高度按二次抛物线规律变化（图8-29（c））。在截面的上下边缘（）处的剪应力为零；在中性轴处（）的剪应力最大，其值为即矩形截面上的最大剪应力为截面上平均剪应力()的1.5倍。（二）工字形截面梁的剪应力工字形截面，由于翼缘上的竖向剪应力很小，计算时一般不予考虑，因此，我们也不作讨论。对腹板上的剪应力，我们可以作和矩形截面相同的假设，导出与矩形截面梁的剪应力计算公式形式完全相同的公式。即 （8-6-3）——为所求应力点到截面边缘间的面积(图8-30(a)中阴影面积)对中性轴的静矩。剪应力沿腹板高度的分布规律也是按抛物线规律变化的，如图8-30(b)所示。其最大剪应力(中性轴上)和最小剪应力相差不多，接近于均匀分布。通过分析可知，对工字形截面梁剪力主要由腹板承担，而弯矩主要由翼缘承担。图8-30（）（）图8-31（）（） T字形截面也是工程中常用的截面形式，它是由两个矩形截面组成(图8-31(a))。下面的狭长矩形与工字形截面的腹板类似，这部分上的剪应力仍用式(8-6-3)计算。剪应力的分布仍按抛物线规律变化，最大剪应力仍发生在中性轴上，如图8-31(b)所示。例8-12一矩形截面简支梁如图8-32所示。已知，，，，，求截面上点的剪应力。图8-32 解(1)求支座反力及截面上的剪力(2)计算截面的惯性矩及面积。对中性轴的静矩分别为(3)计算截面上点的剪应力 第七节弯曲梁的强度计算一、梁的正应力强度计算在横向力的作用下，梁的横截面一般同时存在弯曲正应力和弯曲剪应力。从应力分布规律可知，最大弯曲正应力发生在距中性轴最远的位置；最大弯曲剪应力发生在中性轴处。为了保证梁能安全地工作，必须使梁内的最大应力不超过材料的容许应力，因此，对上述两种应力应分别建立相应的强度条件。（一）正应力强度条件梁内的最大正应力发生在弯矩最大的横截面且距中性轴最远的位置。该最大正应力的值为所以（8-7-1）这就是梁的正应力强度条件。 对矩形截面(图8-33(a))对圆形截面(图8-33(b))图8-33 （二）梁的正应力强度计算对梁的强度计算，利用强度条件式(8-7-1)，可以解决三种不同类型的问题。1．强度校核已知梁的截面形状、尺寸、梁所用的材料和所承受的荷载(即已知[]和)，可用式(8-7-1)校核构件是否满足强度要求，即是否有2．选择截面已知梁的材料和所承受的荷载(即已知、[]、)，根据强度条件可先求出梁所需的抗弯截面模量，进而确定截面尺寸。将式(8-7-1)改写为求得后，再依选定的截面形状，确定截面尺寸。 3．确定容许荷载已知梁的材料、截面的形状、尺寸(即已知[]和)，根据强度条件可求出梁所能承受的最大弯矩，进而求出梁所能承受的最大荷载。将式(8-7-1)改写为求出后，依与荷载的关系，确定所承受荷载的最大值。二、梁的剪应力强度计算（一）梁的剪应力强度条件梁内的最大剪应力发生在剪力最大的横截面的中性轴上。该最大剪应力的值应满足这就是梁的剪应力强度条件。 （二）梁的剪应力强度计算在进行梁的强度计算时，必须同时满足梁的正应力强度条件和剪应力强度条件。但在一般情况下，正应力强度条件往往是起主导作用的。在选择梁的截面时，通常是先按正应力强度条件选择截面尺寸，然后再进行剪应力强度校核。对于某些特殊情况，梁的剪应力，强度条件也可能起控制作用。例如，梁的跨度很小，或在支座附近有较大的集中力作用，这时梁可能出现弯矩较小，而剪力却很大的情况，这就必须注意剪应力强度条件是否满足。又如，对组合工宇钢梁，其腹板上的剪应力可能较大；对于木梁，在木材顺纹方向的抗剪能力很差。这些情况都应注意在进行正应力强度校核的同时，还要进行剪应力的强度校核。例8-13如图8-34所示，一悬臂梁长，自由端受集中力作用，梁由N022a工字钢制成，自重按计算，。试校核梁的正应力强度。 解(1)求最大弯矩的绝对值(2)查型钢表，N022a工字钢的抗弯截面系数为：(3)校核正应力强度。图8-34图8-35满足正应力强度条件。 例8-14一热轧普通工字钢截面简支梁，如图8-35(a)所示，已知：，，，钢材的许用力，试选择工字钢的型号。解（1）画弯矩图，确定(图8-35（b）)（2）计算工字钢梁所需的抗弯截面系数为应选择N020a号工字钢。 第八节提高梁抗弯强度的措施前面讨论梁的强度计算时曾经指出，梁的弯曲强度主要是由正应力强度条件控制的，所以，要提高梁的弯曲强度主要就是要提高梁的弯曲正应力强度。从弯曲正应力的强度条件来看，最大正应力与弯矩成正比，与抗弯截面模量成反比，所以要提高梁的弯曲强度应从提高值和降低值人手，具体可从以下三方面考虑。一、选择合理的截面形状从弯曲强度方面考虑，最合理的截面形状是能用最少的材料获得最大抗弯截面模量。分析截面的合理形状，就是在截面面积相同的条件下，比较不同形状截面的值。 比较一下矩形截面、正方形截面及圆形截面的合理性。截面面积相同时，矩形比方形好，方形比圆形好。如果以同样面积做成工字形，将比矩形还要好。工程中常用的空心板(图8-37(a))，以及挖孔的薄腹梁(图8-37(b))等，其孔洞都是开在中性轴附近，这就减少了没有充分发挥作用的材料，而收到较好的经济效果。图8-37 二、变截面梁在一般情况下，梁内不同横截面的弯矩不同。因此，在按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均未得到充分利用。要想更好地发挥材料的作用，应该在弯矩比较大的地方采用较大的截面，在弯矩较小的地方采用较小的截面。这种截面沿梁轴变化的梁称为变截面梁。最理想的变截面梁，是使梁的各个截面上的最大应力同时达到材料的容许应力，由得截面按式(8-8-1)而变化的梁，称为等强度梁。(8-8-1) 从强度以及材料的利用上看，等强度梁是很理想的，但这种梁加工制造比较困难。而在实际工程中，构件往往只能设计成近似等强度的变截面梁。图8-38中所示就是实际工程中常用的几种变截面梁的形式。图8-38三、合理安排梁的受力1．合理布置梁的支座 图8-392．合理布置荷载图8-40 第九节梁的弯曲变形为了保证梁在荷载作用下正常工作，除满足强度要求外，同时还需满足刚度要求。刚度要求就是控制梁在荷载作用下产生的变形在一定限度内，否则会影响结构的正常使用。例如，楼面梁变形过大时，会使下面的抹灰层开裂、脱落；吊车梁的变形过大时，将影响吊车的币常运行等等。一、弯曲变形的概念（一）挠曲线梁在荷载作用下产生弯曲变形后，其轴线为一条光滑的平面曲线，此曲线称为梁的挠曲线或梁的弹性曲线。如图8-41的悬臂梁所示。表示梁变形前的轴线，表示梁变形后的挠曲线。图8-41 （二）挠度和转角1．挠度梁任一横截面形心在垂直于梁轴线方向的竖向位移称为挠度，用表示，单位为，并规定向下为正。2．转角梁任一横截面相对于原来位置所转动的角度，称为该截面的转角，用表示，单位为(弧度)，并规定顺时针转为正。二、求梁弯曲变形的方法求梁的变形可用积分法和叠加法。积分法是对挠曲线方程进行两次积分，从而得到挠度和转角（从略）。叠加法是在小变形线弹性范围内，几个荷载共同作用下梁的变形，可由每个荷载单独作用下梁的变形进行叠加（求代数和）而得到。梁在简单荷载作用下的挠度和转角可从教材表8-1中查得。 例8-17试用叠加法计算图8-42所示简支梁的跨中挠度与截面的转角。解：可先分别计算与单独作用下的跨中挠度和，由表8-1查得：、共同作用下的跨中挠度则为同样，也可求得截面的转角为 图8-42三、梁的刚度条件建筑工程中，通常只校核梁的最大挠度，通常是以挠度的许用值[]与梁跨长的比值[]作为校核标准的。即梁在荷载作用下产生的最大挠度与跨长的比值不能超过[]： 这就是梁的刚度条件。在工程设计中，一般先按强度条件设计，再用刚度条件校核。例8-19一简支梁由N028b工字钢制成，跨中承受一集中荷载如图8-44所示。已知，，，，。试校核梁的强度和刚度。解：(1)计算最大弯矩 (2)由型钢表查得N028b工字钢的有关数据：(3)校核强度梁满足强度条件。(4)校核刚度梁不满足刚度条件，需增大截面。试改用N032a工字钢，其，则： 改用N032a工字钢，满足刚度条件。四、提高梁刚度的措施（一）提高梁的抗弯刚度（二）减小梁的跨度（三）改善荷载的分布情况 第十节梁的应力状态一、应力状态的概念（一）应力状态的概念通过构件内某一点处所有不同截面上的应力情况的集合，称为一点处的应力状态。在研究一点处的应力状态时，往往围绕该点取一个微小的正六面体，称为微元体。作用在微元体上的应力可认为是均匀分布的。（二）应力状态分类微元体上三对平面都存在应力的状态，称为空间应力状态，如图8-45()所示；只有两对平面存在应力的状态，称为平面应力状态，如图8-45()所示；只有一对平面存在应力的状态称为单向应力状态，如图8-45()所示。若平面应力状态的微元体中，正应力都等于零，仅有剪应力作用，则称为纯剪切应力状态(图8-45)。本节主要研究平面应力状态。 图8-45二、平面应力状态分析分析平面应力状态的方法有两种，即解析法和图解法。这里只介绍解析法。（一）斜截面上的应力分析——解析法设从受力构件中某一点取一微元体置于平面内，如图8-46(a)所示已知面上的应力及，面上的应力有及。根据剪应力互等定理可求任一斜截面上的应力。 图8-46 （8-10-1）（8-10-2）式(8-7-1)和式(8-7-2)是计算平面应力状态下任一斜截面上应力的一般公式。例8-12图示微元体各面应力如图8-47所示，试求斜截面上的应力、。解：图8-47 （二）主平面和主应力剪应力等于零的截面称为主平面，主平面上的正应力称为主应力，主应力即是正应力的极值。主平面位置可由上式确定，即：（8-10-3）（8-10-4）最大主应力和最小主应力：（三）剪应力极值及其平面位置（8-10-5）（8-10-6） 例8-20求图8-49(a)所示一微元体的主应力与主平面，最大剪应力。图8-49解：(1)确定微元体的主平面 (2)计算主应力由此，三个主应力分别为：(3)最大剪应力可由式(8-10-7)直接得出： 三、梁的主应力和主应力迹线（一）梁的主应力梁在剪切弯曲时，横截面上除了上、下边缘及中性轴上各点处只有一种应力外，其余各点都同时存在正应力和剪应力。利用上一节的公式可以确定梁内任一点处的主应力。（二）主应力迹线的概念图8-51(b)所示为一简支梁在均布荷载作用时的主应力迹线。其中，实线代表主拉应力迹线，虚线代表主压应力迹线。因为微元体的主拉应力和主压应力的方向总是相互垂直的，所以，主拉应力迹线和主压应力迹线总是正交的。梁的上、下边缘处，主应力迹线为水平线，梁的中性层处，主应力迹线的倾角为。在钢筋混凝土梁中，受拉钢筋的布置大致与主拉应力迹线一致(图8-51所示)。 图8-50图8-51 第一节扭转的概念和实例 扭转是杆件变形的基本形式之一。工程中发生扭转变形的杆件很多，例如，各种机器的传动轴、汽车的方向盘轴、钻杆、搅拌机的主轴等。 在建筑工程中单纯受扭转的构件并不多，通常还伴有弯曲变形，如雨篷梁，房屋的圆弧梁等。 第二节圆截面杆扭转时横截面上的应力 剪应力互等定理具有普遍性，不仅对只有剪应力的单元体正确，对同时有正应力作用的单元体亦正确。规定：使单元体绕其内部任意点产生顺时针方向转动趋势的剪应力为正，反之为负。单元体上只要剪应力而无正应力的情况称为纯剪切应力状态。 三、几何变形方面如下图所示，取一实心圆截面杆，然后在圆截面杆两端垂直于轴线的平面内作用一对大小相等而方向相反的外力偶，则圆截面杆发生扭转变形。根据圆周线形状大小不变，两相邻圆周线发生相对转动的现象，可以设想，圆截面杆扭转时各横截面如同刚性平面一样绕轴线转动，即假设圆截面杆各横截面仍保持为一平面，且其形状大小不变；横截面上的半径亦保持为一直线，这个假设称平面假设。 第三节圆截面杆扭转时的强度条件和刚度条件 本章小结 本章小结 第八章压杆稳定 学习目标1．了解失稳的概念、压杆稳定条件及其实用计算；2．理解压杆的临界应力总图；3．掌握用欧拉公司计算压杆的临界荷载与临界应力。 工程实例 第一节压杆稳定的概念在研究受压直杆时，往往认为破坏原因是由于强度不够造成的，即当横截面上的正应力达到材料的极限应力时，杆才会发生破坏。实验表明对于粗而短的压杆是正确的；但对于细长的压杆，情况并非如此。细长压杆的破坏并不是由于强度不够，而是由于杆件丧失了保持直线平衡状态的稳定性造成的。这类破坏称为压杆丧失稳定性破坏，简称失稳。 压杆受压后，杆件仍保持平衡的情况称为平衡状态。压杆受压失稳后，其变形仍保持在弹性范围内的称为弹性稳定问题。 同一压杆的平衡是否稳定，取决于压力F的大小。压杆保持稳定平衡所能承受的最大压力，称为临界力或临界荷载，用表示。显然，如，压杆保持稳定如，压杆将失稳。因此，分析稳定性问题的关键是求压杆的临界荷载。 第二节细长压杆的临界力 一、两端铰支压杆的临界力现以两端铰支，长度为的等截面细长中心受压(如图所示)为例，推导其临界力的计算公式。假设压杆在临界力作用下轴线呈微弯状态维持平衡(如图所示)。此时，压杆任意截面沿方向的挠度为，该截面的弯矩为 弯矩的正、负号压力取为正值，挠度以沿轴正值方向为正。将弯矩方程代入前面公式，可得挠曲线的近似微分方程为将上式两端均除以，并令则式(b)可写成如下形式其解为： 边界条件：当时，，代入式(e)，得。此时：当时，，代入上式，得若，由式可见，与题意(轴线呈微弯状态)不符。因此，只有即得()其最小非零解是的解，于是 此即为欧拉公式式中π——圆周率；——材料的弹性模量；——杆件长度；——杆件横截面对形心轴的惯性矩。当杆端在个方向的支撑情况一致时，压杆总是在抗弯刚度最小的纵向平面内失稳，所以式中的应取截面的最小形心主惯性矩。 二、其他支承情况下细长压杆的临界力对于其他支承形式的压杆，由于不同支承对杆件的变形起不同的作用。因此，同一受压杆当两端的支承情况不同时，其临界力值必然不同。推导各不同支承情况下压杆临界力的欧拉公式，其过程与推导两端铰支压杆的过程不同，这里不一一推导，直接给出其结果，如下表： 各种支承情况下等截面细长杆的临界力公式 从表可看到，各临界力的欧拉公式中，只是分母中前边的系数不同，因此，可以写成统一形式，即式中，为计算长度，为长度系数。 第三节欧拉公式的适用范围临界应力总图一、临界应力有了计算细长压杆临界力的欧拉公式，在进行压稳计算时，需要知道临界应力，当压杆在临界力作用下处于直线临界状态的平衡时，其横截面上的压应力等于临界力除以横截面面积A，称为临界应力，即 代入得：若将压杆的惯性矩写成于是临界应力可表达为：其中λ称为压杆的柔度（或称长细比）。 柔度λ是一个无量纲的量，其大小与压杆的长度系数、惯性半径有关。由于压杆的长度系数决定于压杆的支承情况，惯性半径决定于截面的形状与尺寸，所以，从物理意义上看，柔度综合地反映了压杆的长度、截面的形状与尺寸以及支承情况对临界力的影响。从式还可以看出，如果压杆的柔度值越大，则其临界应力越小，压杆就越容易失稳。 二、欧拉公式的适用范围欧拉公式是根据挠曲线近似微分方程导出的，而应用此微分方程时，材料必须服从虎克定理。因此，欧拉公式的适用范围应当是压杆的临界应力不超过材料的比例极限，即：则有： 若设为压杆的临界应力达到材料的比例极限时的柔度值，即则欧拉公式的适用范围为上式表明，当压杆的柔度不小于时，才可以应用欧拉公式计算临界力或临界应力。这类压杆称为大柔度杆或细长杆，欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆。 第四节中粗杆的临界力计算——经验公式、临界应力总图一、中粗杆的临界应力计算公式——经验公式欧拉公式只适用于较细长的大柔度杆，即临界应力不超过材料的比例极限（处于弹性稳定状态）。当临界应力超过比例极限时，材料处于弹塑性阶段，此类压杆的稳定属于弹塑性稳定（非弹性稳定）问题，此时，欧拉公式不再适用。 对这类压杆各国大都采用从试验结果得到经验公式计算临界力或者临界应力。我国在建筑上目前采用钢结构规范(GBJ17-1988)规定的抛物线公式，其表达式为：式子中是有关的常数，不同材料数值不同。 二、临界应力总图当压杆柔度时，欧拉公式不再适用。对这样的压杆，目前设计中多采用经验公式确定临界应力。常用的经验公式有直线公式和抛物线公式。1．直线公式对于柔度的压杆，通过试验发现，其临界应力与柔度之间的关系可近似地用如下直线公式表示 式中，、为与压杆材料力学性能有关的常数。事实上，当压杆柔度小于时，不论施加多大的轴向压力，压杆都不会因发生弯曲变形而失稳。一般将的压杆称为小柔度杆。这时只要考虑压杆的强度问题即可。当压杆的值在范围时，称压杆为中柔度杆。 对于由塑性材料制成的小柔度杆，当其临界应力达到材料的屈服强度时，即认为失效。所以有将其代入式(9-6)，可确定的大小。如果将上式中的换成脆性材料的抗拉强度，即得由脆性材料制成压杆的值。 不同材料的a、b值及，的值 以柔度为横坐标，临界应力为纵坐标，将临界应力与柔度的关系曲线绘于图中，即得到全面反映大、中、小柔度压杆的临界应力随柔度变化情况的临界应力总图 2．抛物线公式我国钢结构规范(GB50017—2003)中，采用如下形式的抛物线公式式中为临界应力曲线与抛物线相交点对应的柔度值。 第五节压杆的稳定计算一、压杆的稳定条件为了使用压杆能正常工作而不失稳，压杆所承受的轴向压力必须小于临界荷载；或压杆的压应力必须小于临界应力。对工程上的压杆，由于存在这种种不利因素，还须有一定的安全储备。于是，压杆的稳定条件为或 对于稳定安全系数的选取，除了要考虑在选取强度安全系数时的那些因素外，还要考虑影响压杆失稳所特有的不利因素，如压杆不可避免的存在初始曲率、材料不均、荷载的偏心等。因此通常情况下稳定安全系数的数值要比强度安全系数的数值大。而且，当压杆的柔度越大，即越细长时，这些不利因素的影响越大，稳定安全系数也应取得越大。对于压杆，都要以稳定安全次数作为其安全储备进行稳定计算，而不必做强度校核。 应用压杆的稳定条件，可以进行以下问题计算：1．稳定校核已知压杆的几何尺寸、所用材料、支承条件以及承受的压力，验算是否满足公式的稳定条件。2．计算稳定时的许用荷载即已知压杆的几何尺寸、所用材料及支承条件，按稳定条件计算其能够承受的许用荷载值。 二、折减系数为了计算上的方便，将临界应力的允许值，写成如下形式：从上式可知，值为式中为强度计算时的许用应力，称为折减系数，其值小于1。 λφλφQ235钢16锰钢木材Q235钢16锰钢木材01020304050607080901001.0000.9950.9810.9580.9270.8880.8420.7890.7310.6690.6041.0000.9930.9730.9400.8950.8400.7760.7050.6270.5460.4621.0000.9710.9320.8830.8220.7510.6680.5750.4700.3700.3001101201301401501601701801902000.5360.4660.4010.3490.3060.2720.2430.2180.1970.1800.3840.3250.2790.2420.2130.1880.1680.1510.1360.1240.2480.2080.1780.1530.1330.1170.1040.0930.0830.075折减系数表 三、稳定计算根据式就可以对压杆进行稳定计算。压杆稳定计算的内容与强度计算类似，包括校核稳定性、设计截面和求容许荷载三个方面。压杆稳定计算通常有两种方法。1．安全系数法临界压力是压杆的极限荷载，与工作压力之比即为压杆的工作安全系数，它应大于规定的稳定安全系数，故有 用这种方法进行压杆稳定计算时，必须计算压杆的临界荷载，而为了计算，应首先计算压杆的柔度，再按不同的范围选用合适的公式计算。其中稳定安全系数可在设计手册或规范中查到。 2．折减系数法土建工程中的压杆稳定计算中，常将变化的稳定的许用应力改为用强度许用应力来表达： 例10-1如图所示的结构中，梁AB为No.14普通热轧工字钢，CD为圆截面直杆，其直径为d=20mm，二者材料均为Q235钢。结构受力如图所示，A、C、D三处均为球铰约束。若已知=25kN，=1.25m，=0.55m，=235MPa。强度安全因数=1.45，稳定安全因数=1.8。试校核此结构是否安全。 解：在给定的结构中共有两个构件：梁AB，承受拉伸与弯曲的组合作用，属于强度问题；杆CD，承受压缩荷载，属稳定问题。现分别校核如下。 (1)大梁AB的强度校核。大梁AB在截面C处的弯矩最大，该处横截面为危险截面，其上的弯矩和轴力分别为 由型钢表查得14号普通热轧工字钢的由此得到钢的许用应力为略大于工程上仍认为是安全的。但 (2)校核压杆CD的稳定性。由平衡方程求得压杆CD的轴向压力为因为是圆截面杆，故惯性半径为又因为两端为球铰约束，所以这表明，压杆CD为细长杆，故需采用式(9-7)计算其临界应力，有 于是，压杆的工作安全因数为这一结果说明，压杆的稳定性是安全的。上述两项计算结果表明，整个结构的强度和稳定性都是安全的。 例10-2由钢加工成的工字形截面连杆，两端为柱形铰，即在平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端铰支，长度系数；而在平面内失稳时，杆端约束情况接近于两端固定，，如图所示。已知连杆在工作时承受的最大压力为，材料的强度许用应力，并符合钢结构设计规范(GB50017—2003)中a类中心受压杆的要求。试校核其稳定性。 解：横截面的面积和形心主惯性矩分别为 横截面对轴和轴的惯性半径分别为 于是，连杆的柔度值为在两柔度值中，应按较大的柔度值来确定压杆的稳定因数。用内插法求得将值代入式(9-14)，即得杆的稳定许用应力为将连杆的工作应力与稳定许用应力比较，可得满足要求 例10-3一强度等级为的圆松木，长，中径为，其强度许用应力为。现将圆木用来当作起重机用的扒杆(如图所示)，试计算圆木所能承受的许可压力值。 解：在图示平面内，若扒杆在轴向压力的作用下失稳，则杆的轴线将弯成半个正弦波，长度系数可取为。于是，其柔度为根据，求得木压杆的稳定因数为 从而可得圆木所能承受的许可压力为如果扒杆的上端在垂直于纸面的方向并无任何约束，则杆在垂直于纸面的平面内失稳时，只能视为下端固定而上端自由，即。于是有 求得显然，圆木作为扒杆使用时，所能承受的许可压力应为，而不是。 第六节提高压杆稳定性的措施由以上各节的讨论可知，影响压杆稳定性的因素有：压杆的截面形状、长度和约束条件、材料的性质等。要提高压杆的稳定性，可从下列四个方面考虑。提高压杆稳定性的关键在于提高压杆的临界力或临界应力。由临界应力计算式可看到，影响临界应力的主要因素是柔度，减小柔度可以大幅度提高临界应力。 一、减小压杆的长度从柔度计算式中可以看出，杆长与柔度成正比，越小，则越小。减小压杆的长度是降低压杆柔度、提高压杆稳定性的有效方法之一。在条件允许的情况下，应尽量使压杆的长度减小，或者在压杆中间增加支撑。 二、改善支承情况，减小长度系数长度系数反应了压杆的支承情况，从表中可看到，杆端处固结程度越高，值越小。因此，在结构条件允许的情况下，应尽可能地使杆端约束牢固一些，以使压杆的稳定性得到相应提高。三、选择合理的截面形状压杆的临界力与其横截面的惯性矩成正比。因此，应该选择截面惯性矩较大的截面形状。 并且，当杆端各方向约束相同时，应尽可能使杆截面在各方向的惯性矩相等。如图所示的两种压杆截面，在面积相同的情况下，截面比截面合理，因为截面的惯性矩大。由槽钢制成的压杆，有两种摆放形式，如图所示，比合理，因为中截面对竖轴的惯性矩比另一方向小很多，降低了杆的临界力。 四、合理选择材料对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模具有关，由于各种钢才的弹性模量值相差不大。所以，对大柔度杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越高的材料，临界应力越高。所以，对于中柔度杆而言，选择优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。 小结一、压杆稳定概念由于杆件丧失保持直线形状的稳定，称为压杆失稳。并且引起杆件丧失稳定破坏的压力比引起强度不足破坏的压力要小得多。二、压杆稳定性计算方法有安全系数法和折减系数法，可以进行压杆的稳定性校核、设计横截面尺寸和确定许用荷载。 三、提高压杆稳定性的措施主要有合理选择材料、合理选择构件截面、改善支承情况、减小压杆的长度等。 λφλφQ235钢16锰钢木材Q235钢16锰钢木材01020304050607080901001.0000.9950.9810.9580.9270.8880.8420.7890.7310.6690.6041.0000.9930.9730.9400.8950.8400.7760.7050.6270.5460.4621.0000.9710.9320.8830.8220.7510.6680.5750.4700.3700.3001101201301401501601701801902000.5360.4660.4010.3490.3060.2720.2430.2180.1970.1800.3840.3250.2790.2420.2130.1880.1680.1510.1360.1240.2480.2080.1780.1530.1330.1170.1040.0930.0830.075 第九章结构的计算简图 学习目标：1．了解结构的概念、构件的基本类型及荷载的分类；2．掌握结构计算简图的概念及结点、支座、荷载的计算简图；3．了解平面杆系结构的分类。 第一节结构及其类型 第一节结构及其类型一、结构建筑物和工程设施中承受、传递荷载而起骨架作用的部分称为工程结构，简称为结构。房屋中的梁柱体系，水工建筑物中的闸门和水坝，公路和铁路上的桥梁和隧洞等，都是工程结构的典型例子。狭义的结构往往指的就是杆系结构，而通常所说的建筑力学就是指杆系结构力学。 二、结构的类型结构的类型，也就是实际结构物计算简图的类型。（一）按照空间观点，结构可分为：1.平面结构组成结构的所有杆件的轴线和作用在结构上的荷载都在同一平面内的结构。2.空间结构组成结构的所有杆件的轴线或荷载不在同一平面内的结构。实际工程中的结构都是空间结构，但大多数结构在设计中是被分解为平面结构来计算的。不过在有些情况下，必须考虑结构的空间作用。 （二）按照儿何观点，结构可分为杆系结构、板壳结构、实体结构1.杆系结构长度方向的尺寸远大于横截面尺寸的构件称为杆件。由若干杆件通过适当方式连接起来组成的结构体系称为杆系结构。如果组成结构的所有各杆件的轴线都位于某一平面内，并且荷载也作用于此同一平面，则这种结构称为平面杆系结构，否则便是空间杆系结构。 2.板壳结构厚度方向的尺寸远小于长度和宽度方向尺寸的结构。其中：表面为平面的称为板(如图11-2(a)所示)，表面为曲面的称为壳(如图11-2(b)所示)。例如一般的钢筋混凝土楼面均为平板结构，一些特殊形体的建筑如悉尼歌剧院的屋面就为壳体结构。 3.实体结构长、宽、厚三个方向尺寸相近的结构。如挡土墙(如图11-3(a)所示)、建筑物基础等、设备基础(如图11-3(b)所示)、重力式堤坝。 在建筑工程领域内，杆系结构是应用最为广泛的一种结构形式，几乎在所有工程的结构设计中都含有杆系结构的设计，故结构力学将杆系结构作为主要研究对象。通常所说的结构力学指的就是杆系结构力学。 三、结构、构件的基本要求（一）强度要求（二）刚度要求（三）稳定性要求 第二节荷载的分类 第二节荷载的分类一、按荷载作用的范围分类（一）分布荷载是指满布在结构某一表面上的荷载，可分为均布荷载和非均布荷载两种。 （二）集中荷载作用在结构上的荷载一般总是分布在一定的面积上，当分布面积远小于结构的尺寸时，则可认为此荷载是作用在结构的一点上，称为集中荷载。 二、按荷载作用的时间长短分类（一）恒载恒载是指作用在结构上的不变荷载，即在结构建成以后，其大小和位置都不再发生变化的荷载，例如，构件的自重和土压力等（二）活载活荷载是指在施工和建成后使用期间可能作用在结构上的可变荷载。所谓可变荷载，就是这种荷载有时存在、有时不存在，它们的作用位置及范围可能是固定的(如风荷载、雪荷载、会议室的人群重力等)，也可能是移动的(如吊车荷载、桥梁上行驶的车辆、会议室的人群等)。 三、按荷载作用的性质分类（一）静荷载静荷载是指荷载从零慢慢增加至最后的确定数值后，其大小、位置和方向就不再随时间而变化，这样的荷载称为静荷载。如结构的自重、一般的活荷载等。（二）动荷载动荷载是指荷载的大小、位置、方向随时间的变化而迅速变化，称为动荷载。在这种荷载作用下，结构产生显著的加速度，因此，必须考虑惯性力的影响。如动力机械产生的荷载、地震力等。以上是从三种不同角度将荷载分为三类，但它们不是孤立无关的，例如，结构的自重，它既是恒载，又是分布荷载，也是静荷载。 第三节结构的计算简图 一、确定计算简图的原则实际工程结构是很复杂的，必须进行简化，否则分析计算将十分困难。将实际结构进行简化的过程，称为力学建模，简化后可以用于分析计算的模型，称为结构计算简图。确定计算简图的一般原则是：1.尽可能简单——既要忽略次要因素，使计算工作尽量简化，又要使计算结果有足够的精确性。2.尽可能符合实际——计算简图应尽可能反映实际结构的主要受力、变形等特性 需要说明的是，对于同一结构，计算简图不是惟一不变的。计算简图的选择与结构的重要性、设计阶段、计算问题的性质有关，随着人们认识水平的提高，科学水平的进步及计算目的、手段不同，同一结构也可能出现不同的计算简图。 二、平面杆件结构的简化确定结构的计算简图时，应从结构体系、材料、支座、荷载四个方面进行简化。（一）结构体系的简化结构体系的简化包含了体系、杆件及结点的简化。实际结构一般均为由各部件连接的空间结构，以承受来自各方面的荷载。但一般来说，均可忽略一些次要的空间约束而将实际空间结构简化为平面结构，使计算大大简化。对组成结构的各杆件而言，截面上的应力可由截面内力来确定。故在计算内力时，杆件(无论直杆还是曲杆)用其轴线表示，杆件间的连接区域在计算中均简化为结点。 1.铰结点铰结点的特点是与铰结点相连接的各杆件在连接处可以相对转动，但不能相对移动，同时假定不存在转动摩擦，铰结点能传递力，但不能传递力矩。这种理想情况在实际结构中并不存在，但螺栓、铆钉、榫头的连接处，其刚性不大，而变形、受力特征与此近似，可作为铰结点处理。 2.刚结点刚性结点的特点是与刚结点相连接的各杆件在连接处既不能相对转动，也不能相对移动，刚结点既能传递力，也能传递力矩。如现浇钢筋混凝土框架结点或其他连接方法使连结点的刚性很大，即属于此种情况。 （二）材料性质的简化常用的建筑材料有钢材、木材、混凝土、钢筋混凝土、砖、石等，在结构受力分析时，为简化计算，一般均可将这些材料假定为均匀、连续、各向同性、完全弹性或弹塑性体。此时材料的物理参数为常量，使计算大为简化。但要注意上述假定对象对金属材料，在一定受力范围内是适合的，但对其他材料都只能是近似的，特别是木材的顺纹与横纹方向的物理性质是不同的，在应用计算结果时给予适当考虑。 （三）支座的简化支座是支承结构或构件的各种装置。它具有两方面作用：一是限制位移(限制结构朝某方向移动或转动)；二是传递力(将上部结构或构件的力传递给下部结构或构件)。 1.活动铰支座如图11-9(a)。其特点是：支座只约束结构的竖向移动，不约束其水平移动和转动；只有竖向约束反力。活动铰支座可简化为一根竖向支杆，如图11-9(b)。一般实际结构中，对自由放于其他构件上的构件，如放于墙上的梁等，其支座可简化为此种支座形式。按约束效用区分，平面结构的支座一般可分为以下几类。 2.固定铰支座如图11-10(a)。其特点是：支座除了约束结构或构件竖向移动外，还要约束结构或构件水平移动，但不约束其转动；支座反力除竖向约束反力外，还有水平约束反力。固定铰支座可简化为交于一点的两根支杆，如图11-10(b)。实际结构中，如柱子插入预制杯形基础内，若柱子与杯口之间用沥青麻丝填实，则可简化为此种支座形式。 3.定向支座如图11-11(a)。其特点是支座约束结构的转动和垂直于其支承面的移动，它可沿其支承面移动；支座反力为一约束力矩和垂直于支承面的约束反力。定向支座可简化为两根平行支杆，如图11-11(b)。 4.固定支座如图11-12(a),其特点是：支座约束结构的任何移动及转动；支座反力有水平和竖向的约束反力，及约束力矩。固定支座可简化为既不平行亦不交于一点的三根支杆，见图11-12(b) 5.弹性支座如图11-13(a)。其特点是：支座主要约束结构的某种位移，同时其本身又要产生一定的位移；其约束反力与位移有关。在实际结构中，井字楼盖的交叉梁系之间及桥梁结构的纵梁支承于横梁上均属于此种情况。 在实际结构中，如果支承体的刚度远大于被支承体的刚度，则应将支座视为刚性支座，不考虑支座本身变形，按前四种支座形式简化。如果支承体的刚度与被支承体的刚度相近，则应将支座视为弹性支座，考虑支座本身变形，按第五种支座形式简化。另外支座不是绝对的，应视分析对象而定，若只分析结构中的某一构件，则支承该构件的构件即为其支座；若分析整个结构，则基础为其支座。 （四）荷载的简化作用于结构上的荷载可分为体积力与表面力。体积力为分布于物体体积内的力，与物体体积有关，如自重、惯性力等。表面力为作用于物体外表面的力，由物体之间的接触而传递，如土压力、水压力、人作用于楼板上的力等。在一般的结构受力分析中，由于杆件用其轴线代替，故不论体力还是表面力，均简化为作用于杆轴上的力。当荷载作用区域与结构本身的区域相比很小时，可简化为集中荷载，较大时，则简化为分布荷载。 三、平面杆系结构的分类本书所研究的主要是平面杆系结构，可按以下方式进行分类：（一）按计算特点分1.静定结构结构在荷载作用下，其反力和内力均可由静力平衡条件惟一确定的结构，如图11-15(a)。2.超静定结构结构在荷载作用下，其反力和内力须由静力平衡条件和变形协调条件及物理条件(压力应变关系)共同确定的结构，如图11-15(b)。 （二）按结构组成及受力特征分1.梁杆轴通常为直线(也可能为曲线或折线)的一种受弯构件，可以是单跨或多跨。 2.拱杆轴通常为曲线，其力学特点是：在竖向荷载作用下有水平反力产生。由于水平反力可减小拱截面内的弯矩，拱体内力以受压为主。可作为大跨度结构的一种应用形式。 3.桁架由直杆组成，所有结点均为铰结点。在结点荷载作用下，各杆只受轴力作用。 4.刚架由直杆组成，全部或部分结点为刚结点，各杆内力以受弯为主。 5.组合结构是由梁与桁架或刚架与桁架组合而成的结构，结构中，梁式杆内力以受弯为主，而桁杆(二力杆)只承受轴力。 本章小结 本章小结讨论了三个问题：结构构件的基本类型，荷载的分类，结构的计算简图，它们都是贯穿在全书的重要问题，但由于本章的内容属于简要介绍，目的是让学生对结构力学课程有个初步的感性认识，对结构力学的学习起到一个提示的作用，所以学习时，只要有一个基本的了解即可，以后逐步加深认识。 结构的计算简图是本章的重点，也是以后计算的出发点，学习时应对其选择原则，简化要点（特别是其中的结点和支座的简化要点）等给予特别的注意，为今后进行结构的受力和变形分析打下基础。 第十章平面结构体系的几何组成分析 学习目标：1．了解刚片、自由度、约束、多余约束、静定结构等几个概念；2．了解几个常见约束；3．掌握几何不变体系的组成规则；4．会进行简单的几何组成分析。 第一节几何组成分析的目的 第一节几何组成分析的目的当体系受到任意荷载作用后，若不考虑材料的变形，而能保持其几何形状和位置不变的，则称为几何不变体系，如图12-1(a)所示。另有一类体系，尽管只受到很小的荷载F的作用，也会引起很大的形状或位置的改变。其原因不是由于材料本身的弹性变形，而是由于体系内部的组成不健全或支承的布置不合理，这类体系称为几何可变体系,如图12-1(b)所示。 第一节几何组成分析的目的显然，几何可变体系是不能用来作为结构的，因为在建筑工程结构中，要求在任何种类的荷载作用下，结构必须能保持自己的形状和位置。 在对结构进行分析计算时，必须先分析体系的几何组成，以确定体系的几何不变性。几何组成分析的目的是：（1）判别给定体系是否是几何不变体系，从而确定它能否作为结构使用；（2）研究几何不变体系的组成规则，以保证设计出安全合理的结构；（3）正确区分静定结构和超静定结构，为结构的内力计算打下必要的基础 第二节平面体系的自由度 第二节平面体系的自由度一、几个重要的概念（一）刚片在几何组成分析中，可能遇到各种各样的平面物体，不论其具体形状如何，凡本身为几何形状不变者，则均可把它看作为刚片。例如：一根梁、一根杆或体系中已经肯定为几何不变的某个部分均可视为刚片。 图所示的体系中，用虚线画出的1、2、3、4、5各个部分，都可分别看作为刚片。 （二）自由度体系的自由度是指确定体系空间位置所需的独立坐标数，或者体系运动时可以独立改变的几何参数的数目，通常记作S。一个点在平面内自由运动时，它的位置用坐标X，Y完全可以确定，则平面内一点的自由度等于2，如图12-3(a)所示。 一个刚片在平面内自由运动时，它的位置用其上任一点A的坐标x，y和过A点的任一直线AB的倾角φ完全可以确定，则一个平面刚片的自由度等于3，如图12-3(b)所示。 对刚片加人约束装置，它的自由度将会减少。如用一根链杆将刚片与基础相联(图(a))，则刚片将不能沿链杆方向移动，因而减少了一个自由度。如果在刚片与基础之间再加一根链杆(图(b))，则刚片又减少了一个自由度。用一个光滑铰链把两个刚片Ⅰ和Ⅱ在点联结起来(图12-4(c))，那么，对刚片Ⅰ而言，其位置可由点的坐标和线的倾角来确定。因此，它仍有3个自由度。 当刚片Ⅰ的位置被确定后，因为刚片Ⅱ与刚片Ⅰ在A点以铰联结，所以刚片Ⅱ只能绕A点作相对转动。也就是说，刚片Ⅱ只保留了独立的相对转角φ2。因此，由刚片Ⅰ、Ⅱ所组成的体系在平面内的自由度为4。而两个独立的刚片在平面内的自由度总数应为2×3=6。因此，用一个圆柱铰将两个刚片联结起来后，就使自由度的总数减少了两个。这种联结两个刚片的铰称为单铰。 （三）约束体系有自由度，如果给体系加入限制运动的装置，使其自由度减少，把减少体系自由度的装置称为约束，能减少S个自由度的装置称为有S个约束。约束可分为外部约束和内部约束两种，外部约束是指体系与基础之间的约束，也就是支座；而内部约束则是指体系内部各杆之间或结点之间的约束，如铰结点、刚结点和链杆等。一个平面体系，通常都是由若干个刚片加人某些约束所组成的。如果在组成体系的各刚片之间恰当地加人足够的约束，就能使刚片与刚片之间不可能发生相对运动，从而使该体系成为几何不变体系。 （四）必要约束、多余约束根据对自由度的影响体系中的约束可分为两类：若在一个体系上增加一个约束，体系自由度实际无变化，则所增加的这一约束称为多余约束。若在一个体系上减少一个约束，体系自由度将增加，则所减少的这一约束称为必要约束。 例如平面上一个动点，有两个自由度，用两根不共线的链杆将其与地基相连，组成一个几何不变体系，此时若减少一个约束，体系变为几何可变，说明这两根链杆是必要约束；若再增加一根链杆，体系仍为几何不变，则将所增加的这一链杆称为多余约束。 在有多余约束的体系中，哪些约束是多余约束并不唯一，例如在图12-5(a)所示体系中，若A将处竖向链杆与B链杆看成必要的，则C链杆是多余的(如图12-5(b)所示)；若将B、C链杆看作是必要的，则A支座竖向链杆就是多余的(如图12-5(b)所示)。若一个几何不变体系中无多余约束，则称其为无多余约束几何不变体系，反之称为有多余约束几何不变体系。 （五）静定结构与超静定结构可以从几何组成的角度，根据几何不变体系是否具有多余约束来确定结构是静定还是超静定的。若几何组成为几何不变体系，但有多余约束，称这样的结构为超静定结构(如图12-5(a)所示)。静定结构是无多余约束的几何不变体系(如图12-5(b)、(c)所示)。 同时连接两个以上刚片的铰称为复铰(图12-6(b))。一个连接n个刚片的复铰，可减少2(n-1)个自由度，其作用相当于(n-1)个单铰 2、单链杆、复链杆用于将两个刚片(或杆件)连接在一起的两端铰结的杆件称为单链杆(链杆)。图12-7(a)中杆12即为单链杆。它只能减少一个自由度，故链杆相当于一个约束。同时连接两个以上刚片链杆称为复链杆(图12-7(b))。一个连接N个杆件的复链杆，可以减少(2N-3)个自由度，相当于(2N-3)个单链杆。 3、单刚结点、复刚结点仅连接两杆(或刚片)的刚结点，图12-8(a)所示的B处即为单刚结点。它能减少三个自由度，所以单刚结点相当于三个约束。同时连接两个以上刚片刚结点称为复刚结点(图12-8(b))。一个连接N个刚片的复刚结点，可以减少3(N-1)个自由度，相当于(N-1)个单刚结点。 （二）体系的计算自由度一个体系的计算自由度为组成体系各刚片自由度数之和减去体系的总约束数目。用W表示。如果用m表示刚片数，g表示单刚结点数，h表示单铰数，b表示体系内部单链杆数，r表示支座链杆数，则体系计算自由度的基础计算公式为：W=3×m-3×g-2×h-b-r式(12-1) 在计算过程中如遇复铰、复链杆、复刚结点时，应转化为相应的单铰、单链杆、单刚结点数目。当体系完全由铰结链杆组成时，体系称为铰结体系。此时可以结点为研究对象，用j表示铰结点数(不区分是单铰还是复铰)，b、r符号表示意义同前，则体系的计算自由度公式可表示为：W=2×j-b-r式(12-2) 体系内各个刚片相互之间的运动自由度，称为体系的内部可变度；而整个体系对于外部某参考坐标系的运动自由度，则称为体系的外部自由度。因为在平面体系中，不与基础相联系(r=0)的每个刚片系，具有3个外部自由度。所以，任一平面刚片系的内部可变度V等于体系的自由度数W减去3，即V=W-3或V=3m-3g-2h-3 例12-1试计算图12-9(a)所示体系的计算自由度。解法一：把体系内部看成是由2个刚片FABCD、FEDB和3个单铰F、B、D所组成，此时有：m=2，g=0，h=3，b=0，r=3，应用式(12-1)计算：W=3×m-3×g-2×h-b-r=3×2-2×3-3=-3 解法二：把体系内部看成是由7个刚片AB、BC、CD、DE、EF、FA、EB，3个单铰F、B、D，3个单刚结点A、B、C和1个复刚结点E(相当于2个单刚结点)所组成，此时有：m=7，g=5，h=3，b=0，r=3，应用式(12-1)计算：W=3×m-3×g-2×h-b-r=3×7-3×5-2×3-3=-3应用此方法解本题时须注意：此时结点B为混合结点，对于此类结点，计算单刚结点数时，可把铰接杆当作不存在；而在计算铰结点数时，则把刚接各杆看作一个刚片。 所以，应用式(12-1)计算可得W=3×m-3×g-2×h-b-r=3×9-3×6-2×4-9=-8表明此体系具有8个多余约束。 三、瞬变体系（一）何为瞬变体系在本章第一节中我们已经了解了几何可变体系的定义，实际上几何可变体系又可细分为常变体系和瞬变体系。如图12-11所示，刚片Ⅰ用三根平行等长的链杆与Ⅱ(基础)相连，显然这个体系是几何可变。当刚片Ⅰ有微小的水平位移后，三支杆仍然平行，故位移可继续发生。像这样可以发生大位移的几何可变体系，则称为常变体系。 图12-12(a)所示两刚片用三根连杆相连的体系，三杆延长线交于点，当两刚片绕点作微小转动后，三杆延长线不再交于点，此时位移已经不能继续发生，体系已经成为几何不变的，像这种，体系原为几何不变，产生微小移动后变为几何不变的体系称作瞬变体系。图12-12(b)、(c)所示体系也是瞬变体系，请读者自行分析。 （二）实铰、虚铰、瞬铰连接两刚片的两链杆直接相交所形成的铰称为实铰，如图12-14(a)所示O点为实铰。若连接两刚片的两链杆并未相交，但两杆延长线交于O点，称O交点为两链杆的虚铰，如图12-14(b)所示。两刚片只能绕O点作相对转动，点也称为刚片和刚片的相对转动瞬心，这个瞬心的位置随两刚片的微小转动而改变，也称这个铰为瞬铰。图12-14(c)、(d)为虚铰其他两种形式。虚铰的作用与实铰的作用完全相同。 （三）无穷远处的瞬铰如果用两根平行的链杆把刚片Ⅰ与Ⅱ相连接(图12-14(d))，则两根链杆的交点在无穷远处。因此，两根链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用。由于瞬铰在无穷远处，因此绕瞬绞的微小转动就退化为平动，即沿两根链杆的正交方向产生平动。 在几何构造分析中应用无穷远处瞬铰的概念时，可以采用射影几何中关于∞点和∞线的下列四点结论：(1)每个方向有一个∞点(即该方向各平行线的交点)。(2)不同方向有不同的∞点。(3)各点都在同一直线上，此直线称为∞线。(4)各有限点都不在∞线上。关于上述四点结论的合理性，可结合几何构造分析的实例加以检验。 第三节几何不变体系的组成规则 第三节几何不变体系的组成规则一、三刚片规则三刚片用不在同一直线上的三个铰两两相连，组成的体系内部几何不变且无多余约束，如图12-15(a)。此三角形的三边长度已定，由几何学可知，所组成的此三角形是唯一的，三刚片的相对位置也就固定了。也就是说，三刚片之间无相对运动。因此，这样组成的体系是几何不变的。 二、两刚片规则两刚片用既不平行也不全交于一点的三根链杆相连，组成的体系内部几何不变且无多余约束，如图12-16(a)、(b)。本规则也可改述为：两个刚片用一个单铰和一个不通过该铰的链杆相连，组成的体系内部几何不变且无多余约束，如图12-16(a)、(b)、(c)。 三、二元体规则所谓二元体是指由两根不在同一直线上的链杆铰接产生一个新结点的装置。平面内新增加一个点就会产生两个自由度，而新增加的两根链杆不共线，又限制了点的运动，故体系自由度无变化。 若原体系几何不变(或可变)，则新增加一个二元体后，新体系仍为几何不变(或可变)；同样，在一个已知体系上拿掉二元体，也不会影响原体系的几何不变性或几何可变性。因此可将二元体规则叙述如下：在一个体系上依次增加或减少二元体，原体系的几何可变性保持不变。 第四节几何组成分析举例 第四节几何组成分析举例 例12-9分析图12-25(a)所示体系的几何组成。 图12-25(a)所示体系中间的斜T字形折杆本身是一个无多余约束的几何不变体系，且用三铰与其他物体相连。这时，可用另外一个本身也是一个无多余约束，且在同样的位置以同样的约束形式与其他物体相连的刚片来代替，而不影响体系的几何组成分析。选择一个最简单的三角形刚片来代替斜T字形折杆，如图12-25(b)。此时将两根斜杆看成是与地基相连的链杆。选择两根杆件和地基作为刚片(图12-25(c)所示)用三刚片规则进行分析，结论为无多余约束的几何不变体系。 本章小结1．几何组成分析的目的主要是：判定杆件体系是否几何可变，从而决定其能否用作结构；研究几何不变、无多余约束体系的组成规则，以便帮助我们正确选择静力分析方法和程序。这一点以后各章经常要引用。 2．几何不变无多余约束体系的组成规则有三个：①三刚片规则：三刚片用不在一直线上的三个铁两两相连。②二刚片规则：两刚片用一个铰和一个不通过此铰的链杆或三个全不平行也不交于一点的三根链杆连接。③二元体规则：一刚片和一个用不共线的两根链杆连接。 三个规则的实质是三角形规则，即三角形的三个边长一定，其几何图形是唯一确定。了解这三个规则并不难，重要的是要能够熟练地运用它来依次地分析各种复杂的杆件体系。这是本章的重点，初学者的困难是难于下手，为此，进行一定量的练习是必须要的。 应用三个规则分析体系时，一是要注意它的严格性：分清补约束的对象和起限制自由度作用的约束。它们的数目和布置是否满足组成规则的要求，另一方面又要注意灵活性，被约束对象或约束的代表体系、瞬铰的概念等等，不被形式的变化所迷惑。 3．掌握结构的几何组成和静力特征之间的关系：几何不变，无多余约束——静定结构；几何不变，有多余约束——超静定结构；几何可变（也包括瞬变）——不能用作结构 第十一章静定结构的位移计算 §14-1结构位移计算的目的一、结构产生位移的原因变形：指结构及构件的形状发生变化。位移：结构变形后，其上各点位置的变动。结构位移线位移：通常用构件轴线上各点位置的变化表示移动，称为线位移。角位移：用横截面绕中性轴的转角表示转动，称为角位移。 一般来说，结果的位移与结构的几何尺寸相比都是极其微小的。 引起结构位移的原因：（1）荷载（2）温度改变（3）支座位移（4）制造误差；（5）材料收缩二、结构位移计算的目的(1)为了验算校核结构的刚度，即保证结构的位移不超过允许的位移限值。(2)为计算超静定结构打下基础。在计算超静定结构时，单用静力平衡条件不能得到惟一确定解，还必须考虑位移条件。 另外：在结构的制作、架设、养护等过程中，往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取一定的施工措施，因而也需要进行位移计算。 §14-2变形体的虚功原理一、功、广义力、广义位移△PAB⌒P常力作的功FFθdFF力偶作的功 广义力及广义位移作功的两个因素：力：集中力、力偶、一对集中力、一对力偶、一个力系位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移、一组位移统称为广义位移统称为广义力 二、实功、虚功实功：指外力（或内力）在自身引起的位移上所做的功。外力实功：一外力在其自身引起的位移上所做的功。内力实功（应变能）：如果结构处于弹性阶段范围，当外力拆除之后，该结构将能恢复到原来变形前的位置，这是由于弹性变形使结构积蓄了具有作功的能量，这种能量称之为变形能或应变能。 ABF112△11F2△22△12AB△122F21△22AB△112F11△21虚功：外力（或内力）在别的力或其他因素（温度改变、支座移动等）所引起的位移上所做的功称为虚功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系的两种彼此无关的状态。静力加载：0→F虚功并不是不存在的功，只是强调作功过程中位移与力无关的特点。虚功是代数量，有正有负。 三、变形体的虚功原理所有外力做的虚功=所有内力做的虚功，即：虚功原理：虚功原理的两种用法虚力原理虚位移原理其表明：结构的第一组外力在第二组外力所引起的位移上所作的外力虚功，等于第一组内力在第二组内力所引起的变形上所作的内力虚功。 虚功的两种状态：AB△112F11△21AB△122F21△22第一状态：力状态第二状态：位移状态 §14-3荷载作用下位移计算的一般公式实际状态－位移状态虚拟状态－力状态 上图中所示结构在荷载作用下发生了如图中虚线所示的变形。求任一指定截面沿任一指定方向上的位移。如K截面的水平位移ΔK利用虚功原理求解由材料力学公式，知 式中：MF、FSF、FNF——为实际荷载下杆件的内力；、、——指虚设单位力作用下杆件的内力；将这三式分别代入上式可得注意无支座移动 E、G——分别为材料的弹性模量和剪切模量；A、I——分别为杆件截面的面积和惯性矩；EI、GA、EA——分别为杆件截面的抗弯刚度、抗剪刚度和抗拉刚度；——指截面剪切应力不均匀分布系数，其值与截面形状有关。为截面的总面积，为腹板截面面积。1.2 这便是平面杆系结构在荷载作用下位移计算的一般公式，若计算结果为正，所求位移△K与假设的FK=1同向，反之反向。这种方法又称为单位荷载法，也称为单位力法。适用范围满足结构处于平衡状态和变形是微小的两个条件，既适用于弹性材料，也适用于非弹性材料。它可以用于静定的或超静定的梁、刚架、桁架、拱等结构的位移计算。 A实际状态求△AH虚拟状态A1A求A1虚拟状态A虚拟状态B求△AB11A虚拟状态B求AB11虚拟状态的设置在应用单位荷载法计算时，应据所求位移不同，设置相应的虚拟力状态。例如: §14-4静定结构在荷载作用下的位移计算在实际计算时，根据结构的具体情况,可以对荷载作用下位移计算的一般公式进行简化：1.梁和刚架2.桁架3.组合结构4.拱结构 例14-1求图示刚架A点的竖向位移△Ay。EA、EI为常数。解：1.选择虚拟状态选取坐标如图则各杆弯矩方程为:AB段：BC段：2.实际状态中各杆弯矩方程为AB段：BC段：MF=MF=，§3—3计算结构位移的虚力原理ABCqLLA`实际状态虚拟状态BC1xxxxA △Ay=()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx3.代入梁和刚架的位移计算公式，得例14-2下图(a)所示桁架各杆＝常数，求节点C的竖向位移解：（1）为求C点的竖向位移，在C点加一竖向单位力，并求出F=1引起的各杆轴力 （2）求出实际状态下各杆的轴力（3）将各杆、及其长度列入下表中，再运用公式进行运算。因为该桁架是对称的，所以可得：计算结果为正，说明C点的竖向位移与假设的单位力方向相同。 桁架位移计算杆件 §14-5图乘法当结构符合下述条件时：（1）杆轴为直线；（2）EI=常数；（3）两个弯矩图中至少有一个是直线图形。上述积分可以得到简化。一、图乘公式：计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，要计算积分MF图xy面积ABOABMFdxd=MFdxx⌒形心CxCyCyC=xCtg 设两个弯矩图中，图为一段直线，MF图为任意形状：如果结构上各杆段均可图乘，则位移计算公式可写成EIωyc= 图乘法的注意事项（教材上有八点），重点是以下几点：（1）必须符合上述三个前提条件；（2）竖标yc只能取自直线图形；（3）与yC在杆件同侧乘积取正号，异侧取负号。二、常见简单图形的面积公式和形心位置Lh2L/3L/3形心 Lhab（L+a)/3(L+b)/3形心Lh顶点L/2二次抛物线 Lh3L/4L/43L/85L/812顶点1=2/3(hL)2=1/3(hL)二次抛物线三、对复杂图形的处理当图形的面积和形心位置不便确定时，将它分解成简单图形，之后分别再与另一图形相乘，然后把所得结果叠加即可。 +=×××+=××× 例14—3求图示外伸梁C点的竖向位移△Cy。EI=常数。qABCL图11y2y3解：1.作MF图2.作图3.图乘计算y1=y2=y3=y1MF图23△Cy= 例14—4求下图所示刚架A点的竖向位移△Ay。ABCDEIEI2EIFLLL/2FFLMF图1L △Ay=∑EIyC=EI1(2L‧L2FL(L‧4=16EIFL2)-2EI123L)FL（↓）解：1.作MF图、2.图乘计算。； §14-6静定结构支座移动时位移计算对于静定结构，支座移动并不引起内力，因而结构材料也不发生变形。此时，静定结构支座移动时的位移纯属刚体位移，不难由几何关系求得，但我们仍用虚功原理来这种位移。则位移计算的一般公式可简化为：即静定结构在支座位移时的位移计算公式 例14-5图示三铰刚架右边支座的竖向位移△By=0.06m，水平位移△Bx=0.04m,已知L=12m，h=8m。求A。hL/2L/2△Bx△By实ABCABC1虚 解：虚拟状态如上图所示。=0.0075rad（）A先求得： 本节介绍线性变形体系的功的互等定理和位移互等定理，其中最基本的是功的互等定理。§14-7功的互等定理一、功的互等定理设有两组外力F1和F2分别作用于同一线弹性结构上，如图所示，(a)、(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。(a)第一状态F112Δ11Δ21(b)第二状态F212Δ12Δ22 这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为：(1)先加F1后加F2，外力的总功(2)先加F2后加F1，外力的总功(a)第一状态F112Δ11Δ21(b)第二状态F212Δ12Δ22 功的互等定理:即第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。∵外力所作总功与加载次序无关，即：W1=W2∴由1、2可得： 二、位移互等定理(a)第一状态F1＝112δ21(b)第二状态F2＝112δ12由功的互等定理式,则有：即：在功的互等定理中，令：F1=F2=1 位移互等定理:即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。在位移互等定理中：单位力——广义力（单位力偶、单位集中力）；位移——广义位移（线位移、角位移）。 本章小结一、虚功原理的两种应用虚设位移求约束力虚设力系求位移虚力原理虚位移原理位移计算的基本方法是单位荷载法，单位荷载法的基本环节是根据拟求的位移虚设相应的单位荷载。二、荷载作用下位移计算的一般公式由此可得出：梁和刚架、桁架、组合结构以及拱的位移计算。 三、图乘法求位移（1）图乘法求位移的适用条件（2）yC的取法四、线性弹性体系互等定理是力学的基本原理。功的互等定理位移互等定理 谢谢大家！